山東?。玻埃埃担玻埃埃纺旮呖紨祵W命題特點探析

山東省高考實施自主命題已逾三年，由于高考試題是傳達學習方向和要求水平的最重要的載體之一，因而無論是在實踐還是理論層面都倍受關注.山東又是首批實施高中新課標的實驗區(qū)之一，經濟比較發(fā)達，其命題的示范性和方向性值得關注.本文對其2005—2007年“概率與統(tǒng)計”部分的數學命題特點進行了研究.

1知識點的考綱要求水平統(tǒng)計

根據國家考試大綱、新課標、山東省2007年高考數學考試說明和三年來數學試題的實際呈現結果，我們析出了兩大類共13個知識點作為本次研究的知識因素.兩大類分別是概率和統(tǒng)計，其中概率包括一般隨機事件、等可能事件、互斥事件、相互獨立事件、獨立重復試驗、條件概率、離散型隨機變量的分布列、離散型隨機變量的期望值等8個知識點；統(tǒng)計包括抽樣方法、用樣本估計總體、正態(tài)分布、線性回歸、頻率分布直方圖等5個知識點.其中“條件概率”是2007年新增知識點，國家考綱中有明確闡述；隸屬于分布列的“超幾何分布”是由山東省選修2-3模塊產生的新增知識點；“頻率分布直方圖”屬于2007年實際考查但還沒有列入國家考綱的知識點.具體要求水平如下表：

其中，考綱對知識的考查要求依次為了解、理解和掌握、靈活和綜合運用三個層次（分別用A、B、C表示）.

從表中可見，三年來考綱對知識點的要求水平沒有變化.估計2008年的要求水平在字面上也不會有變化.

2知識點的考查次數統(tǒng)計

本統(tǒng)計的目的在于描述命題組對知識點是否有偏好.在研究中，我們約定：同一知識點在同一小題中多次重復出現不進行累加；同一知識點在同一大題的不同小題或不同大題之間重復出現，其次數進行累加.“大題”指編號為1，2，…的題目；“小題”指在一個大題中編號為（Ⅰ），（Ⅱ）,…（如2006第20題）或者①，②，…（如2006第16題）的題目.下面是知識點所屬題號統(tǒng)計：

不難發(fā)現，命題組對“概率”在考查次數上的偏重是明顯的，因為除了“獨立重復試驗”外，其余知識點都已被測試過（尤其是等可能事件、互斥事件、相互獨立事件，幾乎每年必考）；“統(tǒng)計”只在2007年測試了“頻率分布直方圖”，其余的都沒有被涉及，呈現出明顯的“一邊倒”情形.

2008關于知識點的備考觀點：

1.重復獨立試驗及其對應的二項分布，等可能事件的超幾何分布都是明確列入新課標選修2-3模塊的重要內容，而且重復獨立試驗早就是考綱中的一員.如果山東省繼續(xù)選修2-3模塊，2008年命題組不大可能再舍棄他們去考查“一般分布”(2006年、2007年)和目前還不在課標和考綱范圍內的“幾何分布”（2005年）.二者均值得特別關注.

2.滲透在上述?？贾R點里面的是兩個基本計數原理——分類計數和分步計數原理，他們是提高“概率與統(tǒng)計”試題難度的關鍵因素.

3.盡管出區(qū)分度稍高的試題比較難，但鑒于“統(tǒng)計”在現實生活和科學研究中的地位，增加對它的考查是必然的.比如將“莖葉圖”、“頻率分布直方圖“與“正態(tài)分布圖”結合起來考查學生對分布函數（試題中不會出現這個概念）的初步了解不失為一個好的想法.

3 被考查過的知識點的期望難度水平與實際難度水平的差異比較

雖然理論上存在考查水平A（了解）的情形，但實際三年來所有試題均至少是在B（理解和掌握）水平上展開的（當然它包括了A水平）.但即使如此，確定一道數學試題的實際難度水平仍然是困難的.為此，我們以新課標中的“行為動詞表1”為研究工具分析并描述試題的實際難度水平.也就是說，我們用一道試題中知識點對應的“行為動詞”所屬的難度水平刻畫該知識點的難度水平.有一個問題需要指出，新課標中“掌握”是排在第三水平——掌握/應用/遷移中，考綱中“掌握”是排在第二水平——理解和掌握中.我們不糾纏于文字的表面差異，而是根據“行為動詞”的實質內容將新課標中的“掌握”在難度水平上等同于考綱中的“靈活和綜合應用”，其相應的“行為動詞”用來刻畫考綱中的“靈活和綜合應用”而不是“掌握”.考綱中的“掌握”是用課標中“理解/獨立操作”的行為動詞進行刻畫.

另外，在下面的研究中，我們約定：如果同一道試題多次涉及某一個知識點，那么我們將以難度水平最高的那次（水平）刻畫該知識點在本道題中的實際難度；如果在一套試卷中有多道題目涉及同一知識點，那么將以難度水平最高的那道試題難度水平刻畫本套試卷中該知識點的實際難度；如果同一道試題用相同知識點來解有不同的解法，而各解法的難度水平又不一致，那么我們將用各難度水平的均值刻畫該知識點的實際難度.為便于計算，水平A、B、C分別用1、2、3代替.統(tǒng)計結果如下：

其中，表中的第5列的2.5是由于2005年第9和第18兩道題都涉及“等可能事件”這一知識點，取其難度水平的均值得到.

運用非參數（nonparametric tests）的雙樣本t檢驗（two-independent-samples tests）分析表明，被考查過的知識點（共8個）難度的期望水平與實際水平總體上無顯著差異（Z=1.250,P=0.088﹥0.05）；但對存在于教材已久的“傳統(tǒng)概率模型”（包括一般隨機事件、等可能事件、互斥事件、相互獨立事件和條件概率）而言，在0.05顯著水平上，期望與實際兩個難度水平存在顯著差異（Z=1.581,P=0.013﹤0.05）.

結論：命題組對“早已入綱的概率模型”在難度上的偏重是明顯的，其實際難度水平高于期望難度水平；對“新進入綱的模型”——“分布列和期望值”以及“頻率分布直方圖”——在難度上沒有偏重，其實際難度水平與期望水平一致；總體上，被考查的8個知識點的實際難度水平與期望水平沒有顯著差異.此外，從解決問題的“行為動詞”上還可以看出：知識點有“越考越難一點兒”的趨勢.

2008關于難度的備考觀點：

1.考綱中為“掌握”（處于第二水平）的知識點在實際訓練中宜按第三難度水平進行操作，不宜按字面意思直接對號入座，因為考綱和課標對“掌握”意義的界定并不對等.

2.“一般隨機事件”的考綱要求是第一水平A（了解），但對試題解決過程中的實際“行為動詞”的研究表明，2006和2007兩次考查均是在第三水平（“靈活和綜合應用”）并結合分布列展開的（2007，18題；2006，20題），對其他省份（如2007，全國Ⅰ，18題）試題的考察也有類似的結論.所以，實際訓練中不宜按“了解”對待，最好達到“分析”層次.

4 增加試題知識點難度的因素的分析

總的來講，現在真正在生活和科學研究中發(fā)揮重大作用的是基于對大量隨機現象進行描述和分析的“數理統(tǒng)計”，不是“概率”.而且，基于“概率論與數理統(tǒng)計”的數據分析過程對“概率的計算技巧”要求也并不高，甚至只是“算法”的.這一點在課標中已得到明確闡述.

在上述認識下，我們析出了以下五個難度因素，供復習參考.

4.1 “量”性難度因素：

在同一道試題中增加知識點的個數.比如，2005年第18題涉及四個知識點；2006年第20題涉及六個知識點；2007年第18題涉及七個知識點.

4.2 “質”性難度因素：

1. 對同一知識點，提高其“行為動詞”的難度水平.比如2007和2006對“一般隨機

事件”實際要求就略高于考綱期望要求.

2.設置比較生疏的情景或背景[2]使“分類”和“分步”兩個計數原理的應用變得很不

順暢.這幾乎已成為增加“概率”試題難度的主要手段，其中涉及的“分析”或“討論”兩個動作基本是在新課標關于“知識與技能”的第三水平展開的.這很可能是“考綱”和“課標”對“掌握”一詞的不同界定造成的.

3.同一知識點，改變考查視角

例如：分布列的“反向考查”——給出隨機變量全部分布列的一部分，然后求它取某一具體值或取值范圍的概率.比如下表，給出ξ全部分布列的一部分，求1）隨機變量ξ取3的概率.

這種手法在2005年的第18題（Ⅰ）考查“等可能事件“中已經使用過了，不過對分布列還沒有使用過.

4.3 本部分的特殊難度因素：

整理知識體系，為今后的學習做一些滲透或鋪墊

例如：還是上題（表5）的條件，求2）ξ取值在區(qū)間[2，4]上的概率；3）ξ在區(qū)間[2，4]上的期望值.當然，試題很可能會賦予分布列以實際意義.

為什么會有上述想法呢？首先，從大學課程“概率論與數理統(tǒng)計”的設置看，今后學生（無論是純數學還是與數學有關的計量經濟學、管理學、統(tǒng)計學等）都要接觸“連續(xù)型隨機變量的概率密度（函數）”概念.但求連續(xù)型隨機變量在某個“點”上的概率是沒有意義的——都是零，因而，連續(xù)型隨機變量的概率都是在區(qū)間而非“點”上討論的.為了讓學生有全面的認識，同時也為學習連續(xù)型隨機變量增加一點必要的過渡，命題人有理由設計上述考法.其次，從測試的角度來講，考查離散型隨機變量在某個“小范圍”內的概率或數學期望比在“整個范圍”內更經濟，因為它在效度得以保證的前提下減少了運算量，符合命題的經濟性原則.

盡管如此，通過人為設計情景的復雜性再增加“概率”試題難度的可能性仍然很小.說

的直接一點，將概率作為最后的“把關題”可能性不大.

參考文獻

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[5] 教育部，普通高中數學課程標準（實驗）.

作者簡介

魯慶云，1974年生，西南大學數學與統(tǒng)計學院基礎數學專業(yè)碩士研究生，主要研究方向數學教育學、應用統(tǒng)計學.2007年主要論作：列聯表卡方檢驗在數學教育研究中的使用方法;成績評價模式的改進及其實證等.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>