共角定理

張景中　彭翕成

在三角形中，角與邊總是相對(duì)的.那么，既然有共邊定理，是否存在共角定理呢？答案是肯定的！我們先來(lái)看一個(gè)常見(jiàn)的題目.

例1如圖1，P、Q分別在△ABC的邊AB、AC上，且AB=3AP，AC=4AQ．求△APQ和△ABC的面積之比.

解：連接CP，則==，==，則=·=·=.

探究例1的本質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)△ABC和△APQ有公共角∠A，而且題目所牽涉到的“線段”都是在∠A的兩邊，而不是在BC或PQ上.而例1的解答，則是通過(guò)作輔助線，將兩個(gè)共角的三角形轉(zhuǎn)化為共邊的三角形.把這個(gè)例子推廣到一般的情形，就是共角定理.

共角定理：△ABC和△XYZ中，若∠ABC和∠XYZ相等或互補(bǔ)，則有=.

形象地說(shuō)，共角定理就是指，兩個(gè)三角形，若有一個(gè)角相等（或互補(bǔ)），則這兩個(gè)三角形的面積之比就等于（夾這個(gè)角的）各自兩邊之積的比.

證明：如圖2、圖3，仿照例1的證明，=·=·=.

我們以前說(shuō)過(guò)，一個(gè)定理重要與否，要看它解決問(wèn)題的多少，也要看它應(yīng)用范圍的大小.一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)用范圍較小的命題是不能稱之為定理的.下面，我們就來(lái)看一看共角定理的威力到底有多大.

例2（角平分線定理）如圖4，在△ABC中，已知AD是∠BAC的角平分線.求證：=.

證明：=[共角定理][=]=.

例3（三角形中位線定理）如圖5所示，在△ABC中，AB的中點(diǎn)為M，過(guò)M作BC的平行線與邊AC交于N.求證：=.

證明：由MN∥BC可知∠ANM=∠C.由共角定理可得

=[∠ANM=∠C][=]，

再由=，約去，可得=.

例4如圖6，已知△ABC和△XYZ中，∠A=∠X，∠B=∠Y.求證：==.

證明：由題意可知∠C=∠Z.由共角定理可得===.各項(xiàng)同乘以，可得==.

例5如圖7，點(diǎn)D、E、F分別為△ABC三邊上的點(diǎn)，且===.求證：=1-.

證明：[∠A為公共角][=]=·=.同理，=，=.所以==1-.

例6如圖8，點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且====.求證：=1-.

證明：由共角定理，==·=.同理=，=，=.所以

==1-.①

而S△AFE=S△ABD，S△BGF=S△BCA，S△CGH=S△CBD，S△DEH=S△DAC，故S△AFE+S△BGF+S△CGH+S△DEH=（S△ABD+S△BCA+S△CBD+S△DAC）=·2S四邊形ABCD.

代入①有=1-.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。