觀察與歸納

徐長(zhǎng)青

活動(dòng)目的

1.從生活入手利用簡(jiǎn)單枚舉，感悟并掌握一般歸納的方法。

2.嘗試用歸納的數(shù)學(xué)方法解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)方法的魅力。

3.在學(xué)習(xí)生活中提高獨(dú)立探究與自主發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)能力，并在其情感、態(tài)度、價(jià)值觀的走向上加以引導(dǎo)。

活動(dòng)過(guò)程

一、情景活動(dòng)：建構(gòu)數(shù)學(xué)方法。

1.學(xué)會(huì)觀察，引發(fā)問(wèn)題。

師：剛才歡迎老師時(shí)，你們用身體的哪個(gè)部分來(lái)表示的？

生：手——

師：謝謝你們（教師向一位同學(xué)伸出手，學(xué)生也伸出手和老師握手），看，用你們的小手一下子就拉近了我們的距離，那我們今天的活動(dòng)就從手開始吧！

師：請(qǐng)把你們的手伸出來(lái)，手沒(méi)有什么特殊的，是不是？但其中有許多學(xué)問(wèn)。這是什么？（伸出一個(gè)食指。）

生1：這是老師胖胖的手指。

生2：這是老師右手胖胖的食指。

師：他的描述更加仔細(xì)。這個(gè)手指與數(shù)學(xué)有什么關(guān)系呢？用一句話來(lái)說(shuō)。

生：這是一根手指。

【教師從手說(shuō)起，巧妙地溝通感情，自然導(dǎo)入，使學(xué)生帶著歡樂(lè)、求知、好奇的心態(tài)進(jìn)入學(xué)境。數(shù)學(xué)就在你身邊，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是現(xiàn)實(shí)的，這不是一句空話。因?yàn)槊總€(gè)學(xué)生都熟悉手，自然就沒(méi)有陌生感，全情投入思考就成為必然，教師就得以利用學(xué)生的已知去引發(fā)他們的潛知或不知?！?/p>

師：他的腦子里充滿了數(shù)學(xué)。這是什么？你聯(lián)想到數(shù)字幾？（伸出食指、中指。）

生1：這是2。

生2：數(shù)字11。

生3：兩根手指并在一起，從側(cè)面看它就是數(shù)字1。

師：橫看成嶺側(cè)成峰。

把兩根手指看作一個(gè)整體，是一個(gè)大1。

生：我還從兩個(gè)手指中發(fā)現(xiàn)一條指縫。

師：看到它你想到什么？（伸出3個(gè)手指。）生1：數(shù)字3。

生2：還有3個(gè)手指間的2個(gè)指縫。

生3：3個(gè)手指合并在一起，看成一個(gè)整體。

師：還可以聯(lián)想到許多，1、2、3是觀察的個(gè)體。（板書：個(gè)體）在觀察個(gè)體時(shí)，要注意什么？

生1：仔細(xì)，全面。（板書：仔細(xì)，全面）

生2：展開聯(lián)想。電腦顯示：分別為伸出1、2、3個(gè)手指的手。

師：觀察這一組畫面你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

【來(lái)源于學(xué)生認(rèn)知中的原有信息是寶貴的教育資源，教師不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些信息提煉整合。用一句話涵蓋全部信息的過(guò)程就是兒童認(rèn)知整合與提升的過(guò)程。這種采集與提升應(yīng)由學(xué)習(xí)者來(lái)完成，唯其如此才是本質(zhì)意義上的自我建構(gòu)，在教師引導(dǎo)下學(xué)生的自主學(xué)習(xí)就是這樣開始的。教師應(yīng)該清楚數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)是由個(gè)體現(xiàn)象到一般規(guī)律的提升。這里教師的一句話使學(xué)生由對(duì)個(gè)體現(xiàn)象的關(guān)注轉(zhuǎn)移到對(duì)一些相關(guān)現(xiàn)象的反思、提升上，這就是由特殊到一般的歸納思想，也是教師導(dǎo)學(xué)藝術(shù)的體現(xiàn)。】（學(xué)生分小組熱烈討論。）

生：手指數(shù)在增加，指縫數(shù)也在增加。

師：他發(fā)現(xiàn)了一條隱藏的規(guī)律，他的思維是不是提醒了我們？

生：指縫數(shù)=手指數(shù)-1。（板書）

師：還可以怎樣說(shuō)？在觀察一組物體時(shí)要注意什么？

生：共性、聯(lián)系。（板書：一組物體——共性———聯(lián)系）

師：由多個(gè)一般事實(shí)，通過(guò)觀察、分析總結(jié)出規(guī)律的過(guò)程就是簡(jiǎn)單歸納。用你自己的話說(shuō)一說(shuō)什么是歸納，歸納要注意什么？

【基于已有的認(rèn)識(shí)，制造一系列相關(guān)現(xiàn)象，在學(xué)生茫然之時(shí)，教師的適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生在思維中逐步刪除非本質(zhì)屬性而牢牢地抓住本質(zhì)屬性的過(guò)程是方法與思想的構(gòu)建過(guò)程，數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)是體驗(yàn)，是方法的提升，是思考的過(guò)程。】

2.實(shí)踐應(yīng)用，反思完善。

師：祝賀你們成功了。根據(jù)這一現(xiàn)象，總結(jié)出這么好的公式。你們覺得歸納可怕嗎？

生齊：不可怕！

師：下面，我們檢驗(yàn)一下這個(gè)公式對(duì)不對(duì)？2個(gè)手指？生：一個(gè)縫。

師：3個(gè)手指？生：2個(gè)縫。

師：3個(gè)縫？生：4個(gè)手指。

師：5個(gè)手指？生：4個(gè)縫。

師：真棒，5-1=4。10個(gè)手指？生：9個(gè)縫。

老師詫異地看著雙手說(shuō)：左手4個(gè)縫，右手4個(gè)縫，2只手是8個(gè)縫。這個(gè)公式不對(duì)?。?/p>

生獨(dú)立思考后，爭(zhēng)著演示說(shuō)：這樣，這樣。（雙手合攏。）

師：我這明明是兩只手啊，為什么要合起來(lái)？

生：因?yàn)槲覀儼褍芍皇挚醋饕粋€(gè)整體。

師：噢，剛才我們是在什么范圍內(nèi)總結(jié)這個(gè)公式的？

生：一個(gè)整體。

師：這說(shuō)明一切數(shù)學(xué)問(wèn)題都是條件問(wèn)題。離開了它產(chǎn)生發(fā)展的條件，那規(guī)律是不存在的，但是當(dāng)條件與規(guī)律適用的范圍不符時(shí)，我們可以改變條件，這就是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性思維。剛才同學(xué)們一下子總結(jié)出兩只手9個(gè)縫，你們還有別的想法嗎？

【學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者往往對(duì)結(jié)論給予極大的關(guān)注，常常忽視事物產(chǎn)生的條件和變化的過(guò)程，常常是利用已知去演繹而缺少?gòu)囊阎~入未知的意識(shí)，我們的課堂要引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新反思，關(guān)注條件與過(guò)程。上面這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)引發(fā)了學(xué)生對(duì)結(jié)論的反思和對(duì)條件的關(guān)注。學(xué)數(shù)學(xué)就要問(wèn)數(shù)學(xué)，問(wèn)題是思維的開始，教師設(shè)計(jì)時(shí)沒(méi)有讓結(jié)論成為活動(dòng)的終點(diǎn)?！?/p>

生：把兩只手合成1個(gè)圓桶型，這就是10個(gè)指縫了。

師：其實(shí)同學(xué)們思考的過(guò)程就是歸納的過(guò)程。你在生活中還遇到過(guò)這樣的問(wèn)題嗎？

生：植樹，鋸木段……

師：一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律被發(fā)現(xiàn)后，可以把它推廣到生活的許多問(wèn)題中去。我希望同學(xué)們認(rèn)真地觀察，仔細(xì)地歸納，發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律。

【自覺地發(fā)現(xiàn)、探索與創(chuàng)造，使熟悉的事物或簡(jiǎn)單的例證帶給學(xué)生以樂(lè)趣，偉大的數(shù)學(xué)思考常常就在簡(jiǎn)單的事例、活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)。課堂教學(xué)不能遠(yuǎn)離學(xué)生，更不能遠(yuǎn)離生活。從熟悉的生活中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題，孩子們會(huì)感覺到自己在課堂中成長(zhǎng)，會(huì)體會(huì)到成功給予他的快樂(lè)，通往成功的學(xué)習(xí)路徑（方法）將幫助他開始另一次成功的旅途，還會(huì)體會(huì)到過(guò)程與方法比結(jié)論更重要。通過(guò)做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、問(wèn)數(shù)學(xué)，學(xué)生會(huì)愛上數(shù)學(xué)。】

二、操作演繹，嘗試初步歸納。

出示：三角形的內(nèi)角和是多少度？你用什么方法證明？

（學(xué)生討論，選擇方法，進(jìn)行演示，講清思路，確定名稱。）

師：證明三角形內(nèi)角和是180°，誰(shuí)有最好的方法告訴我？

生1：用量角器量一下。

生2：我不用量角器也可以證明三角形內(nèi)角和是180°。

（學(xué)生分小組操作證明。）

生：這三角形三個(gè)角相加是180°。

師：起個(gè)名字？生1：量角求和法。

生2：我把三角形撕成三塊，拼起來(lái)正好是一個(gè)平角。一個(gè)平角是180°，從而證明三角形內(nèi)角和是180°。

師：他們的膽子真大，居然把三角形撕開了。

起個(gè)名字？

生：撕角求和法。

師：歸納得很好。電腦演示撕三角形拼平角的過(guò)程。

生：我們是把三角形的三個(gè)角折在一起。這三個(gè)角組成一個(gè)平角180°。名字叫折角求和法。另一組學(xué)生把3個(gè)相同三角形的不同的角拼到一起。叫三拼求和法。

師：他們組的同學(xué)多有合作精神！每人拿出一個(gè)三角形，省去了撕、折的過(guò)程。電腦演示三拼求和。

【來(lái)源于學(xué)生的反復(fù)求證，不同的方法，同樣的證理，在使學(xué)生獲得屬于自己“專利”的正確途徑后，又為下面的研究積累了大量原始信息，對(duì)圖形的個(gè)體現(xiàn)象的研究，最終將上升為對(duì)生成問(wèn)題和圖形組群的研究，特征、方法與規(guī)律不正蘊(yùn)含其中嗎？】

三、枚舉歸納，主動(dòng)探索規(guī)律。

師：四邊形內(nèi)角和是多少？（鼓勵(lì)學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)大膽猜測(cè)。）

生：把四邊形的四個(gè)角拼在一起組成了一個(gè)周角，周角是360°，我們斷定四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：還有嗎？生：（學(xué)生首先剪角演示）左邊的角是平角，右邊是平角。

師：大家同意嗎？生：不同意，因?yàn)樽筮叺氖莻€(gè)折線不是平角。

師：我們來(lái)看這是不是四邊形的內(nèi)角？（指出四個(gè)正確的內(nèi)角。）

師：不過(guò)這也不失為一種方法，再改造一下就好了。

生：我們組的方法是這樣的：這是一個(gè)不規(guī)則的四邊形圖形，因?yàn)樗梢约舫蓛蓚€(gè)三角形，三角形的內(nèi)角和是180°，所以剪成兩個(gè)就是360°。

【智力是多元的，思考是多維的，方法是多種的，教學(xué)中教師沒(méi)有輕易因答案的錯(cuò)誤而否定一個(gè)方法，而是肯定方法，尋找不足，最終得出正確答案，這是對(duì)學(xué)生思維的保護(hù)，也是對(duì)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)?！?/p>

師：我們來(lái)動(dòng)手做一下行嗎？

生：可是四邊形可以剪成三個(gè)三角形啊，難道可以說(shuō)是540°嗎？

師：那我們就分成兩個(gè)小組進(jìn)行辯論。怎么就是360°了？

生：因?yàn)槟銦o(wú)意中多剪了兩個(gè)角。

師：兩個(gè)角是多少度？

生：180°。

師：540°-180°等于多少？

生：360°。

師：你們都把我說(shuō)服了，但是得把不同意的同學(xué)說(shuō)服呀。學(xué)生仔細(xì)演示，最后說(shuō)服了說(shuō)是540°的同學(xué)。

【課堂不僅是師生的對(duì)話，更應(yīng)是生生的對(duì)話，信息發(fā)布者應(yīng)讓每個(gè)參與者了解、理解自己的信息并加以說(shuō)明，這是教學(xué)民主的體現(xiàn)，在爭(zhēng)論與說(shuō)明中，每個(gè)參與者的認(rèn)識(shí)在“對(duì)他的與我的為什么不同的系統(tǒng)思考”中得到完善和發(fā)展?！?/p>

師：你們握握手吧，謝謝你們！同時(shí)也特別感謝這位同學(xué)，你有著非常執(zhí)著的精神。那么它的技巧究竟在哪里呢？我們這一刀應(yīng)該切在什么地方呢？

生：角對(duì)角。

師：那這條線我們稱之為——

生：對(duì)角線。

師：那么我們沿著對(duì)角線將圖形分成盡可能少的三角形。那四邊形可以分幾個(gè)三角形呢？

生：兩個(gè)。

師：我們給它取個(gè)名字。

生：一分為二求和法。

師：行不行？

生：行！

師：那我們就叫做一分為二求和法。我們比較一下，一分為二求和法與前面的量角求和、折疊求和、剪拼求和有什么不同？

【本節(jié)課中充滿了問(wèn)題意識(shí)，教師不斷激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題，又引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行比較，在比較中鑒別、突出事物的本質(zhì)特征，這是一種重要的學(xué)習(xí)方法?？梢姡處熢诒菊n的設(shè)計(jì)中突出了方法而淡化了結(jié)果?！?/p>

生：我們認(rèn)為前幾種方法或拼或剪，而我們用的一分為二求和法是用的已經(jīng)學(xué)過(guò)的三角形內(nèi)角和知識(shí)。

師：這種方法不是對(duì)原來(lái)方法的重復(fù)，而是在肯定三角形內(nèi)角和基礎(chǔ)上利用已有知識(shí)解決了新的問(wèn)題，這位同學(xué)真棒，有一種成果意識(shí)和工具意識(shí)。我們知道三角形內(nèi)角和實(shí)際上是多了一個(gè)工具，那么我們?cè)谥懒怂倪呅蝺?nèi)角和之后又多了一個(gè)工具。你們猜猜我在想什么？

生：五邊形的內(nèi)角和是多少？

師：誰(shuí)來(lái)試試？

生1：我覺得五邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是540°。

生2：420°。

生3：540°。

師：請(qǐng)你們用自己的小手來(lái)分一下！

生1：我用的方法和上一次一樣，我分成了三個(gè)三角形。（演示）180°×3=540°。

生2：我分成了一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形。四邊形內(nèi)角和是360°，三角形的內(nèi)角和是180°，所以是540°。（熱烈的掌聲。）

師：真不錯(cuò)！這兩種方法其實(shí)可以歸到一種方法上去，也可以分成幾份？

生：三份。

師：那這種方法叫什么？

生：一分為三求和法。

師：如果我還要問(wèn)下去，還會(huì)問(wèn)什么？

生：六邊形、七邊形、八邊形……師：知識(shí)是無(wú)窮盡的。

我要這樣不斷地問(wèn)下去，我也累、大家也累，那怎么辦呀？能不能有好的方法讓我們不累呀？