陰影部分面積題解法初探

侯西存　莊慶花

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，離不開(kāi)解題. 解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要組成部分，也是發(fā)展學(xué)生思維的一種經(jīng)常性的實(shí)踐活動(dòng). 縱觀近幾年的全國(guó)各地中考試卷，發(fā)現(xiàn)在考查學(xué)生求解幾何圖形陰影部分面積問(wèn)題時(shí)，有很多十分優(yōu)秀的試題，這些題目除了著重考察基礎(chǔ)知識(shí)外，還十分重視對(duì)數(shù)學(xué)方法的考查，對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解及應(yīng)用. 現(xiàn)摘錄幾例，談?wù)剬?duì)這類(lèi)試題的解法. 希望能為學(xué)生求解這類(lèi)試題時(shí)提供一點(diǎn)方法指導(dǎo).

1 巧用和差，復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化求

例1 如圖1，扇形OAB的圓心角為90°，半徑為R，分別以O(shè)A、OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P、Q分別表示兩個(gè)陰影部分的面積，那么P和Q的大小關(guān)系是( ).

A.P=Q B.P>Q C.P

5 巧用設(shè)元，復(fù)雜問(wèn)題輕松求

例9 如圖9，在Rt△ABC中，E為斜邊AB上一點(diǎn)，AE=2，EB=1，四邊形DEFC為正方形，則陰影部分的面積為( )?

分析 陰影部分為兩個(gè)直角三角形，S△ADE=12AD·DE，S△BEF=12EF·BF，因?yàn)镈E=EF，所以S┮跤藹=12AD·DE+12EF·BF=12DE(AD+BF) ，在這里DE、AD、BF都未知，但它們之間有關(guān)系，只需求出正方形的邊長(zhǎng)DE即可，由于題目中告訴的是AE、BE的長(zhǎng)度，這兩條線段在△ADE，△BEF中，因?yàn)椤鰽DE∽△EFB，如果設(shè)正方形DEFC的邊長(zhǎng)為x，所以AEEB=DEBE，即21=xBF，所以BF=x2，

又因?yàn)镋F=x，BE=1，所以x2+(x2)2=1，所以x=255，所以DE=EF=255，BF=55，AD=455，所以S┮跤藹=12×AD×DE+12×EF×BF=12×455×255+12×255×55=45+15=1.

例10 現(xiàn)有若干張不相等的但都大于4cm的正方形紙片，從中選一張如圖10，從距離正方形的四個(gè)頂點(diǎn)2cm處沿45°角畫(huà)線(實(shí)線)，將正方形紙片分成5部分，則中間陰影部分的面積是( ).

分析 易得四個(gè)虛線三角形為等腰直角三角形，中間陰影部分為正方形，四個(gè)角也有四個(gè)等腰直角三角形，要想求陰影部分的面積，只需求出這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，如果設(shè)大正方形紙片的邊長(zhǎng)為x，則四個(gè)大等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為(x-2)，四個(gè)虛線等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為(x-4)，所以中間正方形的邊長(zhǎng)就可求了，為 2(x-2)-22(x-4)×2=22，所以S┮跤=(22)2=8.

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