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    用schur不等式——“背景不等式”的背景證明競賽不等式

    2008-01-05 06:39:16鄒守文湯慶梅
    中學數(shù)學研究 2008年11期
    關(guān)鍵詞:等價奧林匹克實數(shù)

    鄒守文 湯慶梅

    安徽省蕪湖市第十四中學 (241000)

    安徽省南陵縣實驗中學(241300)

    文[2]受文[1]啟發(fā),給出“背景不等式”:

    abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)的若干運用,實際上abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)是Schur不等式的特例.

    Schur不等式是指:設(shè)x,y,z為非負實數(shù),r>0,則有∑x瑀(x-y)(x-z)≥0(1),特別當r=1時,有∑x(x-y)(x-z)≥0(2).

    由(2)式∑a(a-b)(a-c)≥0不難得到abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).

    下面通過例題說明(2)式在證明競賽不等式中的運用.

    例1 設(shè)a,b,c>0,且ab+bc+ca=1,求證:a3+a+b3+b+c3+c≥

    2a+b+c(伊朗,2008數(shù)學奧林匹克)

    證明:所證不等式等價于

    ∑a(a+b)(a+c)≥2(a+b+c)(ab+bc+ca)

    凇芶(a+b)(a+c)+2∑(a+b)?ab(a+b)(a+c)≥4∑ab(a+b)+12abc凇芶3+∑(a+b)ab(a+b)(a+c)≥3∑ab?(a+b)+9abc.

    由柯西不等式知:ab(a+b)(a+c)=(ab+bc)(ab+ac)≥(ab+ab?c)2,于是只需證∑a3+2∑(a+b)(ab+ab?c)≥3∑ab(a+b)+9abc凇芶3+2∑ab(a+b)+2∑(a+b)?abc≥3∑ab(a+b)+9abc凇芶3+2∑(a+b)abc≥∑ab(a+b)+9abc.

    因為a+b≥2ab,故只需證凇芶3+12abc≥∑ab(a+b)+9abc凇芶3-∑ab(a+b)+3abc≥0凇芶(a-b)(a-c)≥0.

    由Schur不等式知最后一式成立,故所證得證.

    例2 如果a,b,c是正實數(shù),求證:

    (1+4ab+c)(1+4bc+a)(1+4ca+b)>25.(2008,馬其頓王國數(shù)學奧林匹克)

    證明:所證不等式等價于(b+c+4a)(c+a+4b)(a+b+4c)>25(a+b)(b+c)(c+a).令a+b+c=s,則上式又等價于(s+3a)(s+3b)(s+3c)>25(s-a)(s-b)(s-c)4s3+9s∑ab+27abc>25(s∑ab-abc)趕3+13abc>4s∑ab.

    ∵s3=(a+b+c)3=∑a3+3∑ab(a+b)+6abc,s∑ab=∑ab(a+b)+3abc凇芶3+3∑ab(a+b)+6abc+13abc>4(∑ab(a+b)+3abc)凇芶3-∑ab(a+b)+7abc>0

    ∑a(a-b)(a-c)+4abc>0.

    由Suchur不等式知最后一式成立,故所證得證.

    例3 已知a,b,c是正數(shù),且a+b+c=1,證明:∑1bc+a+1a≤2731(2008年,玈erbian數(shù)學奧林匹克試題).

    證明:原式等價于∑9a2+9abc+9-31aa2+abc+1≥0.不妨設(shè)a≥b≥c,顯然有9(a+b)<31等,所以容易證明9a2+9abc+9-31a≤9b2+9abc+9-31b≤9c2+9abc+9-31c,1a2+abc+1≤1b2+abc+1≤1c2+abc+1,因此,由切比雪夫(Chebyshev)不等式有

    3∑9a2+9abc+9-31aa2+abc+1≥∑(9a2+9abc+9-31a)?∑1a2+abc+1.

    于是只要證明∑(9a2+9abc+9-31a)≥0,它等價于9∑a2+27abc+27-31∑a≥0,因為a+b+c=1,所以只要證明9∑a2+27abc-4≥0,即9∑a∑a2+27abc-4(∑a)3≥0,①而∑a∑a2=∑a3+∑ab(a+b),(∑a)3=∑a3+3∑ab(a+b)+6abc,于是①式等價于9[∑a3+∑ab(a+b)]+27abc-4[∑a3+3∑ab(a+b)+6abc]≥05∑a3-3∑ab(a+b)+3abc≥03∑a(a-b)(a-c)+2(∑a3-3abc)≥0.由Schur不等式和∑a3≥3abc知最后一式成立,故所證得證.

    例4 設(shè)正實數(shù)a,b,c,求證:

    a+1b-cb+1c-a+b+1c-ac+1a-b+c+1a-ba+1b-c≥3(2000,IMO預選題)

    證明:令a=xy,b=yz,c=zx,則所證等價于∑xy+zy-1yz+xz-1≥3.(1)詎∑(x+z-y)(x+y-z)yz≥3凇苮(x+z-y)(x+y-z)≥3xyz凇苮[x2-(y-z)2]≥3xyz凇苮3-∑x(y-z)2≥3xyz凇苮3-∑x(y2+z2-2yz)≥3xyz凇苮3-∑xy(x+y)+3xyz≥0凇苮(x-y)(x-z)≥0.

    由(2)式即得.

    注:在例4中令x+z-y=2p,x+y-z=2q,y+z-x=2r,則x=p+q,y=q+r,z=r+p,則(1)式又等價于∑2p?2q(p+r)(q+r)≥3,即凇苝q(p+r)(q+r)≥34.(3)

    例5 正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求證:a-bca+bc+b-cab+ca+c-abc+ab≤32.(2008,加拿大數(shù)學奧林匹克試題)

    證明:原不等式等價于3-2?bca+bc+cab+ca+abc+ab≤32赼bc+ab+bca+bc+cab+ca≥34赼b(1-a)(1-b)+bc(1-b)(1-c)+ca(1-c)(1-a)≥34赼b(b+c)(c+a)+bc(c+a)(a+b)+

    ca(a+b)(b+c)≥34.由(3)式知上式成立,故例5得證.

    參考文獻

    [1]黃偉亮.幾個不等式的共同背景[J].中學數(shù)學研究(廣州),2007(6).

    [2]蘇昌木盛、孫建斌.背景不等式的進一步研究[J].中學數(shù)學研究(廣州),2008(8).

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