談對折問題

陳　光

近年來，隨著新課標(biāo)的實(shí)施，對折問題，越來越受到人們的重視，以對折問題為背景的題目，經(jīng)常出現(xiàn)于全國各地中考試題、競賽試題中. 對折問題，它通過日常生活中人們所喜愛的普普通通折紙，隱含了大量的數(shù)學(xué)知識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的妙用. 這些題目，能夠訓(xùn)練學(xué)生的動(dòng)手操作能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想方法，發(fā)展學(xué)生想象能力.

其實(shí)，在新課標(biāo)課本中，幾何的許多重要定理，如：三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形性質(zhì)定理，圓的垂徑定理等，都是通過對折紙片來驗(yàn)證的. 通過對折，利用對稱性質(zhì)，能解決許多幾何問題，現(xiàn)從六個(gè)方面，談對折問題.

1 幾何證明題中的對折問題

在初中幾何證明題中，通過對折矩形紙片，利用對稱性質(zhì)，證明如“兩線段相等，兩個(gè)角相等”之類的題目隨處可見，這樣的題目，能夠訓(xùn)練學(xué)生的動(dòng)手操作能力、想象能力.

圖1例1 把一張矩形紙片，如圖1中那樣對折，重合部分是等腰三角形嗎?為什么?

分析 沿對角線BD對折后，因?yàn)椤鰾DC≌△BDE，所以∠2=∠3. 從AD∥BC，得到∠1=∠2，由∠1=∠3可得BF=DF，故△BDF是等腰三角形.

將矩形ABCD沿對角線BD對折，△BDC和△BDE關(guān)于對角線BD成軸對稱圖形，對角線BD所在的直線，是這兩個(gè)三角形的對稱軸，對折后這兩個(gè)三角形全等. 中考中，利用上圖，通過對折，根據(jù)軸對稱性，證明兩線段相等，兩個(gè)角相等試題，比比皆是.

如哈爾濱市中考題：如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線BD對折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，求證：AF=EF. 呼和浩特市中考題：如圖1，△BDE是矩形紙片ABCD沿對角線BD對折得來的，圖中(包括實(shí)線、虛線在內(nèi))共有幾對全等三角形?為什么?

將矩形紙片沿對角線對折，利用對稱性質(zhì)，得到兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，推得其它三角形也全等. 可見，對稱性質(zhì)是對折問題的基本原理，利用對稱性質(zhì)，能解決幾何證明題中的對折問題.

2 幾何計(jì)算題中的對折問題

通過對折矩形紙片，根據(jù)對稱性質(zhì)，利用勾股定理，結(jié)合已知條件，建立方程，能解決幾何中計(jì)算問題.

圖2例2 如圖2，對折矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，折痕AE=55，且tan∠EFC=34，求矩形ABCD的周長?

分析 因?yàn)閠an∠EFC=34，所以可設(shè)EC=3k，CF=4k，則EF=5k. 根據(jù)對稱性ED=EF=5k，AB=DC=8k，對折后，∠AFE=∠D=90°，從tan∠BAF=tan∠EFC=34得到BF=6k. 由于AD=BC=10k，折痕AE=55，利用勾股定理，列出方程，求得k的值，最后能求矩形ABCD的周長.

對折矩形的一邊，使頂點(diǎn)D落在對邊BC上，把△ADE對折變?yōu)椤鰽FE，翻轉(zhuǎn)后，三角形位置發(fā)生變化，但這兩個(gè)三角形它們的對應(yīng)角仍相等，對應(yīng)邊仍相等，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化變換的思想. 通過對折，利用對稱性質(zhì)，建立方程，培養(yǎng)了學(xué)生方程思想.

圖3例3 如圖3，將矩形ABCD沿對角線BD對折，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求重疊部分的面積.

分析 重疊部分為等腰△BDE，求出對角線BD=45，過點(diǎn)E作EF⊥BD于F，則BF=12BD=25，解得BE=5，利用勾股定理，列出方程，能求得EF=5，最后求出

S△BED=12BD·EF=12×45×5=10.

這樣，利用對稱性質(zhì)，對折后兩個(gè)三角形全等，根據(jù)勾股定理，建立方程，解決幾何計(jì)算題中的求周長、求面積等問題，因此，勾股定理是解決對折問題的基本工具.

3 求最小值的對折問題

在數(shù)學(xué)中考、競賽試題中，經(jīng)常見到，諸如點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，求兩線段和最小值問題.

圖4例4 (古代數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬)古希臘一位將軍要從A地出發(fā)到河邊(如圖4中直線L)去飲馬，然后再回到駐地B. 問怎樣選擇飲馬地點(diǎn)，才能使路程最短?

分析 作出點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B交直線L于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所以求的點(diǎn). 點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A′，利用對稱性質(zhì)，把AC沿直線L對折成A′C，AC=A′C，使A′、C、B在同一條直線上，所以AC+BC距離最短.

例5 正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PE+PF的最小值.

圖5分析 如圖5，作點(diǎn)F沿正方形ABCD的對角線AC的對稱點(diǎn)F′，F(xiàn)′必落在正方形的邊長DC上，則PF=PF′，當(dāng)E、P、F′在同一條直線上時(shí)，PE+PF最小.

作出點(diǎn)F關(guān)于正方形對角線的對稱點(diǎn)F′，把PF轉(zhuǎn)化為PF′，這又滲透了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化變換思想，當(dāng)PF′與PE構(gòu)成一條線段，根據(jù)線段公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”，能求出最小值. 利用對稱性質(zhì)，也能解決求兩線段和的最小值問題.

4 直角坐標(biāo)系中的對折問題

在直角坐標(biāo)系中，利用對稱性質(zhì)，解決幾何問題，也是中考經(jīng)常出現(xiàn)的題目，一般在壓軸題中出現(xiàn). 直角坐標(biāo)系中的對折問題，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)思想、能發(fā)展學(xué)生思維，提高探究問題能力.

圖6例6 如圖6，在矩形OABC中，A、C分別在x軸、y軸上，沿AC把△ABC對折，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)D位置上，AD交y軸于點(diǎn)E，已知AE=5，B(k，2k)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

分析 沿AC把△ABC對折后，得到AD=AB. 由于∠1=∠2∠1=∠3，得到CE=AE，由于點(diǎn)B坐標(biāo)為(k，2k)，在Rt△AOE中，列出方程k²+(2k-5)²=5²，求得k=4.過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，利用相似形三角形的對應(yīng)邊成比例，列出比例式，OEDH=AEAD，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-125，245).

圖7例7 如圖7，把矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸正半軸上，連結(jié)AC，使AC=4，OC=12OA，若將紙片OABC折疊，使A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，求折疊后點(diǎn)B的坐標(biāo).

分析 沿EF折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則AE=CE，設(shè)OE=x，則CE=8-x，列出方程x²+4²=(8-x)²，解得OE=3，作PN⊥BC于N，則Rt△CPN∽Rt△CFP∽Rt△PFN，列出比例式CP²=CN·CF，PN²=CN·NF，因此，折疊后點(diǎn)B的坐標(biāo)為(165，325).

在直角坐標(biāo)系中，利用對稱性質(zhì)，根據(jù)勾股定理，建立方程. 借助相似形三角形的對應(yīng)邊成比例，列出比例式. 求得點(diǎn)的坐標(biāo)，解決幾何中對折問題，從中開拓了學(xué)生思維，有利于學(xué)生的函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的形成.

5 生活中的對折問題

眾所周知，數(shù)學(xué)來源于生活，與實(shí)際生活又緊密相連，在實(shí)際生活中，對折問題，隨處可見.

例8 如何用矩形紙片，折出一個(gè)等邊三角形?

如圖8，在矩形ABCD中，AB

圖8 圖9如圖9，在矩形ABCD中，先把它沿MN對折展開，再沿AE對折，使點(diǎn)B落在折痕線MN上的G點(diǎn)處，最后沿EG線對折，就得到一個(gè)更大等邊三角形EAF.

通過生活中的折紙問題，訓(xùn)練了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，逐步形成了學(xué)生做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的觀念，一題多法，激發(fā)了學(xué)生的求異思維，增強(qiáng)創(chuàng)新意識.

例9 如何通過對折正方形紙片，折出正方形各邊的黃金分割點(diǎn)?

黃金分割是幾何著名問題，在實(shí)際生活中，應(yīng)用很廣，黃金分割點(diǎn)給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感.

圖10如圖10，在正方形ABCD中，先沿EF對折，再沿AF對折，把AD邊折到AF上，折痕為AG，點(diǎn)G就是DC邊上的黃金分割點(diǎn).

分析 沿著AG對折，則AF⊥GH，過點(diǎn)H作HC′∥BC，△ABF≌△GC′H≌△AD′H.設(shè)正方形的邊長為1，GH=AF=52D′H=BF=12，D′G=DG=5-12.

因此，按上面方法，通過對折，能折出正方形各邊的黃金分割點(diǎn).

6 探究性的對折問題

探究性的對折問題，在中考試題、競賽試題也不斷涌現(xiàn)，成為近年來中考、數(shù)學(xué)競賽的熱點(diǎn)，題目設(shè)計(jì)方式越來越新穎. 探究性的對折問題能夠?yàn)閷W(xué)生提供更加廣闊的思維空間，增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識，提高學(xué)生自主探究能力，符合新課標(biāo)的目標(biāo)要求.

例10 水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖11是一個(gè)正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的前面，則這個(gè)正方體的后面是哪個(gè)字?

圖11分析 以第二列第一個(gè)面“0”為下底面，依次對折，0(下面)—0(左面)—6(后面)—快(右面)—樂(上面)，則這個(gè)正方體的后面是“6”字. 當(dāng)然，還有不同的對折方法，本題通過把展開圖對折成正方體，發(fā)展了學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)了學(xué)生自主探究精神.

例11 將正方形紙片由下向上對折，再由左向右對折，稱為完成一次操作如圖12.按上述規(guī)則完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角.那么，當(dāng)展開這張正方形紙片后，所有小孔的個(gè)數(shù)為多少個(gè)?

圖12分析 第一次操作，將正方形紙片分成4格，第二次操作，將正方形紙片分成4²=16格，依次類推，第五次操作，將正方形紙片分成45=1024格. 剪去所得小正方形的左下角，展開后，每4格有1個(gè)小孔，所有小孔的個(gè)數(shù)為45÷4=256.

將正方形紙片經(jīng)過多次對折，訓(xùn)練了學(xué)生的動(dòng)手操作能力，發(fā)展想象能力，又把幾何的小方格與代數(shù)中的乘方問題巧妙地揉合在一起，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想方法.

總之，對折問題，隨處可見，題目的設(shè)計(jì)越來越新穎，越來越受到大家的重視. 通過對折，利用對稱性質(zhì)，能解決有關(guān)的幾何問題，對發(fā)展學(xué)生思維能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識，提高探究能力將起到了很好的作用. 隨著新課標(biāo)的實(shí)施和探究性學(xué)習(xí)的開展，對折問題，將成為我們不斷研究、不斷探索的專題.

作者簡介：陳光，男，1965年1月出生，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，二十多年一直從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作，在各類數(shù)學(xué)刊物發(fā)表論文10余篇.

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