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    第13講“代數(shù)與幾何綜合問(wèn)題”復(fù)習(xí)精講

    2016-11-19 08:41:24王磊王鋒
    關(guān)鍵詞:直角三角形代數(shù)最值

    王磊 王鋒

    專題精講

    代數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題是指以代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)相互交融渾然一體的一類綜合題,這類問(wèn)題通常以幾何圖形(或?qū)D形坐標(biāo)化)及函數(shù)圖象為背景,輔助于圖形的運(yùn)動(dòng)與變換(平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱)手段,融入函數(shù)(包括銳角三角函數(shù))、方程、不等式等代數(shù)的核心知識(shí),來(lái)綜合考查同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、掌握的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,題型大致可分為:(1)圖形、坐標(biāo)綜合問(wèn)題;(2)圖形與代數(shù)式的綜合問(wèn)題;(3)函數(shù)圖象中的幾何圖形問(wèn)題;(4)方程、不等式與幾何綜合問(wèn)題等,

    解決代數(shù)與幾何綜合問(wèn)題的基本思路:

    第一,要認(rèn)真審題,弄清問(wèn)題的條件與結(jié)論,盡可能分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題中的顯性條件,挖掘問(wèn)題中的隱含條件,

    第二,充分關(guān)注幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征,發(fā)揮幾何直觀的導(dǎo)航作用,對(duì)復(fù)雜圖形我們要慧眼識(shí)圖,從中發(fā)現(xiàn)并分離出能夠幫助解決問(wèn)題的基本圖形,或添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造基本圖形,以便運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)去解決問(wèn)題,

    第三,根據(jù)綜合題設(shè)計(jì)的結(jié)論分步探究的特點(diǎn),我們要學(xué)會(huì)從題目中尋找代數(shù)與幾何這兩部分知識(shí)的結(jié)合點(diǎn),進(jìn)行“肢解”,轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)或幾何問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的突破口,從而“化整為零,各個(gè)擊破”。

    最后,要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想和方法的引領(lǐng)作用,分析與綜合、分類討論、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合、歸納與猜想等都是解決這類問(wèn)題有效的數(shù)學(xué)思想和方法,特別是數(shù)形結(jié)合思想——由形導(dǎo)數(shù)、以數(shù)促形,可以架起連接代數(shù)與幾何的橋梁,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化,幫助我們另辟蹊徑,曲徑通幽。

    近年來(lái),全國(guó)多數(shù)地區(qū)的“代數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題”大部分是以“解答題”的形式出現(xiàn)在中考試卷的最后兩三道題中,難度較大,從近三年河南省中考試卷來(lái)看更是如此,2016年我們既要注意通過(guò)探究線段長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系判斷構(gòu)成的特殊形狀的幾何圖形(如等腰三角形、矩形、菱形、正方形)的開(kāi)放型問(wèn)題或有關(guān)幾何圖形的周長(zhǎng)與面積的最值問(wèn)題,更要關(guān)注坐標(biāo)系中幾何圖形的問(wèn)題以及以三種函數(shù)圖象為背景與幾何圖形融合于一體,判斷點(diǎn)、直角三角形、等腰三角形或特殊四邊形的存在性問(wèn)題,

    重點(diǎn)題型例析

    一,圖形、坐標(biāo)綜合問(wèn)題

    將常見(jiàn)的幾何圖形巧妙地放置于平面直角坐標(biāo)系中,將圖形坐標(biāo)化,通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)體現(xiàn)圖形中線段的長(zhǎng)度,或給出圖形中線段的長(zhǎng)度來(lái)確定圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo)或滿足某種條件的特征點(diǎn)的坐標(biāo),并輔助于圖形的折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等變換手段,構(gòu)造的一類“坐標(biāo)幾何問(wèn)題”——運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng),把幾何和代數(shù)知識(shí)完美地糅合在一起,解決這類問(wèn)題要掌握?qǐng)D形變換的基本特征,關(guān)注動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間形成的特殊關(guān)系,挖掘幾何圖形的性質(zhì),進(jìn)而運(yùn)用三角形的全等或相似、勾股定理、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),或構(gòu)造方程進(jìn)行求解,

    點(diǎn)撥:本題源于人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十八章《平行四邊形》復(fù)習(xí)題十八第69頁(yè)“拓廣探索”的第14題,是將課本中正方形放置到平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi),并附設(shè)正方形的邊長(zhǎng),把中點(diǎn)E變成X軸上邊OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,并添加課本中結(jié)論作為條件的背景下,來(lái)探究點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的長(zhǎng)度和四邊形面積的最值,其中通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形再證明兩個(gè)直角三角形全等,仍然為我們解題提供了重要的解題思路,

    本題考查直角三角形、正方形的性質(zhì)及全等、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值,滲透了待定系數(shù)法(求直線OB的解析式)、配方法(求面積的最值)、函數(shù)思想,第(2)問(wèn)是一個(gè)難點(diǎn),不易實(shí)現(xiàn)有效轉(zhuǎn)化即用t來(lái)表示出點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo),進(jìn)而用XM。來(lái)表示出線段MN的長(zhǎng)度,導(dǎo)致思維受阻,突破這一問(wèn)題的關(guān)鍵,是充分運(yùn)用圖形的性質(zhì),用已知量和未知量表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),特別要注意平行于坐標(biāo)軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征(平行于X軸的直線上兩點(diǎn)的距離等于它們的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值,平行于y軸的直線上兩點(diǎn)的距離等于它們的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值),第(3)問(wèn)求四邊形面積時(shí),利用了“對(duì)角線互相垂直的四邊形”的性質(zhì)——其面積可以利用“對(duì)角線乘積的一半”來(lái)求(實(shí)際上是菱形面積公式的推廣),利用二次函數(shù)研究極值,既可以用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)求也可以用配方法來(lái)求,對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為分?jǐn)?shù),配方時(shí)同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)失誤,同學(xué)們要高度重視,

    三.圖形與代數(shù)式的溫和問(wèn)題

    這類問(wèn)題通過(guò)給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、幾何圖形或給出與圖形有關(guān)的操作變化過(guò)程,要求通過(guò)觀察、分析、推理發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)規(guī)律,進(jìn)而歸納或猜想出一般性的

    點(diǎn)撥:當(dāng)一個(gè)問(wèn)題涉及相當(dāng)多的乃至無(wú)窮多的情形時(shí),可從問(wèn)題的簡(jiǎn)單情形求解人手,如本題,抓住圖形結(jié)構(gòu)的形成過(guò)程,求出前三次操作時(shí)相應(yīng)的矩形的面積數(shù)值,然后通過(guò)分析所得的面積的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)找出隱含的共同規(guī)律,進(jìn)而歸納猜想出問(wèn)題的答案,這是我們解決此類問(wèn)題常用的思考策略,本題主要考查了勾股定理、矩形的面積公式和相似多邊形的件質(zhì)。

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