讓我們來欣賞美麗的圖案

王繼延，理學(xué)碩士. 曾執(zhí)教高中十余年，并任中學(xué)校長. 現(xiàn)為華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心組成員，全國初中數(shù)學(xué)實驗教科書（華東師大版）常務(wù)副主編，教育部基礎(chǔ)司項目“全國初中畢業(yè)、升學(xué)考試評價”數(shù)學(xué)學(xué)科負(fù)責(zé)人. 作為主編或主要人員參與編寫或翻譯多本數(shù)學(xué)教育專業(yè)著作與教材，如《全國初中數(shù)學(xué)實驗教科書》《基礎(chǔ)教育新課程師資培訓(xùn)指導(dǎo)（初中數(shù)學(xué)）》《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊》《數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講》《數(shù)學(xué)物理方程》《文科數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)思想和方法》與《高中數(shù)學(xué)選修讀本》等書，在《人民教育》《數(shù)學(xué)學(xué)報》《高等數(shù)學(xué)研究》《生態(tài)學(xué)報》《數(shù)學(xué)教學(xué)》等雜志上發(fā)表多篇文章.

讀者朋友生活中會看到許多美麗的圖案，在欣賞的同時，你想知道這些圖案是如何設(shè)計的嗎？下面請王教授給我們說說吧.

你知道“埃舍爾”嗎？他1898年出生于荷蘭，是一位有名的藝術(shù)家與數(shù)學(xué)家，他的不少作品似乎不可想象，超出了平常人的思維，但又隱含著極其深刻的數(shù)學(xué)思想.你看，圖1就是他的一些發(fā)人深思的畫作.

現(xiàn)在我們關(guān)注的是中間那一幅作品，那些不同顏色的鳥緊密鑲嵌，沒有空隙，沒有重疊，多么奇妙！

其實在我們生活中，有許多那樣類似的圖案.你走在大街上，進入學(xué)校或回到家中，都可以看到如同埃舍爾畫作那樣的，由各種形狀的地磚或瓷磚鋪成的美麗漂亮的地面和墻面.相信你一定會發(fā)現(xiàn)，那都是由一些基本的數(shù)學(xué)圖形緊密鑲嵌而成的.

那么你可知道其中的數(shù)學(xué)奧秘——為何這些圖形可以緊密鑲嵌呢？其實，你也可猜測到，無空隙又無重疊的關(guān)鍵在于這些幾何圖形圍繞在一個頂點處各個內(nèi)角的和恰好等于一個周角.

說起內(nèi)角和，你早就知道“三角形的內(nèi)角和等于180°”這一基本性質(zhì)吧.這是最基本的一條定理，由此還可推理得到其他的一些有用的結(jié)論呢.現(xiàn)在讓我們一起嘗試做一些實驗，看看能否推導(dǎo)出任意多邊形的內(nèi)角和的計算公式.

從多邊形的一個頂點出發(fā)，引各條對角線，將原多邊形分割成一些三角形.記錄一下相關(guān)數(shù)據(jù)（請讀者填寫下表中的空白處相應(yīng)數(shù)據(jù)），你一定能很快推出多邊形內(nèi)角和的計算公式.

當(dāng)然，我們還可以另外選擇如下的一些分割多邊形的方法，推出它的內(nèi)角和的計算公式，如圖2.

現(xiàn)在你知道為何正六邊形可以無空隙又無重疊地緊密鑲嵌了吧，那是因為正六邊形的內(nèi)角和為720°，每個內(nèi)角都是120°，三個內(nèi)角合在一起，不就是一個周角嗎！

想想看，你一定可以知曉還有哪些多邊形也可以如同正六邊形那樣無空隙又無重疊地緊密鑲嵌，知曉有些不同的多邊形還可以合在一起緊密鑲嵌，如圖3.

你看，上面這些圖案多美！親愛的讀者朋友，你能舉出身邊的一些美麗圖案嗎？

現(xiàn)在，隨著生活水平的提高，對家庭居室進行裝修成了許多人熱衷的話題．裝修房屋不僅僅是花多少錢的問題，更重要的是良好的設(shè)計和構(gòu)思，這就需要有較高的藝術(shù)欣賞能力和較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．就拿地板磚來說吧，多數(shù)人是用正方形磚塊來拼接，也有人喜歡用正六邊形地板磚．現(xiàn)在同學(xué)們知道為什么不用正五邊形的地磚了吧.

最后請你思考一個問題：

生活中有很多圖形是多邊形，比如足球（如圖4）上會有這樣的五邊形圖案.如果讓你將五邊形的內(nèi)角和求出來，你會怎樣做？除了課本上給出的公式，我們還有沒有其他的方法呢？

期末復(fù)習(xí)預(yù)告

為更好配合期末考試，在2008年第5，6期合刊上，本刊約請于秀坤撰寫的《期末復(fù)習(xí)三要點》，李慶社撰寫的《如何搞好期末復(fù)習(xí)》，重點對期末考試中涉及的重點難點考點進行了講解，并對如何應(yīng)對期末考試，進行有效的復(fù)習(xí)提出了中肯的意見.同時，為了讓同學(xué)們提前檢驗自己的復(fù)習(xí)成果，又約請王國富撰寫的《期末綜合測試題（一）》，康海芯撰寫的《期末綜合測試題（二）》，讓大家一試身手，敬請同學(xué)們關(guān)注.

本刊編輯部

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”