三種幾何變換的主要作用

在現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)課本中^[1]，給出了平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)(即翻折)三種幾何變換. 它們都是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形位置的變換. 它們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)教材的平面幾何理論體系中具有重要作用. 下面列舉幾個(gè)主要作用.

1 為判別相同的圖形提供依據(jù)和方法

在課本七年級(jí)上冊(cè)，關(guān)于畫(huà)出正方體的11種不同的表面展開(kāi)圖，必須涉及到什么是相同的圖形；在七年級(jí)下冊(cè)，關(guān)于三角形全等的定義，又必須涉及什么樣的兩個(gè)三角形是相同的三角形；等等. 在沒(méi)有講任何圖形全等的相關(guān)定理前，需要選用過(guò)渡性“依據(jù)”去判別兩個(gè)相同的圖形，并且還要求這種過(guò)渡性理論“依據(jù)”必須易于學(xué)生理解和操作方法簡(jiǎn)便. 筆者認(rèn)為平移、旋轉(zhuǎn)和翻折變換是最合適的選擇對(duì)象.

把一個(gè)任意的平面圖形通過(guò)平移、或旋轉(zhuǎn)、或翻折變換，得到的新圖形一定是與原圖形全等的圖形. 雖然初中學(xué)生對(duì)它給出證明是困難的，但是用具體的平面圖形采用平移、旋轉(zhuǎn)和翻折變換后，它們不會(huì)改變?cè)瓐D形的形狀和大小的事實(shí)可以說(shuō)明它. 既然可用直觀方法說(shuō)明上述客觀事實(shí)，那么就以“教學(xué)公理”形式來(lái)處理，把一個(gè)平面圖形通過(guò)平移、或旋轉(zhuǎn)、或翻折變換后，能與另一個(gè)平面圖形完全重合時(shí)，這樣的兩個(gè)平面圖形就可以叫做相同圖形或全等圖形. 因此，對(duì)畫(huà)出的兩種正方體的表面展開(kāi)圖是否為相同圖形，就可以依據(jù)這三種幾何變換進(jìn)行“圖形搬遷”的方法來(lái)判斷. 若搬遷后的兩個(gè)圖形能完全重合，則它們就是相同圖形；若用平移、旋轉(zhuǎn)和翻折的搬遷方法，總是不能使兩個(gè)圖形完全重合，則它們就不是相同圖形. 對(duì)三角形全等來(lái)說(shuō)，課本給出了三角形全等的判定定理. 只要能確定兩個(gè)三角形有符合相關(guān)的三角形全等判定定理的條件，就可以獲得這兩個(gè)三角形全等的結(jié)論. 這可以避免用三種幾何變換進(jìn)行圖形搬遷方法確定兩個(gè)圖形全等的冗長(zhǎng)表述和圖形搬遷的麻煩. 解幾何題時(shí)，常要尋找兩個(gè)靜態(tài)的平面圖形間的相同關(guān)系，如果能通過(guò)動(dòng)態(tài)過(guò)程確定兩個(gè)靜態(tài)的平面圖形是怎樣產(chǎn)生的，那么常?？梢蕴峁┲匾慕忸}信息和方法. 這說(shuō)明三種幾何變換不僅是構(gòu)造兩個(gè)圖形全等的重要工具，而且它們是不可忽視的證明兩個(gè)圖形全等的重要的解題思考方法. 利用運(yùn)動(dòng)變化觀念去認(rèn)識(shí)事物符合辯證法.

2 為識(shí)圖和構(gòu)圖提供指導(dǎo)思想和操作方法

在課本的七年級(jí)下冊(cè)編排了圖形的軸對(duì)稱(chēng)變換內(nèi)容，給出了軸對(duì)稱(chēng)圖形和圖形成軸對(duì)稱(chēng). 在八年級(jí)上冊(cè)再安排了圖形的平移和旋轉(zhuǎn)變換內(nèi)容. 課本以較大篇幅安排了幾何變換的應(yīng)用實(shí)例，即把一個(gè)“簡(jiǎn)單”的平面圖形，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折變換，構(gòu)造出許許多多復(fù)雜而美麗的“圖案”. 這樣既可以豐富學(xué)生對(duì)圖案的美感，又可以從圖案的構(gòu)成方法去認(rèn)識(shí)圖案的結(jié)構(gòu). 特別是對(duì)“基本圖形”的不同選擇，運(yùn)用不同的變換方法可獲得某些相同的特殊圖形. 由于“基本圖形”的相對(duì)性，事物運(yùn)動(dòng)變化的多樣性，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義的認(rèn)識(shí)觀. 課本通過(guò)上述指導(dǎo)思想和具體操作方法，結(jié)合課本的配套練習(xí)，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖和構(gòu)圖的能力.

3 為證明平面幾何習(xí)題提供重要的動(dòng)態(tài)分析方法

解題的本質(zhì)是把題目的條件信息和結(jié)論信息建立起科學(xué)的聯(lián)系^[2]. 解題的表述就是闡述其科學(xué)聯(lián)系的建立過(guò)程的具體理由. 在這種意義上說(shuō)，解(證)幾何題就需要不斷地變換前后步驟的“形式”或“思想”. 解數(shù)學(xué)題的靈魂就是“合理變化”. 合理的變化中常會(huì)拓展出解題所需要的一片新天地，缺失合理變化時(shí)常會(huì)在呆滯中一籌莫展. 既然解證幾何題需要不斷地合理變化，那么解(證)幾何題的分析就必須適時(shí)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)和方法.

因?yàn)榻^大多數(shù)“靜態(tài)”的數(shù)學(xué)題都是在某種動(dòng)態(tài)環(huán)境下，靜止于某種特殊情況時(shí)的特殊狀態(tài)，它就像“運(yùn)動(dòng)物體”在某一時(shí)刻的所拍下的“照片”，所以要把數(shù)學(xué)題賦予為“靈性之物”，要研究它由誰(shuí)以怎樣的運(yùn)動(dòng)方式產(chǎn)生，靜止于何時(shí)之狀. 對(duì)于全等圖形來(lái)說(shuō)，就需要觀察分析圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和翻折運(yùn)動(dòng)，明確數(shù)學(xué)題中的圖形是通過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)形成. 讓相關(guān)的圖形“動(dòng)起來(lái)”之后，就能突顯它們之間特殊的位置關(guān)系和大小關(guān)系，就容易從中分析捕捉到重要的解題信息和發(fā)現(xiàn)解題方法. 例如：

圖1

題1 已知：如圖1，△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是△ABC的角平分線，AE交BC于E，AE交CD于F， EG⊥AB于G，

求證：CF = EG.

(1)用動(dòng)態(tài)分析方法研究題1構(gòu)成機(jī)理，發(fā)現(xiàn)題1的解題信息

①?gòu)南嚓P(guān)圖形旋轉(zhuǎn)考慮

如圖1，給定Rt△ABC，斜邊AB上的高CD就確定了. 把射線AE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较驈腁B旋轉(zhuǎn)到AC時(shí)，點(diǎn)E由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，同時(shí)點(diǎn)F由點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)G由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，于是CE由BC退縮為點(diǎn)C，CF由CD退縮為點(diǎn)C， 線段EG在平移中由點(diǎn)B逐步“長(zhǎng)高”到CD. 因?yàn)樵诖诉\(yùn)動(dòng)中，CE 、CF與EG都是同時(shí)開(kāi)始、同時(shí)結(jié)束的連續(xù)變化的線段，且CE與CF都由長(zhǎng)變?yōu)槎?，EG由短變長(zhǎng)，它們的長(zhǎng)度“最小值”都是零，所以必有CE = EG和CF = EG.

當(dāng)CE = EG時(shí)，又AE是公共斜邊，所以Rt△AEC≌Rt△AEG(HL定理)，所以∠4=∠5. 此時(shí)，AE正好是△ABC的角平分線.

反過(guò)來(lái)，只要在動(dòng)態(tài)的變化中把“AE是△ABC的角平分線”的特殊情況“靜止”下來(lái)，那么題1的條件就全有了，并且依據(jù)角平分線性質(zhì)定理，立即可得∠4=∠5，CE = EG(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等). 在Rt△AEC和Rt△AFD中，因?yàn)椤?與∠4互余，∠3與∠5互余，又∠4=∠5，所以∠1=∠3. 因?yàn)椤?與∠3是對(duì)頂角，所以∠2=∠3. 所以∠1=∠2，所以CE =CF. 又CE = EG，所以CF = EG.

這種利用某圖形旋轉(zhuǎn)建構(gòu)動(dòng)態(tài)分析，既能說(shuō)明題1的存在性和這種構(gòu)造理由，又能探究出題1的一種證明方法，且發(fā)現(xiàn)了與結(jié)論相關(guān)的線段CE是證明本題之關(guān)鍵.

②從相關(guān)圖形的軸對(duì)稱(chēng)考慮

對(duì)題1，給定Rt△ABC，斜邊AB上的高CD就確定了. 因?yàn)锳E是Rt△ABC的角平分線，所以∠4=∠5. 又Rt△ABC的直角邊AC必小于它的斜邊AB，所以把Rt△AEC沿AE翻折180°，所以AC必然落在AB上，從而得到Rt△ABC關(guān)于直線AE對(duì)稱(chēng)的△AEG. 因?yàn)椤螦CB=90°，所以EG必垂直AB于G. 這就有了題1的全部條件. 也找到了從“證明三角形全等”入手的解題方法. 易證∠4=∠5，∠ACB=∠AGE=Rt∠，又AE是公共邊， 所以Rt△AEC≌Rt△AEG(AAS)，所以CE = EG，∠1=∠AEG. 又因?yàn)镋G⊥AB，CD⊥AB，所以CD∥EG，所以∠2=∠AEG. 又∠1=∠AEG，所以∠1=∠2，所以CE =CF. 又CE = EG，所以CF = EG.

這種利用某圖形翻折建構(gòu)動(dòng)態(tài)分析，既能從新的角度說(shuō)明題1的存在性和構(gòu)造理由，又能探究出題1的新的證明方法. 此外，還可以從中收獲其他解題信息，例如：由于兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分. 所以AE垂直平分CG，所以CF =FG，CE = EG(線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩個(gè)端點(diǎn)等遠(yuǎn)). 等等.

③從相關(guān)圖形的平移考慮

如圖1，給定Rt△ABC，斜邊AB上的高CD就確定了. 讓直線EG從CD開(kāi)始向右平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，讓直線FG從BC開(kāi)始向下平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，對(duì)應(yīng)的線段EG和FG都分別由長(zhǎng)變短，它們的長(zhǎng)度“最小值”都是零，所以必有FG = EG情況存在. 而夾在兩平行線之間的平行線段相等，所以有CF = EG. 在此特殊情況下，必有CE = EG，由于有∠ACB=Rt∠，EG⊥AB于G的給定條件，所以AE也正好是△ABC的角平分線. 由于相關(guān)的部分圖形的對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)點(diǎn)F就在AE上. 這就說(shuō)明了題1成立，找到了證明CE = EG是證明題1的關(guān)鍵.

(2)用動(dòng)態(tài)分析方法研究題1的關(guān)聯(lián)題，探究變式解題教學(xué)方法.

在題1的條件下，由上述分析和推理已知CF = CE = EG，又CF與 EG都垂直于AB，所以四邊形CFGE是菱形. 于是把題1改造成題2

題2 已知：如圖2，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是△ABC的角平分線，AE交CD于F，AE交BC于E，EG⊥AB于G，

求證：四邊形CFGE是菱形.

圖2

圖3

在題1的條件下，由上述分析和推理已知CF = EG，又CF與 EG都垂直于AB，若再作FH∥AB交BC于H，于是可推出Rt△CFH≌Rt△EGB(AAS)，從而有CH=EB. 所以有CH-EH=EB-EH，即CE=BH. 于是把題1改造成題3

題3 已知：如圖3，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是△ABC的角平分線，AE交CD于F，AE交BC于E，EG⊥AB于G，F(xiàn)H∥AB交BC于H，

求證：CE=BH. (或求證CF=BH)

綜上所述，在解題教學(xué)中探究關(guān)聯(lián)題的變式聯(lián)系，也常需要對(duì)數(shù)學(xué)題及它們的解答進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析探究.

物質(zhì)的世界里，事物的運(yùn)動(dòng)變化造就了事物間的聯(lián)系形式具有多樣性. 許多事物的“隱蔽”聯(lián)系形式常需用動(dòng)態(tài)分析方法去探究發(fā)現(xiàn). 從哲學(xué)意義上說(shuō)，“解題”就是不斷探究發(fā)現(xiàn)“未知世界規(guī)律”的過(guò)程，因此解題教學(xué)要重視關(guān)聯(lián)題的研究，加強(qiáng)變式解題示范，充分發(fā)揮三種變換的作用，適時(shí)運(yùn)用動(dòng)態(tài)分析的研究方法去解題.

參考文獻(xiàn)

[1] 馬復(fù)主編.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》 (七年級(jí)下冊(cè) 八年級(jí)上冊(cè) )[M].北京師范大學(xué)出版社，2005.

[2] 邱衛(wèi)平.建構(gòu)“選擇·探究·發(fā)展”的解題教學(xué)模式@提高中學(xué)數(shù)學(xué)的解題教學(xué)效率[J].數(shù)學(xué)教育研究，2006，(1).

作者簡(jiǎn)介 邱衛(wèi)平 (1953-)，男，湖南常德人，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，特級(jí)教師，長(zhǎng)期從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，曾參與深圳市中考數(shù)學(xué)考試說(shuō)明的編寫(xiě)與修改，多次擔(dān)任深圳市中考數(shù)學(xué)命題組長(zhǎng)，先后多次擔(dān)任過(guò)中考閱卷組長(zhǎng)和閱卷質(zhì)量檢查組長(zhǎng).