信息論思想在數(shù)學(xué)解題中給人們驚喜

張家驥

江蘇省鹽城高等師范學(xué)校 (224001)

物質(zhì)世界有三個基本方面，即材料、能量和信息.材料和能量早已受到人們的重視，現(xiàn)在人們又認識了信息.

所謂信息，并非指事物本身，而是指用來表征事物，并由事物發(fā)出的數(shù)據(jù)和信號中所包含的對象.信息論的創(chuàng)始人N?維納說：“信息是人們在適應(yīng)外部世界并且使這種適應(yīng)反作用于外部世界的過程中，同外部世界進行交換的內(nèi)容的名稱.”信息就是事物存在的方式或運動的狀態(tài)，以及這種方式或狀態(tài)的直接或間接的表述.

信息論研究信息的本質(zhì)，運用數(shù)學(xué)理論研究描述和度量信息的方法，以及傳送、處理信息的基本原理.

從信息論的角度看，數(shù)學(xué)問題的解決過程就是信息的捕捉(主要任務(wù)是收集與存貯信息，對應(yīng)于數(shù)學(xué)解題中的審題過程)、處理(主要任務(wù)是提取與加工信息，對應(yīng)于數(shù)學(xué)解題中的分析過程)、應(yīng)用(主要任務(wù)是將處理后的信息進行有目的和有序的反饋，對應(yīng)于數(shù)學(xué)解題中的解答過程)和跟蹤(主要任務(wù)是對反饋出去的信息進行跟蹤了解，對應(yīng)于數(shù)學(xué)解題中的檢驗與反思過程)的過程——筆者稱之為用于探求數(shù)學(xué)解題思路的信息論思想.由此可見，從信息論的角度去分析和解決數(shù)學(xué)問題可以作為一種特別的探求數(shù)學(xué)解題思路的方法.如果在應(yīng)用常見的數(shù)學(xué)思想方法解題過程中，你還能有意識地用信息論思想幫助探求解題思路的話，那么你一定會發(fā)現(xiàn)，信息論思想在數(shù)學(xué)解題中常會帶給人們驚喜.

一、捕捉信息，關(guān)聯(lián)探求

解答數(shù)學(xué)問題的首個步驟是審題，其任務(wù)是弄清題意.因此，許多學(xué)生的著眼點就是把題目的意思弄清楚.但從信息論的角度看，這一步驟是捕捉信息的過程(許多人喜歡說是接收信息，顯然“捕捉”比“接收”主動得多).捕捉信息與審題雖然是從不同的角度說是一個意思，但給解題者引導(dǎo)的力度不同.捕捉信息鼓勵解題者去尋找藏在表面或直接信息背后的信息，再把獲取的新信息與已有信息做關(guān)聯(lián)，從而使我們得以或盡快地找到正確的解題思路.現(xiàn)介紹兩種捕捉信息的方法：

1.延伸條件法

所謂延伸條件就是把已知條件(也可以是題目要求的問題.下同)向前推一至兩步或把條件變化一下.有時候看條件本身好象得不到我們需要的信息，按自己的經(jīng)驗感覺不到條件延伸后的作用(任何人看到眼前條件后都會或多或少地將條件進行延伸，當(dāng)然可能更多的是無意識的延伸)或不愿意將某些條件做有意識的延伸，但在解題思路遇阻的情況下，將條件有意識地延伸一下，你或許會發(fā)出“原來如此”的感嘆.

例1(2007北京高考數(shù)學(xué)試卷第20題)已知集合A={a1,a2,…，a璳}(k≥2)，其中a璱∈Z(i=1,2,…,k).由A中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：S={(a,b)}|a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A}.其中(a,b)是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)為m和n.若對于任意的a∈A，總有-a麬，則稱集合A具有性質(zhì)P.

(1)檢驗集合{0,1,2,3}與{-1,2,3}是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；

(2)對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：n≤k(k-1)2；

(3)判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

分析與簡評：這里只對第(3)問做分析.不少學(xué)生遇此感到無法下手，為何?好象就這兩個條件：集合S和集合T，看不出這兩個集合之間有什么關(guān)系(因為屬于S的元素推不出屬于T，反之亦然)，各自的元素個數(shù)m和n又求不出來.怎么辦呢?我們需要捕捉隱藏在表面信息背后的信息.由于題目告訴我們這兩個集合之間肯定有某種關(guān)系，所以我們應(yīng)該將這兩個集合的元素加以比較和聯(lián)系.將集合S和集合T的元素特征比較、關(guān)聯(lián)后再延伸一下，我們發(fā)現(xiàn)：若(a,b)∈S，則(a+b,b)∈T；若(a,b)∈T，則(a-b,b)∈S.顯然捕捉到這樣一個信息是解決問題的關(guān)鍵，因為下面再說明“若(a,b)與(c,d)不同，則(a+b,b)與(c+d,d)不同，(a-b,b)與(c-d,d)也不同”是自然的事 ，而且簡單.

2.關(guān)注弱項法

有些題目條件復(fù)雜，其中有些條件與要解決的問題表面上看關(guān)聯(lián)度較低，給解題者的刺激較弱或印象不深，這些條件不妨稱為弱項條件，反之稱為強項條件或中項條件.弱項條件容易被解題者忽視，可有時找不到解題思路就是因為沒有用到這些弱項條件.所以在解題思路遇阻的情況下，把弱項條件拿來試用一下，你或許會“柳暗花明又一春”.

例2 一批物品，分為3種：超重、正常、過輕.超重用H表示，正常用N表示，過輕用L表示.現(xiàn)在要稱出物品屬于哪一種，如果物品超重就會顯示A，正常顯示B，過輕顯示C.由于位置偏移，超重顯示為正常的物品數(shù)占總數(shù)的15%，即P(B|H)=0.15，正常顯示為過輕的物品數(shù)占總數(shù)的10%，即P(C|N)=0.1.又已知H占15%，即P(H)=0.15，同樣，P(N)=0.75,P(L)=0.1.求：P(H|A),P(N|B),㏄(L|C).

分析與簡評：很多學(xué)生都說這個題目少條件了，認為至少還要知道P(A|H),P(A|N),P(A|L),P(B|L)才能用Bayes定理計算，而根據(jù)條件無法求出P(A|H),P(A|N),P(A|L),P(B|L).真的無法求出上面4個量嗎?不是.想想為什么有時超重卻顯示為正常，正常卻顯示為過輕呢?是因為“位置偏移”!“位置偏移”這個非數(shù)量化的條件沒有引起人們的注意，如果想到應(yīng)用這樣一個條件的話，那么由題目的已知條件可以推出：P(A|H)=0.85，㏄(C|H)=0，狿(A|N)=0，P(B|N)=0.9，㏄(A|L)=0,P(B|L)=0,P(C|L)=1，這下問題就簡單了!事后有人感嘆：我把問題復(fù)雜化了，或者說我們的注意力都集中到純概率問題上，如果能從信息論的角度去分析我們應(yīng)該能關(guān)注到“位置偏移”這樣一個弱項條件.

二、判斷信息，學(xué)會取舍

解答數(shù)學(xué)問題的重要和關(guān)鍵步驟是分析，其任務(wù)是探尋解題思路.如何探尋解題思路呢?概括地講就是比較條件與條件、條件和問題，應(yīng)用各種數(shù)學(xué)思想方法將題目中的已知條件和要求解的問題之間的被隱藏起來的邏輯通道顯現(xiàn).從信息論的角度講，就是要對各種信息進行提取和加工，最終實現(xiàn)條件信息向結(jié)論信息的轉(zhuǎn)化.篩選、捕捉、判斷和聯(lián)合轉(zhuǎn)換信息則是這一過程中常見的具體的表現(xiàn)方式.在解答比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，我們常常會看到某些學(xué)生進入“繁亂的森林”甚至走入歧途而不愿另辟蹊徑，有些學(xué)生已到“關(guān)門前”卻止步不前.原因何在?許多情況下是因為不能及時審時度勢對眼前的各種信息做出正確的判斷，或者是因為沒有留心從眼前經(jīng)過的各種信息尤其是那些從眼前一閃而過且不太引人注目的信息.其實解題的過程也是我們不斷取舍的過程，因為面臨一個數(shù)學(xué)問題，我們的思維方向可能有多個，其中有些方向是可通的，有些方向是錯誤的，所以我們需要不斷地對思維方向進行取舍，而決定取舍受到我們對各種信息的獲取和判斷的影響.因此，在探求數(shù)學(xué)解題思路的過程中，關(guān)注和捕捉各種信息，并對它們及時做出正確的判斷，然后對我們的思路作出合理的取舍，對我們解決數(shù)學(xué)問題一定會有較大的幫助.以下兩種方法值得我們在解題中借鑒：

1.直覺放棄，分析轉(zhuǎn)化

在探求解題思路的過程中，每走一步我們都可能有一個解題方向的選擇問題，所以在探求解題思路的過程中，解題方向的選擇與放棄成為常態(tài)，而且也是解題能力強弱的體現(xiàn)，尤其在解有一些難度的題目時這一點很重要.那么如何選擇解題方向呢?若總是等各個方向全走一遍后再取舍顯然行不通，因為時間上不允許，就像下象棋一樣，路子很多，怎能讓你全試一遍再確定走棋嘞?這時靠的是我們對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，靠的是我們的已有經(jīng)驗和對各種信息快速反應(yīng)的能力，靠的是我們的直覺.及時捕捉各種信息，并運用我們的直覺對當(dāng)前的解題方向進行取舍，通常會避免我們多走彎路或進入死胡同.

例3 (2007江蘇高考數(shù)學(xué)試卷第19題)

如圖，在平面直角坐標系xOy中，過y軸正方向上一點C(0,c)任作一直線，與拋物線y=x2相交于A、B兩點，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線l:y=-c交于P、Q.

(1)若㎡A?㎡B=2，求c的值；

(2)若P為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線；

(3)試問(2)的逆命題是否成立?說明理由.

分析與簡評：只對第(1)題做分析.設(shè)過C點的直線為y=kx+c，下面我們可能會想通過解下列方程組y=kx+c

y=x2求出A、B點的坐標，然后再用條件㎡A?㎡B=2求出c的值.由上面的方程組得x2-kx-c=0，接下來不少學(xué)生會按上面的思路求出A、B點的橫坐標，從而走進繁難的道路.但如果我們信息論思想較強，在解題過程中注意積極地抓捕信息的話，那么很可能會看到(1)由方程x2-kx-c=0求出x的值較繁；(2)㎡A?㎡B=2告訴我們不需要一個一個地求x1,x2,y1,y2(以上分別為A、B點的橫、縱坐標)，只需要直接求出x1x2和y1y2這兩個積即可.由此，我們一定會放棄直接求A、B點坐標的思路，而改用韋達定理進行求解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由x2-kx-c=0得x1+x2=k,x1x2=-c，又由㎡A?㎡B=2知x1x2+y1y2=2,即x1x2+(kx1+c)(kx2+c)=2，x1x2+k2x1x2+kc(x1+x2)+c2=2，所以-c-k2c+k2c+c2=2，即c2-c-2=0，所以c=2(舍去c=-1).

2.邏輯堅持，關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化

直覺上感到某個解題思路可能不通是否就要立即放棄呢?由于直覺思維的結(jié)果未必正確，所以把各種信息綜合起來，再從邏輯關(guān)系上做一些判斷，通常會避免我們功虧一匱.

例4 (例3的第(2)題)

分析與簡評：我們很容易看到若設(shè)A點的橫坐標為x1的話，那么過點A的切線的斜率為2x1.所以我們會想到先寫出點A和點Q的坐標，然后想辦法說明直線QA的斜率為2x1.基于這樣的考慮，我們設(shè)過C點的直線 為y=kx+c,A(x1,x12),B(x2,x22)，則有Q(x1+x22,-c),所以直線QA的斜率為x12+cx1-x1+x22.看到前面這個式子不少學(xué)生決定放棄，因為他們感到證明此式等于2x1不可能.其實從邏輯上考慮應(yīng)該能證明此式等于2x1.如果你能這樣想，那么你一定會去聯(lián)想解答第(1)題時得到的信息“x1x2=-c”，從而使問題很快得解(標準答案里是用同一法證明的，其思路和過程比這里繁得多).

人類生活在信息的海洋中，人們通過信息來認識事物和改造世界.研究和運用信息，從大的方面講對于人類的生存與發(fā)展有極為重要的意義，從數(shù)學(xué)教育方面說， 對數(shù)學(xué)教學(xué)和提高學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的能力也有較大的作用.在解答數(shù)學(xué)問題時從信息論的角度做一些分析和思考(即把信息論思想用于數(shù)學(xué)解題)常常會給我們驚喜.愿信息論思想在數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮更大的作用!

參考文獻

［1］韋輝源.“信息論”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，廣東教育(綜合版)，2007年05期.

［2］徐宏田.談信息加工模式在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，宿州教育學(xué)院學(xué)報，2002年04期.