方程：永遠(yuǎn)的好幫手

徐章韜　賈志剛　徐京榕

1 引言

我們生活的世界充滿著未知因素，方程正是已知通往未知的橋梁，是人們認(rèn)識(shí)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的好幫手. 方程的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，可以追溯到公元2000多年. 所謂“古典代數(shù)”主要是研究方程的解法的. 歷史上，方程曾經(jīng)是代數(shù)研究的中心課題，方程的解法曾作為代數(shù)的基本特征，而被長(zhǎng)期保留. 直到17世紀(jì)，法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡還認(rèn)為：“一切問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，一切數(shù)學(xué)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，一切代數(shù)問(wèn)題可以化成方程求解的問(wèn)題. ”當(dāng)代數(shù)學(xué)大師陳省身曾談到什么是好的數(shù)學(xué)，什么是不好的數(shù)學(xué)時(shí)，特別提到方程永遠(yuǎn)是好的數(shù)學(xué). 中科院院士張景中先生成功地用導(dǎo)數(shù)定義了導(dǎo)數(shù)，使導(dǎo)數(shù)概念變得更容易^[1]. 方程的理論與方法是科學(xué)大廈的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ). 對(duì)于新的一代，方程的思想是必須掌握的重要數(shù)學(xué)思想，是解決很多實(shí)際問(wèn)題的有力工具. 比如，組合問(wèn)題由于情形復(fù)雜，很傷腦筋，但方程能幫助我們有序思考，化難為易. 下面介紹一個(gè)利用方程解決一個(gè)組合問(wèn)題的實(shí)例，并引出一段趣話.

2 實(shí)例

設(shè)計(jì)一種方法.

(1)把一個(gè)正方形，不重復(fù)不遺漏地分成8個(gè)正方形(正方形的大小可以不同)；

(2)又問(wèn)如何按要求分成31個(gè)正方形；

(3)把一個(gè)正方體分成55個(gè)立方體.

分析與解 利用方程有序地思考，并從簡(jiǎn)單的情形中找到模式. 最自然的想法莫過(guò)于把正方形一分為四，再任意選取一個(gè)一分為四，如此操作，得到的正方形個(gè)數(shù)為1，4，7，10，等等. 這是一個(gè)等差數(shù)列，不難得到31個(gè)正方形. 但這種做法不能形成模式，不能遷移到對(duì)問(wèn)題(1)的解決. 我們要尋的是一般規(guī)律，不僅對(duì)分成8、31個(gè)正方形適用，也要對(duì)分成若干個(gè)正方形也適用. 這樣問(wèn)題才算圓滿解決了. (1)不妨設(shè)，待分割的正方形的面積為S，S顯然在1，4，9，…，n²中取值. 顯然割成的小正方形的大小、個(gè)數(shù)均未知. 1.不妨設(shè)單位正方形有x個(gè)，邊長(zhǎng)為2的正方形有y個(gè)，則有方程x+y=8

x+4y=S，經(jīng)計(jì)算無(wú)論S取何值，y都沒有整數(shù)解，從而這種分割方式不存在. 分割方式不存在只是說(shuō)明了這種組合不存在，方程還是個(gè)好幫手. 2.不妨設(shè)單位正方形有x個(gè)，邊長(zhǎng)為3的正方形有y個(gè)，則有x+y=8

x+9y=S，經(jīng)計(jì)算當(dāng)S=16時(shí)，x=7，y=1. 如圖1，任意選出一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形，剩下的便是7個(gè)正方形了. 3.考慮一般情形，設(shè)邊長(zhǎng)為m的正方形有x個(gè)，邊長(zhǎng)為的正方形有y個(gè)，則x+y=8

mx+ny=S，適當(dāng)選取m，n，S的值，使x，y為整數(shù)，就是一種組合方式. 4.若分解成的正方形有三種型號(hào)，有單位正方形x個(gè)、邊長(zhǎng)為2的正方形y個(gè)、邊長(zhǎng)為3的正方形z個(gè)，則x+y+z=8

x+4y+9z=S，當(dāng)S=25時(shí)，有一組解x=4，y=3，z=1，即把邊長(zhǎng)為5的大正方形分成4個(gè)單位正方形，3個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，1個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形. 5.一般情形則是分解成的小正方形的型號(hào)不定，個(gè)數(shù)不定，最后歸結(jié)為一個(gè)不定方程. (2)按上述算法，可把邊長(zhǎng)為8的大正方形分解成20個(gè)單位正方形，11個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形；或25個(gè)單位正方形，3個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，3個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形. 分割組合的方式不唯一. (3)按上述算法，不妨設(shè)，待分割的立方體的體積為V，分解成了x個(gè)單位立方體，y個(gè)邊長(zhǎng)為2的立方體，則x+y=55

x+8y=V，當(dāng)V=125時(shí)，x=45，y=10，即把邊長(zhǎng)為的5的立方體分解成45個(gè)單位立方體，10個(gè)邊長(zhǎng)為2的立方體.

3 趣話

波利亞說(shuō)：“一個(gè)有意義題目的求解，為解此題所花的努力和由此得到的見解，可以打開通向一門新科學(xué)，甚至通向一個(gè)科學(xué)新紀(jì)元的門戶.”^[2]此言不虛，上述實(shí)例可以作注. 對(duì)上述實(shí)例中的分割結(jié)果作點(diǎn)約束，就得到正方分割：把正方形或矩形分割成邊長(zhǎng)不等的小正方形. 1936年，英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院的四名學(xué)生塔特(Tutle)、斯通(Stone)、布魯克斯(Brooks)和史密斯(smith)，同時(shí)對(duì)正方分割問(wèn)題發(fā)生了興趣并開始了各自漫長(zhǎng)而成功的探索歷程. 幾十年過(guò)去了，當(dāng)年的大學(xué)生通過(guò)對(duì)正方形的研究，后來(lái)都成了蜚聲數(shù)壇的組合數(shù)學(xué)專家和圖論專家. 他們的研究成果被成功運(yùn)用電子、化學(xué)、建筑學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、通訊科學(xué)和計(jì)算機(jī)等多種學(xué)科，成為造福人類的有力工具^[3]. 說(shuō)來(lái)也巧，他們當(dāng)年研究這個(gè)問(wèn)題時(shí)，也用到了方程這個(gè)工具. 方程思想實(shí)在奇妙.

解數(shù)學(xué)題是一個(gè)創(chuàng)造過(guò)程，解難題是比較大的創(chuàng)造、解容易的題也是小的創(chuàng)造，關(guān)鍵是如何走上創(chuàng)造的道路. 著名物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者費(fèi)曼多次說(shuō)，正因?yàn)榭吹搅薱os20°cos40°cos80°=18，覺得很是奇怪，大大激發(fā)了他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 這個(gè)題目對(duì)他的影響，他一直難忘. 一個(gè)人在學(xué)生時(shí)代的旨趣，對(duì)其一生將產(chǎn)生難以估量的影響. 我們?cè)谧隽?xí)題訓(xùn)練時(shí)，若多做些探究、引申推廣，學(xué)會(huì)從多種角度看問(wèn)題，定會(huì)打開一扇門，開辟一片屬于我們自己的領(lǐng)域.

參考文獻(xiàn)

[1] 張景中.把高等數(shù)學(xué)變得更容易[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007，(6).

[2] [美]喬治·波利亞，歐陽(yáng)繹譯.數(shù)學(xué)和發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[3] 張遠(yuǎn)南.未知中的已知[M].上海：上海科學(xué)普及出版社，1990.

作者簡(jiǎn)介：徐章韜，湖北京山人，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系博士研究生，主要研究教師教育、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育和競(jìng)賽數(shù)學(xué). 發(fā)表學(xué)術(shù)論文40余篇.

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