解讀中考數(shù)學中的雙動點問題

王鳳學

點動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為今年中考試題的熱點，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.

1 以雙動點為載體，探求函數(shù)圖象問題

例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如圖1). 動點P，Q同時從點B出發(fā)，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，兩點運動時的速度都是1cm/s. 而當點P到達點A時，點Q正好到達點C. 設(shè)P，Q同時從點B出發(fā)，經(jīng)過的時間為t(s)時，△BPQ的面積為y(cm)2(如圖2). 分別以t，y為橫、縱坐標建立直角坐標系，已知點P在AD邊上從A到D運動時，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN.

(1)分別求出梯形中BA，AD的長度；

(2)寫出圖3中M，N兩點的坐標；

(3)分別寫出點P在BA邊上和DC邊上運動時，y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補全整個運動中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象.

評析 本題將點的運動過程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖象有機的結(jié)合在一起，二者相輔相成，給人以清新、淡雅之感. 本題彰顯數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)建模與參數(shù)思想在解題過程中的靈活運用. 解決本題的關(guān)鍵是從函數(shù)圖象中確定線段AB、梯形的高與t的函數(shù)關(guān)系式，建立起y與t的函數(shù)關(guān)系式，進而根據(jù)函數(shù)關(guān)系式補充函數(shù)圖象.

2 以雙動點為載體，探求結(jié)論開放性問題

例2 (2007年泰州市)如圖5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的頂點A的坐標為(10，0)，頂點B的坐標為(5，53)，AB=10，點P從點A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運動，同時點Q從點D(0，2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒.

(1)求∠BAO的度數(shù).

(2)當點P在AB上運動時，△OPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點P的運動速度.

(3)求(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時點P的坐標.

(4)如果點P，Q保持(2)中的速度不變，那么點P沿AB邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當點P沿這兩邊運動時，使∠OPQ=90°的點P有幾個?請說明理由.

解 (1)∠BAO=60°.

(2)點P的運動速度為2個單位/秒.

評析 本題是以雙點運動構(gòu)建的集函數(shù)、開放、最值問題于一體的綜合題. 試題有難度、有梯度也有區(qū)分度，是一道具有很好的選拔功能的好題. 解決本題的關(guān)鍵是從圖象中獲取P的速度為2，然后建立S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)解得問題(3).本題的難點是題(4)，考生要從題目的信息中確定建立以B為直角頂點的三角形，以B為臨界點進行分類討論，進而確定點的個數(shù)問題.

3 以雙動點為載體，探求存在性問題

例3 (2007年揚州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).動點M，N同時從B點出發(fā)，分別沿B→A，B→C運動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q.當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒.

(1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米；

(2)若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；

(3)若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；

(4)是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請說明理由.

評析 本題是以雙動點為載體，矩形為背景創(chuàng)設(shè)的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進，將幾何與代數(shù)知識完美的綜合為一題，側(cè)重對相似和梯形面積等知識點的考查，本題的難點主要是題(3)，解決此題的關(guān)鍵是運用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示PM，進而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關(guān)系式，再利用t的范圍確定的a取值范圍. 第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對問題的整體把握.

4 以雙動點為載體，探求函數(shù)最值問題

例4 (2007年吉林省)如圖9，在邊長為82cm的正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，它們分別從點A、C同時出發(fā)，沿對角線以1cm/s的相同速度運動，過E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角邊于H；過F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角邊于G，連結(jié)HG、EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達C，F(xiàn)到達A停止.若E的運動時間為x(s)，解答下列問題：

(1)當0

(2)①若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (圖10為備用圖)

②求y的最大值.

解 (1)以E、F、G、H為頂點的四邊形是矩形，因為正方形ABCD的邊長為82，所以AC=16，過B作BO⊥AC于O，則OB=89，因為AE=x，所以S2=4x，因為HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 當S1=S2時， 4x=x(16-2x)，解得x₁=0(舍去)，x₂=6，所以當x=6時， S1=S2.

(2)①當0≤x<8時，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，

當8≤x≤16時，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，

所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②當0≤x<8時，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當x=5時，y的最大值為50.

當8≤x≤16時，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，

所以當x=13時，y的最大值為82.

綜上可得，y的最大值為82.

評析 本題是以雙動點為載體，正方形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問題.要求學生認真讀題、領(lǐng)會題意、畫出不同情況下的圖形，根據(jù)圖形建立時間變量與其它相關(guān)變量的關(guān)系式，進而構(gòu)建面積的函數(shù)表達式. 本題在知識點上側(cè)重對二次函數(shù)最值問題的考查，要求學生有扎實的基礎(chǔ)知識、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學建模等思想的靈活運用.

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