趣談勾股定理

錢懷蓮

我國(guó)古人很早就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”.當(dāng)時(shí)把較短的直角邊叫做勾，較長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是，在直角三角形中，如果勾為3，股為 4，那么弦為5.所以我國(guó)稱反映勾、股、弦長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系的一個(gè)命題為勾股定理.西方國(guó)家稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.

[一、有趣的勾股樹]

例1如圖1，四邊形A、B、C、D、E、F、H都是正方形，圖中所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形H的邊長(zhǎng)為7 cm，則正方形A、B、C、D的面積之和為工科cm2.

分析：這個(gè)圖形是勾股樹的一部分.根據(jù)勾股定理，易得SA+SB=SE，SC+SD=SF，SE+SF=SH.

∴SA+SB+SC+SD=SH=7×7=49（cm2）.

解：正方形A、B、C、D的面積之和為49 cm2.

總結(jié)：這里的H相當(dāng)于是樹干，A、B、C、D、E、F等相當(dāng)于是樹枝.還可以向外面繼續(xù)延伸畫勾股樹.由以上分析可以知道，對(duì)勾股樹來(lái)說(shuō)，最外面的正方形的面積的和=最大的正方形的面積.大家可以思考一個(gè)與本題有關(guān)的問(wèn)題，即所有正方形的面積之和是多少.

[二、勾股數(shù)中的規(guī)律]

例2觀察下列表格：

請(qǐng)你結(jié)合表1及相關(guān)知識(shí)，求出m、n的值.

解：設(shè)（a，b，c）為一組勾股數(shù)，a

觀察可知表格中的規(guī)律是：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，則b、c是兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且b+c=a2.

如：（5，12，13），則12+13=52；（7，24，25），則24+25=72.

所以有132=169=m+n，又m比n小1，所以m+m+1=169，m=84，n=85.

總結(jié)：（1）勾股數(shù)中各數(shù)的相同的整數(shù)倍，仍是勾股數(shù)，如3，4，5是勾股數(shù)，則6，8，10也是勾股數(shù)．

（2）常見的勾股數(shù)有：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；⑤9，40，41．它們的整數(shù)倍也都是勾股數(shù).這些勾股數(shù)應(yīng)當(dāng)牢記，以便解題時(shí)及早發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

（3）設(shè)（a，b，c）為一組勾股數(shù)，a

①當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，則b 、c是兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且b+c=a2；

②當(dāng)a為大于4的偶數(shù)時(shí)，則b、c是兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)或偶數(shù)，且b+c=a2.

[三、勾股定理的拓展]

例3學(xué)習(xí)了勾股定理以后，有同學(xué)提出“在直角三角形中，三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，或許其他的三角形三邊也有這樣的關(guān)系.”讓我們來(lái)做做實(shí)驗(yàn)!

（1）畫出任意一個(gè)銳角三角形，量出各邊的長(zhǎng)度（精確到1 mm）.較短的兩條邊長(zhǎng)分別是a= mm，b= mm；較長(zhǎng)的一條邊長(zhǎng)c= mm. 比較a2+b2 c2（填“>”，“<”或“=”）.

（2）畫出任意一個(gè)鈍角三角形，量出各邊的長(zhǎng)度（精確到1 mm）.較短的兩條邊長(zhǎng)分別是a= mm，b= mm；較長(zhǎng)的一條邊長(zhǎng)c= mm. 比較a2+b2 c2（填“>”，“<”，或“=”）.

（3）根據(jù)以上的操作和結(jié)果，結(jié)合這位同學(xué)提出的看法，你猜想的結(jié)論是： .利用勾股定理證明你的結(jié)論．

解：（1）、（2）略.

（3）猜想的結(jié)論是：△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c.若△ABC是銳角三角形，則有a2+b2>c2；若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a2+b2

①當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D.設(shè)CD=x，則有BD=a-x.根據(jù)勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2.

即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.故a2+b2=c2+2ax.

∵a>0，x>0，∴2ax>0. a2+b2>c2.

②當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖3，過(guò)B作BD⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于D.

設(shè)CD=x，則有BD2=a2-x2.

根據(jù)勾股定理，得AD2+BD2=AB2，（b+x）2+a2-x2=c2．即a2+b2+2bx=c2.

∵b>0，x>0，∴2bx>0. a2+b2

總結(jié)：（3）中得到的結(jié)論，可以用來(lái)判斷一個(gè)三角形的形狀.若ac2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。