九宮圖的教與學(xué)

金紹鑫

北師大版教科書七年級數(shù)學(xué)第二章有理數(shù)及其運(yùn)算，多次安排了在3×3的小方格里填數(shù)的習(xí)題. 其中，把1、2、3…8、9這九個自然數(shù)填進(jìn)小方格，并且使圖中各行、列及斜對角的三個數(shù)字之和都相等的圖形，叫做九宮圖(如圖1)，這是一個古老的稱謂. 古書上記載：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，載九履一，五居中央. ”

關(guān)于九宮圖，北師大版教科書正文并沒有作介紹，與之相關(guān)的幾處習(xí)題都安排在“聯(lián)系拓廣”部分，有的題還加了星號，其用意是把它們作為有理數(shù)的加減運(yùn)算的拓展練習(xí). 因此，很多教師對此沒有引起足夠的重視，常常是一帶而過. 我認(rèn)為，這段內(nèi)容還有以下幾個特點(diǎn)：首先，它有趣，能吸引學(xué)生；其次，它有探索性，便于自主探索和合作交流；其三，可突出“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想的教學(xué)；其四，有較強(qiáng)的延伸性和研究價值. 教科書的習(xí)題安排是有講究的. 下面，我們來看看教科書的習(xí)題安排以及應(yīng)采取的相應(yīng)的教學(xué)措施.

第二章第4節(jié)有理數(shù)的加法中習(xí)題2.5的“聯(lián)系拓廣”中帶星號的題：“將-8，-6，-4，-2，0，2，4，6，8這九個數(shù)分別填入圖中(筆者注：即圖2)的九個空格中，使得每行的三個數(shù)，每列的三個數(shù)，斜對角的三個數(shù)之和均為0”. (結(jié)果為圖3)老師可視情況采取兩種教學(xué)方式：若學(xué)生基礎(chǔ)較好，將上題作為家庭作業(yè)，讓其自主探索，而后根據(jù)作業(yè)情況，做相應(yīng)的指導(dǎo)點(diǎn)評；若學(xué)生基礎(chǔ)不好，老師可將該題作為例題講解，講解時提示學(xué)生思考：這九個數(shù)的和為多少?每行、列、斜對角的和應(yīng)各為多少?這九個數(shù)有哪些特點(diǎn)?猜想0應(yīng)填在什么位置?一對相反數(shù)應(yīng)填在什么位置?講完例后，再將題中九個數(shù)改為-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4讓學(xué)生完成. 有的學(xué)生可能很快填出正確結(jié)果，有的學(xué)生可能填錯或未填出，老師要提示學(xué)生進(jìn)行行列調(diào)整，然后驗算，直至填出正確結(jié)果(結(jié)果為圖4). 最后讓同座的同學(xué)對照一下，填出的的圖形是不是完全一樣?有沒有不一樣的地方?不同形式的兩個圖形能不能互化，總共有幾種形式?為后邊的學(xué)習(xí)埋下伏筆. 這實際上是九宮圖教學(xué)的初級階段——感受體驗，做好鋪墊. 由于此時才學(xué)有理數(shù)的加法，不便對-8、-6、-4、-2、0、2、4、6、8與-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4進(jìn)行互化，它們之間的聯(lián)系要待后繼學(xué)習(xí)之后再建立.

接下來，有理數(shù)的減法中的習(xí)題2.6“聯(lián)系拓廣”中的兩個題：“1.下面是一個方陣圖(筆者注：圖4)，每行的3個數(shù)，每列的3個數(shù)，斜對角的3個數(shù)之和均相等.如果將方陣圖中的每個數(shù)都加上同一個數(shù)，那么方陣中的每行的3個數(shù)，每列的3個數(shù)，斜對角的3個數(shù)之和仍然均相等，這樣就形成了一個新的方陣圖. 根據(jù)下圖(筆者注：即圖5、圖6、圖7)中給出的數(shù)，對照原來的方陣圖，你能完成下面的方陣圖嗎? *2.在下圖(筆者注：即圖2)的9個方格中分別填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，使得每行的3個數(shù)，每列的3個數(shù)，斜對角的3個數(shù)之和均相等”. 以后在教科書總復(fù)習(xí)中還出現(xiàn)過填方陣圖的題. 這里的第1題給出圖4方陣，讓學(xué)生按要求將其變?yōu)樾路疥?，老師可先讓學(xué)生將圖4中的每個數(shù)都加上1得出一個新方陣，再讓他們驗算新方陣的行、列、斜對角的3個數(shù)是否相等，接著又讓學(xué)生將圖4中的每個數(shù)都減去1得出一個新方陣，再讓他們驗算新方陣的行、列、斜對角的3個數(shù)是否相等，作此鋪墊后，再引導(dǎo)學(xué)生觀察：圖4第一行與圖5第一行發(fā)生了什么變化?據(jù)此變化圖5的第二、三行應(yīng)填什么數(shù)?圖4中的1、0、-1分別比圖6中的-2、-3、-4大多少?圖6的其余小方格應(yīng)填什么數(shù)?圖7呢?(第1題結(jié)果為圖8、圖9、圖10)完成第1題一是為了培養(yǎng)觀察能力，二是為了鞏固強(qiáng)化有理數(shù)的加減運(yùn)算，三是為第2題做準(zhǔn)備，可謂一題三效，不可小視. 第2題就是填九宮圖，題目加了星號，照說比較難，若將它提前到習(xí)題2.5中，或孤立地完成第2題，的確比較難，但這里有第1題的方法作鋪墊就不太難了. 因為1，2，3，4，5，6，7，8，9每個數(shù)都減去5，就得到-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，而這九個數(shù)的填法第1題已經(jīng)提供，那么再對圖4的小方格中的數(shù)都加上5，立刻就得到九宮圖. 這里“轉(zhuǎn)化思想”起了決定性的作用. 教學(xué)時老師一定要讓學(xué)生觀察1，2，3，4，5，6，7，8，9與-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4的聯(lián)系，讓他們自己去悟出九宮圖的填法，從而突出轉(zhuǎn)化思想的教學(xué). 第1題的方法還啟示我們：不僅圖4可以化為九宮圖，九宮圖也可以施行一定的加減運(yùn)算，變成它的變式圖形，當(dāng)然這時的圖形就不再叫九宮圖了. 后面學(xué)了有理數(shù)的乘除，方陣圖的變化更多更方便，上述方陣圖之間均可以互化，例如圖3與圖4之間的互化. 由此看出九宮圖的教學(xué)對學(xué)生學(xué)好有理數(shù)運(yùn)算，強(qiáng)化思維訓(xùn)練的確是很有意義的. 學(xué)生只要掌握了轉(zhuǎn)化思想方法，不僅對于填出九宮圖不會覺得難，而且還會興趣盎然地深入研究下去，甚至對學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生積極影響(有條件的班級可將十六宮圖、二十五宮圖作為研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容). 這里，老師的教學(xué)一是要注意激趣，比如向?qū)W生介紹一些九宮圖的傳說，九宮圖自身的八種表現(xiàn)形式等；二是要進(jìn)行變式教學(xué)和溝通前后的聯(lián)系. 例如，九宮圖怎樣變?yōu)閳D4?圖8、圖9、圖10能不能變成九宮圖?每種圖是不是都有八種表現(xiàn)形式?老師還可根據(jù)自己班情設(shè)計其它類型的題目. 習(xí)題完成后，作為反思，老師應(yīng)向?qū)W生指出：上述圖形雖可生出很多變化，但萬變不離其宗，這里的宗，就是每個圖中各行、列及斜對角的三個數(shù)字之和都相等. 抓住了這個根本，九宮圖可轉(zhuǎn)化為它的變式圖，它的變式圖(九個數(shù)成等差數(shù)列)也可轉(zhuǎn)化為九宮圖. 最后老師還可讓學(xué)生回味思考：圖4是怎樣填出來的呢?填圖4時，首先應(yīng)填那個數(shù)，填在什么位置，為什么?它有什么決定性的作用?四個角的數(shù)與四邊中間小方格的數(shù)有何特點(diǎn)，四個角的數(shù)能不能分別填入四邊中間小方格?又為后邊的學(xué)習(xí)進(jìn)一步埋下伏筆. 這是九宮圖教學(xué)的中級階段——聯(lián)系比較，變式訓(xùn)練.

到了期末總復(fù)習(xí)，再做類似于九宮圖這樣的題目時，應(yīng)當(dāng)站得更高一些，從方程角度來研究. 比如，九宮圖正中間的小方格為什么要填5，能不能填其它的數(shù)?待學(xué)了方程組之后，還可從方程組角度研究. 這是九宮圖教學(xué)的高級階段——融會貫通，深化認(rèn)識. 作為復(fù)習(xí)，教學(xué)時首先應(yīng)啟發(fā)學(xué)生回顧九宮圖的填法及其變式圖形(圖4)的填法，因為它們之間存在等價關(guān)系，若忘了九宮圖的填法，可以通過先填出圖四后再填出九宮圖，顯然圖四的填法更簡單更容易掌握. 應(yīng)當(dāng)說，前面的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對九宮圖有了一些了解，但認(rèn)識是膚淺的，還處于感性認(rèn)識階段. 總復(fù)習(xí)時，再從方程角度來研究，不僅可以深化對九宮圖的認(rèn)識，使之從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，還可以突出方程思想的教學(xué)，滲透推理證明，可謂一舉幾得. 老師們不要輕易丟失了這一寶貴的教學(xué)資源.

下面我們從方程(組)的角度來研究九宮圖的填法，供老師們參考.

首先，證明九宮圖正中間的小方格只能填5. 設(shè)九宮圖正中間的小方格的數(shù)為x. 因為1，2，3，4，5，6，7，8，9之和為45，所以各行、列、斜對角的三個數(shù)之和都等于15.取中間一行的三個數(shù)、中間一列的三個數(shù)以及兩組斜對角的三個數(shù)，它們的和是15×4；另一方面，它們的和等于1，2，3，4，5，6，7，8，9之和再加上3x，即有45+3x=15×4，解得x=5. 所以九宮圖正中間的小方格只能填5. 再證明偶數(shù)只能占四個角. ①一組斜對角的三個數(shù)之和為15，而正中間是5，則另兩個數(shù)不可能一奇一偶；②假如1，5，9在一組斜對角，則3，7就不能在另一組斜對角，否則一行或一列的三個數(shù)之和超過15了. 同理2，8或4，6也不能在另一組斜對角，所以1，9不能與5共一組斜對角；③假如3，5，7在一組斜對角，則另一組斜對角只能含4，6，則4與7必在同一行或同一列，該行或列就會重復(fù)出現(xiàn)4，與題設(shè)矛盾，所以四個角不能都是奇數(shù)，也不能一對奇數(shù)一對偶數(shù)，即四個角全為偶數(shù)，顯然2，5，8在一組斜對角，4，5，6在另一組斜對角. 那么四個奇數(shù)的位置也就唯一確定了. 老師向?qū)W生講解完后，作為鞏固練習(xí)，可讓學(xué)生完成對圖四的證明，進(jìn)一步解決前邊學(xué)習(xí)留下的懸念. 或者老師講圖四的證明，學(xué)生完成九宮圖的證明. 采取哪種方式，完全取決于班上學(xué)生情況.

九宮圖的教與學(xué)是一段難得的好教材. 它對于培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，熱愛生活，勤于思考，勇于探索，并學(xué)會如何觀察問題，如何發(fā)現(xiàn)問題，如何轉(zhuǎn)化分析，如何證明結(jié)論，如何總結(jié)提煉都有重要作用，老師們應(yīng)當(dāng)盡力挖掘教科書的潛在教育功能，既注意眼前的近期目標(biāo)，又注意未來的長遠(yuǎn)目標(biāo).