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    數(shù)學(xué)教學(xué)智慧

    2007-04-23 02:05:02黃愛華胡愛民
    人民教育 2007年21期
    關(guān)鍵詞:辦法解決問題符號(hào)

    黃愛華 胡愛民

    《論語·為政》說:“視其所以,觀其所由,察其所安。人焉庾哉?人焉庾哉?”意思是說:首先觀察一個(gè)人因何去做一件事,然后觀察他如何去做這件事,再觀察他做此事時(shí)的心情如何,安或不安。如此觀察,一個(gè)人是好是壞還能向何處去藏匿呢?!它的本意是告訴人們?nèi)绾稳ヨb別一個(gè)人的好壞,考察的是一個(gè)人的道德修養(yǎng)。

    但是,我們認(rèn)真思考一下就會(huì)發(fā)現(xiàn),在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索解決問題的策略,又何嘗不是同樣的道理呢?

    視其所以——怎么樣

    托蘭斯指出,要在承認(rèn)兒童具有可開發(fā)的巨大創(chuàng)造潛能的基礎(chǔ)上,為其提供新的機(jī)會(huì),讓兒童能夠獨(dú)立地進(jìn)行創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)或從事其他活動(dòng),減少不必要的規(guī)定,培養(yǎng)、增強(qiáng)兒童的自信心。因此,教師要信任學(xué)生,充分發(fā)揮學(xué)生主體積極性,向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì),幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中去探索、爭(zhēng)論和發(fā)明創(chuàng)造,從而真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

    案例:“循環(huán)小數(shù)”教學(xué)片段

    師:(指板演題3……”中不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪一個(gè)?(3)。在“5.3272……”中依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個(gè)?(2、7)。在“6.416416……中不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個(gè)?(4、1、6)。

    師:我們能不能想一個(gè)辦法,讓循環(huán)小數(shù)的寫法簡(jiǎn)單一些,比如,去掉省略號(hào),依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字也只寫一次,卻依然能讓人看出這個(gè)循環(huán)小數(shù)的意思?

    生1:我想了一個(gè)辦法,3……寫作3.(3);5.327……寫作5.3(27);6.416416……寫作6.(416)。

    生2:我的辦法是這樣的,3.33……寫作3.3;5.32727……寫作5.327;6.416416……寫作6.416。

    生3:我的辦法是這樣的,3……寫作3.(無限);5.32727……寫作5.3(無限);6.41641……寫作6.416(無限)。

    生4:我的辦法是這樣的,3.33……寫作3.3(3無限);5.32727……寫作5.327(27無限);6.41646……寫作6.416(416無限)。

    生5:我的辦法是這樣的,3.33……寫作3.3;5.32727……寫作5.3;6.41646……寫作6.416。

    師:你認(rèn)為哪種符號(hào)比較好?

    生1:不要有漢字比較好。

    生2:第五種辦法比較好,簡(jiǎn)潔明了。

    生3:我認(rèn)為6.416,只要在循環(huán)節(jié)的第一個(gè)數(shù)字和最后一個(gè)數(shù)字上點(diǎn)點(diǎn)就可以了。

    在本案例中,教師沒有采用自學(xué)課本這種形式,同時(shí)也不急于把簡(jiǎn)便寫法告訴學(xué)生,而是讓學(xué)生自己想辦法去創(chuàng)造符號(hào),使學(xué)生在想辦法的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)產(chǎn)生的需要,體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)中符號(hào)是一種約定俗成,體會(huì)到符號(hào)不再那么神秘,而當(dāng)有些學(xué)生的思路接近數(shù)學(xué)上的約定俗成時(shí),體會(huì)到的是一種學(xué)習(xí)成功的滿足。在此基礎(chǔ)上,組織學(xué)生對(duì)所創(chuàng)造的符號(hào)進(jìn)行討論,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)潔明了的特點(diǎn)。

    學(xué)生只有自發(fā)地、具體地參與各種實(shí)際活動(dòng),大膽地提出自己的假設(shè),并經(jīng)過驗(yàn)證,才能獲得真正的知識(shí),才能發(fā)展思維。在這里,學(xué)生經(jīng)歷了“遇到問題——尋找、發(fā)現(xiàn)問題特征——表征問題”的一個(gè)學(xué)習(xí)過程。學(xué)生需要思考:循環(huán)小數(shù)怎樣寫更簡(jiǎn)單一些呢?帶著這個(gè)問題,學(xué)生去觀察、思考循環(huán)小數(shù)的特征,在發(fā)現(xiàn)這種特征之后,學(xué)生按照自己的喜好去表示循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。像這樣把理解的特征外化出來,就必須注重問題的表征,只有將問題整體外化,才能有效地把握住問題本質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu),學(xué)生的思維才不是虛無縹緲的,而是具體、真實(shí)的。

    觀其所由——為什么這樣

    我們知道人們認(rèn)識(shí)客觀世界的過程是一個(gè)螺旋式的上升過程,它從原有經(jīng)驗(yàn)出發(fā),在低水平支撐下建立,通過認(rèn)識(shí)一實(shí)踐再認(rèn)識(shí)一再實(shí)踐逐步建構(gòu)其自身對(duì)外部世界的認(rèn)知,并在認(rèn)識(shí)過程中逐漸內(nèi)化為自己的心智。正是基于這種認(rèn)識(shí),課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。

    但是,并不是所有的認(rèn)識(shí)過程都是階梯式發(fā)展的,也可能是跳躍式的,因?yàn)橛泻芏鄸|西在人們的經(jīng)驗(yàn)中早就有了,關(guān)鍵是如何在一定的問題情境中使新知與經(jīng)驗(yàn)獲得聯(lián)系,一旦聯(lián)系成功,新知的獲得便水到渠成。

    案例:“比較數(shù)的大小”教學(xué)片段

    ●第一次抽簽,從個(gè)位抽起。

    游戲規(guī)則:

    (1)每次兩隊(duì)各派一個(gè)代表抽簽;

    (2)第一次抽到的數(shù)字放在個(gè)位上,第二次抽到的放在十位上,第三……

    (3)哪一隊(duì)抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大,那一隊(duì)就贏;

    (4)能確定勝負(fù)時(shí),本輪比賽結(jié)束。

    ●第二次抽簽,從千位抽起。

    游戲規(guī)則:

    (1)每次兩隊(duì)各派一個(gè)代表抽簽;

    (2)第一次抽到的數(shù)字放在千位上,第二次抽到的放在百位上,第三次……

    (3)哪一隊(duì)抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大、那一隊(duì)就贏;

    (4)能確定勝負(fù)時(shí),本輪比賽結(jié)束。

    (黃河隊(duì)抽到8,長(zhǎng)江隊(duì)抽到5。把8與5的卡片分別貼到千位上。)

    師:讓我們接著抽。

    生:不用抽了。黃河隊(duì)贏了,因?yàn)?個(gè)千比5個(gè)千大。

    師:假如長(zhǎng)江隊(duì)百位上抽個(gè)9,黃河隊(duì)百位上抽個(gè)6,能贏回來嗎?

    生:不能,因?yàn)榘傥痪褪浅榈?,也只代表900,都不夠1000,而剛才黃河隊(duì)比長(zhǎng)江隊(duì)多3000。

    游戲的基礎(chǔ)其實(shí)就是10以內(nèi)數(shù)的大小比較和位值制的認(rèn)識(shí)。在相同數(shù)位上,不同的數(shù)大小不同。即使是十位、百位、千位,也可以看作幾個(gè)十,幾個(gè)百,幾個(gè)……從而轉(zhuǎn)化為10以內(nèi)的數(shù)比較大小——這是基點(diǎn)。

    “不用抽了”一為什么呢?把8與5的卡片分別貼到千位上,8個(gè)千比5個(gè)千大。第二輪游戲的巧妙之處就在于“一戰(zhàn)定乾坤”一千位上,不同的數(shù)大小不同,由于首先就將抽到的數(shù)字放在最高位,這就導(dǎo)致了初戰(zhàn)即決戰(zhàn)一最高位的數(shù)字大小直接決定了兩個(gè)數(shù)的大小。這里的“為什么”就促使學(xué)生自己在活動(dòng)中意識(shí)到:兩個(gè)數(shù)大小的比較,先看最高位一這是發(fā)展。

    ●第三次抽簽,由抽簽者自己決定放在哪一位上。游戲規(guī)則:

    (1)每次兩隊(duì)各派一個(gè)代表抽簽;

    (2)每一次抽到的數(shù)字由抽簽者自己決定放在哪一位上;

    (3)哪一隊(duì)抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大,那一隊(duì)就贏;

    (4)能確定勝負(fù)時(shí),本輪比賽結(jié)束。

    (黃河隊(duì)抽到3,學(xué)生把3放到個(gè)位上,長(zhǎng)江隊(duì)抽到7,學(xué)生把7放到百位上。)

    師:請(qǐng)你們說說,為什么這樣放?

    生1:我抽到的3太小了,放在個(gè)位比較好,讓出高位,給大數(shù)字。

    生2:我抽的7比較大,本來想放到千位,但要是等一下我們組還有人手氣比我好,抽到8或9,放在千位更好,所以放在百位。

    師:要是等下抽到的數(shù)都比8小,怎么辦?生2:那也沒辦法,博一博唄!

    生3:也不一定輸,還得看第三組抽到什么數(shù)。第三輪游戲的關(guān)鍵在于對(duì)位值制的深刻理解及對(duì)數(shù)感的直覺把握。在相同數(shù)位上,不同的數(shù)大小不同;在不同的數(shù)位上,即使相同的數(shù)大小也不同一這是數(shù)的大小比較的基礎(chǔ)。

    抽到的數(shù)字放在哪位呢?放在低位,如果后面抽到的數(shù)字更小怎么辦?放在高位,后面如果抽到更大的數(shù)字豈不是讓自己立于失敗之地?一這里需要數(shù)感的直覺把握。

    案例中,學(xué)生將抽到的3放在個(gè)位,而另一個(gè)學(xué)生則將抽到的7放在百位,為什么這么做呢?抽到的3太小了,放在個(gè)位比較好,讓出高位,給大數(shù)字。抽的7比較大,本來想放到千位,但要是等一下抽到8或9,放在千位更好,所以放在百位。

    每抽出一個(gè)數(shù)位,上的數(shù),都會(huì)引起孩子們的關(guān)注和思考,抓住這種時(shí)機(jī)及時(shí)讓他們討論:為什么放在這里呢?為什么還要繼續(xù)往下抽呢?為什么不需要抽了呢?現(xiàn)在可以確定勝負(fù)了嗎?為什么?

    每一個(gè)“為什么”都在促使學(xué)生在操作中加深

    對(duì)數(shù)位、計(jì)數(shù)單位、十進(jìn)制的認(rèn)識(shí),自我完善數(shù)的相對(duì)大小的認(rèn)識(shí),在不斷的比較中優(yōu)化、強(qiáng)化對(duì)數(shù)的理解,培養(yǎng)數(shù)感,從而把比較數(shù)的大小法則背后的道理,由學(xué)生自己分析出來,抽象的法則,變成了學(xué)生內(nèi)化的知識(shí)。

    這也提醒我們,教學(xué)不能只是傳授一種知識(shí),不應(yīng)只是注重?cái)?shù)學(xué)形式層面的東西,而更加應(yīng)該重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)層面的教學(xué),即讓學(xué)生去經(jīng)歷解決問題的過程,去經(jīng)歷理解、感受數(shù)學(xué)思想和觀念、過程與方法的過程。在這個(gè)過程中,一些概念和認(rèn)識(shí)是在學(xué)生操作取得豐富的表象基礎(chǔ)上,自己對(duì)表象進(jìn)行抽象概括而形成的。教師的作用只是提供問題情境,適時(shí)畫龍點(diǎn)睛。

    寮其所安——他喜歡怎么做

    數(shù)學(xué)家喜歡或者希望把什么都?xì)w結(jié)為數(shù)學(xué)關(guān)系,總是思考著:在表象千絲萬縷的背后有著什么聯(lián)系,可以用一個(gè)什么數(shù)量關(guān)系式表達(dá)。笛卡兒正是出于想把任何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解的想法才發(fā)明了解析幾何。這也反映了人們認(rèn)識(shí)事物從具體到抽象、從特殊到一般的辯證的認(rèn)識(shí)過程。

    這種對(duì)現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的行為就是一種數(shù)學(xué)式的思維,這種數(shù)學(xué)思維是受到數(shù)學(xué)化觀念思想的影響的。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)化思想、觀念、方法的教學(xué),要引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可以處理的但又對(duì)原來的問題有用的數(shù)學(xué)問題,尋找解決問題的數(shù)學(xué)方法,有時(shí)還須對(duì)問題做出解釋和討論。如何使學(xué)生獲得這種能力不是很簡(jiǎn)單的,它比使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)更難。

    案例:“找規(guī)律"教學(xué)片段

    教師先讓學(xué)生聽一段有規(guī)律的鼓點(diǎn)音頻節(jié)奏,讓學(xué)生思考:

    (1)找一找,它的規(guī)律是什么?

    (2)想出一種自己喜歡的方法把這個(gè)規(guī)律表示出來,讓別人一眼就能看明白。

    (3)在你的表示方法中,照這個(gè)規(guī)律排列下去,它的第16個(gè)是什么?

    這時(shí)學(xué)生的創(chuàng)造力得到了充分的發(fā)揮和展示,他們或左右或前后,交頭接耳,嘀嘀咕……不一會(huì)兒,呈現(xiàn)出來的方法五彩繽紛:

    有學(xué)生表示為:abcabc……第十六個(gè)為“a"。有學(xué)生表示為:123113……第十六個(gè)為“1”。有學(xué)生表示為:△□○△□○……第十六個(gè)為“△”。

    有學(xué)生表示為:強(qiáng)弱弱強(qiáng)弱弱……第十六個(gè)為“強(qiáng)”。

    有學(xué)生表示為:xx……第十六個(gè)為"X"。

    這樣通過符號(hào)化的處理,不便于直觀把握的有規(guī)律排列,由于學(xué)生用自己喜歡的方法畫了出來,便得以形象地顯現(xiàn)在學(xué)生面前,學(xué)生可以對(duì)照?qǐng)D示十分清楚地意識(shí)到自己所面臨的問題,并尋找適合自己的解決策略。

    教師接著問:“除了剛才同學(xué)們用到的這些方法外,你還有什么方法可以很快得出第十六個(gè)是什么呢?”這時(shí)很多學(xué)生高舉雙手,叫道“我知道,我知道。16÷3=5……1”

    在經(jīng)過了前面自主探索用自己喜歡的方法表示有規(guī)律排列的過程后,在強(qiáng)烈的表象刺激下,聯(lián)系已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ),學(xué)生十分順利地得出可以用有余數(shù)除法來解決這類問題:要求第多少個(gè)是什么,先看它幾個(gè)一組,再用總個(gè)數(shù)除以每組的個(gè)數(shù);余數(shù)是幾,就是一組的第幾個(gè);沒有余數(shù)就是一組的最后一個(gè)。

    如同我們強(qiáng)調(diào)算法多樣化與最優(yōu)化的統(tǒng)一樣,在解決問題時(shí),我們除了提倡策略的多樣化之外,同樣要注意策略的最優(yōu)化。

    教師問道:“在文字、數(shù)字、字母、圖形、符號(hào)這些方法中,你喜歡用什么方法?"

    學(xué)生眾口一詞:“計(jì)算好,因?yàn)楹?jiǎn)單。”

    教師反問:“那么其他方法一點(diǎn)好處都沒有嗎?”學(xué)生慢慢體會(huì),有人就說了:“文字、圖形那些方法比較清楚方便,一眼就能看清楚;但是麻煩,數(shù)字大了怎么畫呀!"

    各種意見進(jìn)行碰撞,最后形成一致看法:如果數(shù)字小,我們就可以選擇圖形、文字、數(shù)字、字母等方法,比較直觀;如果數(shù)字大了,肯定就用計(jì)算的方法比較好。

    通過解決“你喜歡什么方法”的問題,促使學(xué)生將不同方法進(jìn)行類比,明確各種策略的優(yōu)勢(shì)和缺點(diǎn),歸納出解決問題的不同策略,提煉出解決問題策略的最優(yōu)方法,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力起到了積極的作用。這個(gè)過程其實(shí)質(zhì)就是從數(shù)學(xué)角度描述和刻畫事物的方法,這種數(shù)學(xué)化的思想方法對(duì)學(xué)生解決問題,把握事物的數(shù)學(xué)側(cè)面有著重要的指導(dǎo)作用。

    事實(shí)上,無論是“視其所以”,還是“觀其所由,察其所安”,其核心只有一個(gè),便是:以學(xué)生為本,尊重學(xué)生的主體地位。而要使我們的教學(xué)更具有智慧,就不能只是在某一個(gè)課例、某一節(jié)課中做到“視其所以,觀其所由,察其所安";只有在我們所有的教學(xué)活動(dòng)中去貫徹、執(zhí)行這樣的理念,我們的教學(xué)水平才會(huì)日漸提高,我們的教學(xué)智慧才能日益提升。

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