一道高考試題引發(fā)的探究

林少安

福建省南安一中 (362300)

一、問(wèn)題來(lái)源

在圓錐曲線中，有關(guān)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題已成為高考熱點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題往往望而卻步，得不到最終的結(jié)果，得分率比較低.因?yàn)樗菀捉o人的感覺(jué)是“運(yùn)算量大”、“求解技巧性強(qiáng)”.但事實(shí)并非如此.事實(shí)上，若我們深入探討此類問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的深層認(rèn)識(shí)，突出問(wèn)題的本質(zhì)，完全可以較好地理解此類問(wèn)題的思維過(guò)程.

例1 (2007年山東省高考理科卷第21題)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

在高考復(fù)習(xí)中，對(duì)于經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題的剖析與討論更是必不可少，如果我們能夠經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些典型的試題進(jìn)行剖析，展現(xiàn)試題的來(lái)龍去脈，對(duì)提高高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)質(zhì)量大有好處.通過(guò)試題的剖析，使學(xué)生學(xué)會(huì)了站到一定高度上去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把知識(shí)的內(nèi)涵與外延完全暴露出來(lái)，使學(xué)生的思維得到提升，使知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通.激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的興趣與熱情，同時(shí)也消除學(xué)生對(duì)高考試題的“陌生感”與神秘感.

二、分析探究

對(duì)于此問(wèn)題，我們可作如下的探究：此結(jié)論對(duì)于橢圓的一般情況是否成立呢?答案是肯定的.

性質(zhì)1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)D，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).

證明：由y=kx+m

x2a2+y2b2=1得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),即x1,x2是上述方程的解，所以△=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)=4a2b2(b2+a2k2-m2)>0,即b2+a2k2-m2>0,由韋達(dá)定理得x1+x2=-2a2kmb2+a2k2,x1?x2=a2m2-a2b2b2+a2k2.從而y1y2=(kx1+m)?(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=k2?a2m2-a2b2b2+a2k2+km(-2a2kmb2+a2k2)+m2

=a2k2m2-a2b2k2-2a2k2m2+b2m2+a2k2m2b2+a2k2

=-a2b2k2+b2m2b2+a2k2,因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(a,0)，故k〢D?k〣D=-1,所以y1x1-a?y2x2-a=-1,y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=0,∴y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=-a2b2k2+b2m2b2+a2k2+a2m2-a2b2b2+a2k2-

a(-2a2kmb2+a2k2)+a2

=-a2b2k2+b2m2+a2m2+2a3km+a4k2b2+a2k2，即-a2b2k2+b2m2+a2m2+2a3km+a4k2=0,所以(a2+b2)m2+2a3km+［a(a2-b2)k］?ak=0,所以［(a2+b2)m+a(a2-b2)k］(m+ak)=0,解得m1=-ak,m2=-a(a2-b2)ka2+b2，且滿足b2+a2k2-m2>0.當(dāng)m=-ak時(shí)，l:y=k(x-a)，直線過(guò)定點(diǎn)(a,0)，與已知矛盾.當(dāng)m=-a(a2-b2)a2+b2k時(shí)，l:y=k［x-a(a2-b2)a2+b2］，直線過(guò)定點(diǎn)(a(a2-b2)a2+b2,0).

事實(shí)上，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然AB⊥x軸，又DA⊥DB，由橢圓的對(duì)稱性，知△ADB為等腰直角三角形.

設(shè)AB與x軸交點(diǎn)為M(x0,0)，與橢圓一個(gè)交點(diǎn)為A(x0,baa2-x20),此時(shí)，有|MA|=|MD|,即baa2-x20=|a-x0|，解得x0=a(a2-b2)a2+b2,此時(shí)直線AB亦過(guò)點(diǎn)(a(a2-b2)a2+b2,0).

綜上可知，動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(a(a2-b2)a2+b2,0).因此，此問(wèn)題可寫(xiě)為：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若動(dòng)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)D，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).

相應(yīng)的，對(duì)于雙曲線我們可以做如下探究.

性質(zhì)2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若動(dòng)直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)D，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).

證明：若直線l斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線l:y=kx+m，由y=kx+m

x2a2-y2b2=1得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,直線l:y=kx+m與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),即x1,x2是上述方程的解，△=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2)>0,即m2+b2-a2k2>0,由韋達(dá)定理得x1+x2=2a2kmb2-a2k2,x1x2=-a2m2+a2b2b2-a2k2，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=k2?-a2m2-a2b2b2-a2k2+km?2a2kmb2-a2k2+m2

=-a2k2m2-a2b2k2+2a2k2m2+b2m2-a2k2m2 b2-a2k2=-a2b2k2+b2m2b2-a2k2,因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)D(a,0),k〢D?k〣D=-1,所以y1x1-a?y2x2-a=-1,y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=0,又y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=-a2b2k2+b2m2b2-a2k2+-a2n2-a2b2b2-a2k2-a2a2kmb2-a2k2+a2=-a2b2k2+b2m2-a2m2-2a3km-a4k2b2-a2k2，即-a2b2k2+b2m2-a2m2-2a3km-a4k2=0,所以(a2-b2)m2+2a3km+［a(a2+b2)k］ak=0,［(a2-b2)m+a(a2+b2)k］(m+ak)=0,解得m1=-ak,m2=-a(a2+b2)ka2-b2,且滿足m2+b2-a2k2>0.當(dāng)m=-ak時(shí)，l:y=﹌(x-a)，直線過(guò)定點(diǎn)(a,0)，與已知矛盾；

當(dāng)m=-a(a2+b2)a2-b2k時(shí)，l:y=k［x-a(a2+b2)a2-b2］，直線過(guò)定點(diǎn)(a(a2+b2)a2-b2,0).

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然AB⊥x軸，又DA⊥DB，由雙曲線的對(duì)稱性，所以△ADB為等腰直角三角形，設(shè)AB與x軸交點(diǎn)為M(x0,0)，與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為A(x0,ba?x20-a2),此時(shí)，有|MA|=|MD|,即゜ax20-a2=|a-x0|，解得x0=a(a2+b2)a2-b2,此時(shí)直線AB亦過(guò)點(diǎn)(a(a2+b2)a2-b2,0).

綜上可知，動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(a(a2+b2)a2-b2,0).

對(duì)于拋物線，可作如下探究.

性質(zhì)3 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)，若動(dòng)直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)拋物線C的頂點(diǎn)O，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).

證明：當(dāng)動(dòng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線AB方程為y=kx+b，顯然k≠0,b≠0.將y=kx+b代入拋物線方程，得ky2-2py+2pb=0,直線l:y=kx+m與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),即y1,y2是上述方程的解，△=(-2p)2-4k(2pb)>0，即p-2kb>0.由韋達(dá)定理得y1y2=2pbk,因?yàn)镺A⊥OB，所以k㎡A?k㎡B=-1,所以y1x1?y2x2=-1,即x1x2+y1y2=0.從而x1x2=y21y22(2p)2

=b2k2,∴b2k2+2pbk=0.因?yàn)閗≠0,b≠0，所以b=-2pk，且滿足p-2kb>0,所以動(dòng)直線方程為y=kx-2pk=k(x-2p),此時(shí)動(dòng)直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0).當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，顯然AB⊥x軸，又OA⊥OB，所以△AOB為等腰直角三角形.由y2=2px,

y=x,y2=2px,

y=-x,得到P(2p,2p),Q(2p,-2p),此時(shí)直線AB亦過(guò)點(diǎn)(2p,0).綜上所述，動(dòng)直線AB過(guò)定點(diǎn)M(2p,0).

三、問(wèn)題鏈接

在此應(yīng)注意到，了解相關(guān)的結(jié)論，會(huì)給我們的命題工作提供充分的依據(jù)，同時(shí)也能促進(jìn)解題教學(xué)的改進(jìn)與創(chuàng)新.

綜觀2008年各地模擬試卷，可以發(fā)現(xiàn)以上述結(jié)論為背景的試題很多，下面僅以一例加以說(shuō)明.

例2 (福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)理科第21題)以F1(0，-1)，F(xiàn)2(0，1)為焦點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn)P(22,1).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)S(-13，0)的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T.使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T；若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

本題是一道背景樸素、意境幽美、綜合性很強(qiáng)的試題.從考查的知識(shí)內(nèi)容來(lái)看，是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)的試題，涉及直線方程、橢圓方程、圓的方程、直線與橢圓相交及向量的數(shù)量積等基本知識(shí).從考查的方法看，要用到向量的數(shù)量積的運(yùn)算、韋達(dá)定理、代數(shù)式的變形等，具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)含字母的運(yùn)算及運(yùn)算方向的選擇有較高的要求.整個(gè)題目集研究性學(xué)習(xí)與能力考查于一題，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，一氣呵成，渾然天成，不僅為學(xué)生提供了探究性學(xué)習(xí)的豐富載體與想像的空間，而且滲透了數(shù)學(xué)思想方法在對(duì)問(wèn)題探討中的應(yīng)用，同時(shí)也在“不知不覺(jué)”中考查了學(xué)生利用方程思想、特殊與一般思想解決解析幾何問(wèn)題的能力，可以說(shuō)是考查與探究?jī)刹徽`，真是一舉兩得的事情.

從另一個(gè)層面思考，題目設(shè)計(jì)中為什么是“過(guò)點(diǎn)S(-13，0)的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)”，點(diǎn)S(-13，0)是隨意構(gòu)造的嗎?事實(shí)上，從性質(zhì)1中我們不難得到答案.