補(bǔ)凹為凸巧求角度數(shù)和

王成法

我們知道凸n多邊形內(nèi)角和的計算公式為(n-2)×180°，外角和等于360°，利用凸多邊形的內(nèi)角和與外角和性質(zhì)，可以解決有關(guān)凸多邊形的邊數(shù)以及角度計算問題.但有時還會遇到凹多邊形的角度計算問題.解決凹多邊形問題，其基本的思路是將凹多邊形問題轉(zhuǎn)化為凸多邊形問題解決.

例1如圖1，已知∠A=50°，∠3=20°，∠4=25°，求∠BCD的度數(shù).

分析：觀察圖形可知，這是一個凹四邊形，要求∠BCD的度數(shù)，可以連接BD或AC，從而將凹四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，然后借助三角形的內(nèi)角和或外角與內(nèi)角的關(guān)系求解.

解：連接BD，在△BCD中，∠BCD=180°-（∠1+∠2），在△ABD中，∠A+∠3+∠1+∠2+∠4=180°.

所以∠1+∠2=180°-（∠A+∠3+∠4）=180°-（50°+20°+25°）=85°.

所以∠BCD=180°-85°=95°.

說明：本題也可以連接AC并延長，或延長BC借助于三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求解.

例2如圖2，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=度.

分析：要求圖形中五個角的度數(shù)和，若連接BC，可得到△ABC.根據(jù)對頂角相等可得∠DOE=∠BOC，這樣有∠D+∠E=∠OCB+∠OBC，此時可將∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和.

解：連接BC，則∠D+∠E=∠OCB+∠OBC.

所以∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E

=∠A+∠ABE+∠ACD+∠OCB+∠OBC

=∠A+（∠ACD+∠OCB）+（∠ABE+∠OBC）

=∠A+∠ACB+∠ABC=180°.

說明：本題主要借助三角形內(nèi)角以及對頂角相等，將凹多邊形的各角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和來解決.

例3如圖3，求∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G.

分析：將多邊形ABCOFG看做一個凹多邊形，若連接CF，則可得五邊形ABCFG.根據(jù)∠D+∠E=∠OFC+∠OCF，將∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G轉(zhuǎn)化為五邊形ABCFG的內(nèi)角和來解決.

解：連接CF.

在△ODE和△OCF中，因為∠EOD=∠COF，所以∠D+∠E=∠OFC+∠OCF.

所以∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G=∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G=（5-2）×180°=540°.

說明：本題通過連接CF，將凹多邊形問題轉(zhuǎn)化為凸多邊形問題，從而借助凸多邊形內(nèi)角和來解決問題.

例4如圖4，求∠A+∠B+∠EDB+∠E+∠F+∠ACF.

分析：觀察圖形可知，若連接CD，則可得到一對聯(lián)體三角形COD和EOF，由此可得∠E+∠F=∠OCD+∠ODC，這樣∠A+∠B+∠EDB+∠E+∠F+∠ACF就可以轉(zhuǎn)化為四邊形ABDC的內(nèi)角和.

解：連接CD，則∠E+∠F=∠OCD+∠ODC.

所以∠A+∠B+∠EDB+∠E+∠F+∠ACF

=∠A+∠B+∠EDB+∠ODC+∠OCD+∠ACF

=∠A+∠B+∠BDC+∠DCA=360°.

說明：本題主要借助聯(lián)體三角形將要求角的度數(shù)和轉(zhuǎn)化為四邊形的內(nèi)角和來求解.

例5如圖5，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7.

分析：觀察圖形可知，若連接CG，則可以得到聯(lián)體三角形COG和AOB，則有∠6+∠7=∠OCG+∠OGC，這樣可將∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7轉(zhuǎn)化成五邊形CDEFG內(nèi)角和來求解.

解：連接CG，則∠6+∠7=∠OCG+∠OGC.

所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠OCG+∠OGC

=∠1+∠DCG+∠CGF+∠4+∠5

=（5-2）×180°=540°.

說明：本題主要借助聯(lián)體三角形將要求角的度數(shù)和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和求解.

從以上幾例可以看出，解決凹多邊形內(nèi)角和問題，一般可通過連接合適的兩個頂點(diǎn)，構(gòu)造聯(lián)體三角形，將凹多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化凸多邊形的內(nèi)角和求解.

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