捕捉數(shù)學(xué)史中的教育基因

蔡宏圣

當(dāng)我們認同并積極踐行“數(shù)學(xué)是文化”的理念的時候，課堂中引入數(shù)學(xué)史也就成了必然。

這是一節(jié)“用字母表示數(shù)”的新授課。在課的最后，老師用多媒體出示了“你知道嗎”：人們認識用字母表示數(shù)的過程是很漫長的。早在3800年前，古埃及人用“堆”表示特定的數(shù)。公元4世紀(jì)前后，古希臘學(xué)者丟番圖開始用希臘字母表示數(shù)和一些運算，成為用字母表示數(shù)的先驅(qū)。這之后又經(jīng)歷了1200年，16世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達才有意識地、系統(tǒng)地用字母表示數(shù)，因此，他被尊稱為“現(xiàn)代代數(shù)學(xué)之父”。

環(huán)視課堂，孩子們眼神空洞、茫然，顯然這段文字沒有觸動他們的情和知。

正如以上所描述的那樣，現(xiàn)在的研究課和示范課，老師們往往特意在原先常規(guī)的教學(xué)設(shè)計中，加一點數(shù)學(xué)史的知識，介紹一些數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景材料。公開課聽多了，發(fā)現(xiàn)這樣做似乎成了模式，而且多數(shù)情況下，學(xué)生并不理解數(shù)學(xué)史所表示的意義。這不免令人深思：現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂是不是都必須戴上一頂數(shù)學(xué)史的帽子？數(shù)學(xué)史是不是只能以這樣的形式走進課堂？在對此現(xiàn)象反思的基礎(chǔ)上，我們重構(gòu)了“用字母表示數(shù)”的教學(xué)。

導(dǎo)入

1.通過CCTV和其完整說法（Chinacentraltelevision）的比較，引導(dǎo)學(xué)生體會：生活中的字母運用和數(shù)學(xué)中一些單位的字母表示，都是完整說法的縮寫。（板書：縮寫）

2.引導(dǎo)學(xué)生思考“2，4，6，8，x，12，14”中，x表示什么樣的數(shù)，讓學(xué)生領(lǐng)悟，在以前的學(xué)習(xí)中，字母更多地表示特定的未知數(shù)。（板書：特定未知數(shù)）

體驗

屏幕上出示三根小棒搭成的三角形，要求學(xué)生寫算式表示擺2個、3個、4個三角形分別需要幾根小棒。

師：好，下面我們進行一個小比賽，從擺10個三角形開始，一直擺下去，也用這樣的算式來表示需要的小棒根數(shù)，比一比誰寫得多！預(yù)———備，開始。

（學(xué)生紛紛動筆疾書，在交流中總結(jié)了這些算式的特點。）

師：既然這些算式寫不完，那你們能不能用一道算式，把你們已經(jīng)寫的和還沒有寫的算式都包括進來？

生1：n×3。

生2：x×3。

生3：a×3。

師：看來大家的意見都比較一致，就是用字母表示。那行，老師就和剛才那位同學(xué)一樣寫成“（a×3）”（課件出示）。不過都用字母表示數(shù)了，為什么這里的“3”不用字母表示呢？

生：每個三角形都需要3根小棒，這是不可能改變的。

師：很好！可見，用字母表示數(shù)不是簡單地用字母代替數(shù)，而是把一直變化的量用字母表示，不變的量照寫。

師：孩子們，剛才我們寫的這些算式〔手指著屏幕上“（2×3）”、“（3×3）”等算式〕，每一個算式都表示擺三角形的一種情況，那現(xiàn)在的“（a×3）”呢？

生1：各種各樣的情況。

生2：所有的情況。

師：也就是說，這里的字母表面上看只是一個字母，但它是個有魔力的字母，它可以代表———

生：（齊聲）無數(shù)個數(shù)。

反思

師：孩子們，我們又用字母表示數(shù)了，回想一下剛才我們所經(jīng)歷的過程，你覺得它還是這些意思嗎？（手指板書“縮寫未知數(shù)特定”）

生：不是。

師：那有了什么發(fā)展？

（學(xué)生稍稍思考后，舉起了小手）

生：特定。

師：那現(xiàn)在是什么意思了？

生1：不是特定的，不定了。

生2：自由了。

生3：是變化的。

生4：現(xiàn)在表示許多個數(shù)了。

師：對，差不多的意思。（在“特定”后面板書：→變化）那在這里真的就可以隨心所欲地變，沒有范圍嗎？

（學(xué)生凝神思考）

師：如果這里的a表示三角形的個數(shù)，比如說擺1.2個三角形，可以嗎？

生：不可以。

生：說明a不能是小數(shù)、分數(shù)。

師：對，只能是什么數(shù)？

生：自然數(shù)。

師：那還只能表示未知數(shù)嗎？（手指板書“未知數(shù)”）

生：不是，是已知數(shù)了。（在“未知數(shù)”后面板書：→已知數(shù)）

師：既然是已知數(shù)，那為什么還要用—字—母—表示呢？

（思考片刻后，五六個學(xué)生舉起了手）

生1：因為這個數(shù)的范圍很大，我們不確定它到底是多少。

生2：因為它有無數(shù)個。

生3：因為它太多了，一個個地說，說不完。

師：正因為這樣的數(shù)太多了，所以我們用一個字母把它們都———（學(xué)生異口同聲地）概括進來。而且我們約定，用26個字母中的前幾個字母表示已知數(shù)，最后幾個字母，例如x、y、z表示未知數(shù)。

運用

師：下面的練習(xí)是“編故事”。故事的主角是“a×4”。老師先做個示范。（掂掂學(xué)生的數(shù)學(xué)書）如果a表示一本數(shù)學(xué)書的重量，那么a×4就是———

生：4本數(shù)學(xué)書的重量。

師：而且是4本同樣的數(shù)學(xué)書的重量。很容易吧？下面，哪個同學(xué)來編？

（學(xué)生們用a代表各種數(shù)量，說了“a×4”的含義。）

師：大家把“a×4”講得這樣豐富多彩，老師也來講個這方面的歷史故事。

師：在歷史上，數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系，我們?nèi)祟愖畛跏怯梦淖直磉_的（課件出示：每個重量×4，每個價錢×4，每班人數(shù)×4，其中“重”、“價”、“人”用紅色標(biāo)出）。用文字來表達，顯然比較繁瑣。因而，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖想到了用“縮寫”的方法來表示，仿照丟番圖的方法，這里的“每個重量×4”，取“重”發(fā)音的第一個字母，表示成“z×4”。那么“每個價錢×4”和“每班人數(shù)×4”怎樣用縮寫的方法表示？

生：j×4和r×4。

師：丟番圖用字母的縮寫來表示數(shù)量間的關(guān)系，雖然簡潔了，但每個字母都表示特定的意思，不能把z×4和j×4等同，所以，并沒有給數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)帶來更多簡便。到16世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達想，如果把各種情境中字母表示的特定意思都去掉的話，不都是一個數(shù)和4相乘嗎？（課件中“z×4”、“j×4”、“r×4”依次變?yōu)椤啊酢?”）所以，韋達就表示成了a×4，這里的a還是特定的意思嗎？

生：（異口同聲）不是！

師：對，字母“a”已經(jīng)不表示任何具體的意義，和這里的小方塊一樣，只是一個符號而已（在“縮寫”后面板書：→符號）。自從韋達把字母當(dāng)作符號來表示數(shù)之后，許多數(shù)學(xué)難題得到了解決，數(shù)學(xué)獲得了飛速發(fā)展，韋達被稱為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)之父。

故事的最后，老師想請大家猜一猜，從丟番圖用縮寫的方法表示數(shù)到韋達把字母當(dāng)作符號來表示數(shù)，用了多少年？

生1：100年。

生2：很多年。

師：對，是很多年，整整1200年！

（學(xué)生情不自禁地驚呼：哇———）

師：孩子們，一方面我們應(yīng)該為歷史上無數(shù)數(shù)學(xué)家百折不撓、嘔心瀝血獻身數(shù)學(xué)的精神而感動，另一方面也為我們自己用了40分鐘就跨過了人類認識提升的1200年歷史，表現(xiàn)出的巨大的學(xué)習(xí)潛能而———

生：驕傲！

師：當(dāng)然，通過今天的學(xué)習(xí)，有些同學(xué)對“用字母表示數(shù)”可能還有些模糊，那也不要緊。你想想，在歷史上數(shù)學(xué)家們都用了1200年，你才學(xué)了一節(jié)課，你急什么呢？！相信自己，通過后面的學(xué)習(xí)，我們一定能融會貫通的。

……

同一個教學(xué)內(nèi)容，可以有多種教學(xué)設(shè)計。每一種新設(shè)計都在探求教學(xué)的更好方式。但數(shù)學(xué)教學(xué)的首要問題，不在于教學(xué)的更好方式是什么，而在于所教內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么。

“用字母表示數(shù)”的教學(xué)重構(gòu)，就是在所教內(nèi)容數(shù)學(xué)本質(zhì)的考量中展開的。在與教科書配套的《教師教學(xué)用書》中，往往把用字母表示數(shù)表述為“是人類認識由具體到抽象的一次飛躍”，除此之外，并沒有進一步的解釋。戰(zhàn)略性的數(shù)學(xué)概念，是人類千百年思維抽象的結(jié)晶，僅僅看它最終形式化的表述或數(shù)學(xué)價值的表述，很難深入把握其確切的本質(zhì)意義。而抽象的結(jié)果一旦和抽象活動的整個過程結(jié)合起來，它便變得生動和形象起來，其抽象意義就不再不可捉摸。換言之，數(shù)學(xué)史能凸顯數(shù)學(xué)知識的本真意義，這正如著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞所指出的那樣，“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷”。

數(shù)學(xué)的發(fā)展史告訴我們，字母表示數(shù)的過程，不是簡單的用字母代替文字的過程，而是具體數(shù)量符號化的過程。孩子們的認知發(fā)展可能各具特點，但總體上不可能違背人類認識提升的一般規(guī)律。因而結(jié)合人類認識提升的歷史階段看，孩子認識用字母表示數(shù)存在這樣的遞進關(guān)系：字母不僅可以表示未知數(shù)，還可以表示已知數(shù)；字母不僅可以表示特定的意義，還可以表示變化的數(shù)量；不僅可以在縮寫水平上運用字母，還可以在符號水平上運用字母。再深入地看，學(xué)生只有理解這個已知的數(shù)量在不斷的變化中，才能理解字母的符號概括作用。以這樣的認識來審視以往“用字母表示數(shù)”的教學(xué)，可以說學(xué)生的認識鮮有真正的理解。因為，沒有這三點認識的遞進做“抓手”，即使再三強調(diào)“用字母表示數(shù)”是由具體到抽象的飛躍，學(xué)生還是不可能在心理上表征“用字母表示數(shù)”的真正意義。再者，以往的教學(xué)往往重視學(xué)生在縮寫水平上運用字母的種種經(jīng)驗，但又將符號概括水平上的運用和音節(jié)縮寫水平上的運用混為一談。而“用字母表示數(shù)”的新意義要進入學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)，字母運用的原有經(jīng)驗是必經(jīng)的節(jié)點。學(xué)生的認識要實現(xiàn)飛躍，就必須對“用字母表示數(shù)”的新意義和舊經(jīng)驗之間的區(qū)別有清楚的認識。鑒于此，教學(xué)的整體思路何去何從，似乎不難選擇，在課堂上再現(xiàn)人類認識提升的1200多年歷史也就順理成章了。

考察數(shù)學(xué)史，并不能當(dāng)然地給數(shù)學(xué)教育帶來創(chuàng)新的啟示。數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育有著不同的研究領(lǐng)域，不同的研究價值取向。數(shù)學(xué)史怎能自如地進入課堂呢？中國科學(xué)院李文林先生提出：“數(shù)學(xué)史除了為歷史、為數(shù)學(xué)而歷史之外，還應(yīng)該為教育而歷史。”數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的貌合神離，恐怕主要是因為我們的教師還沒有確立“為教育而歷史”的意識，而更多地只是關(guān)注自己的課堂是否穿上了時尚的“數(shù)學(xué)文化”的外衣！

上述分析，也鮮明地闡釋了數(shù)學(xué)史為教育而歷史是個再創(chuàng)造的過程。這種創(chuàng)造，根本之處在于考察視角的轉(zhuǎn)變。如果停留于歷史的考察，我們只能看到數(shù)學(xué)發(fā)展的史實：是誰在什么時候提出了什么數(shù)學(xué)知識。對于孩子們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，知道這些事實性的知識是有益的，但對于孩子們的數(shù)學(xué)理解來說，作用顯然極其有限。而如果深入到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部，保持著敏銳的“怎樣促進兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”的觸角，我們就可以通過研讀數(shù)學(xué)史，捕捉到其間隱藏著的豐富的教育基因。例如：通過數(shù)學(xué)發(fā)展史可以提煉出孩子們的認知發(fā)展規(guī)律，通過數(shù)學(xué)家的困難可以預(yù)見和解釋學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，歷史發(fā)展的順序可以作為安排學(xué)習(xí)順序的參考，歷史背景知識可以用來激發(fā)學(xué)生的興趣，歷史上的彎路和挫折可以用來減少學(xué)生的學(xué)習(xí)焦慮，如此等等。

數(shù)學(xué)史就其本質(zhì)而言是人類數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史，而數(shù)學(xué)教育的最高境界是數(shù)學(xué)思想的感悟和熏陶，從這個意義上看，數(shù)學(xué)教育無疑能從數(shù)學(xué)史中汲取更豐富的養(yǎng)分，數(shù)學(xué)史也完全能夠促使數(shù)學(xué)教育變得更厚重和深刻。中國老一輩數(shù)學(xué)家余介石在其著作《數(shù)之意義》中主張，“歷史之于教學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之思，收聞風(fēng)興起之效，更可指示基本概念之有機發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也。”

在更為一般的意義上，數(shù)學(xué)知識的背景史料、相關(guān)的生活常識，形、體的視覺美等東西，都可以作為數(shù)學(xué)文化的構(gòu)成因素而進入課堂，但數(shù)學(xué)文化的核心是在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的歷史進程中，逐步沉淀下來的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)品質(zhì)等。因此，必須回到數(shù)學(xué)本質(zhì)的層面上來彰顯其文化性，努力去把握和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的知性本質(zhì)、數(shù)學(xué)思維的冷峻深刻、數(shù)學(xué)品質(zhì)的求真至善。唯如此，數(shù)學(xué)教育才能走向更深入和厚實。