二項(xiàng)分布的零頻率估計(jì)

劉瑞香

(山西農(nóng)業(yè)大學(xué)文理學(xué)院,山西太谷 030801)

二項(xiàng)分布是一種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布,在許多場(chǎng)合有重要的應(yīng)用,如在保險(xiǎn)問(wèn)題中應(yīng)用非常廣泛[1]。關(guān)于二項(xiàng)分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題常見(jiàn)的有矩估計(jì)和極大似然估計(jì)法,而零頻率估計(jì)有許多好的性質(zhì)。本文研究二項(xiàng)分布參數(shù)的零頻率估計(jì)。

1 零頻率估計(jì)

若離散型隨機(jī)變量X有如下的概率分布:

其中n＞0,0＜p＜1為參數(shù),q=1-p,則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記作B(n,p)[2]。

若X服從二項(xiàng)分布B(n,p),則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=np,方差var(X)=nqp 。

零頻率估計(jì)法就是用樣本觀測(cè)值中取零的頻率來(lái)估計(jì)總體X取零的概率。

設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布B(n,p),參數(shù)n,p未知,下面討論n,p的零頻率估計(jì)。

若x1,x2,……,x N為抽自二項(xiàng)分布B(n,p)總體X的隨機(jī)樣本,記 f i為樣本觀測(cè)值中取i的個(gè)數(shù)(或頻數(shù)),i=0,1,2…,n。則樣本觀測(cè)值中取零的頻率為樣本均值

因總體X取零的概率為

若方程(2)的解 n存在,唯一,記作n*,即則稱(chēng)n*為二項(xiàng)分布 B(n,p)參數(shù)n的零頻率估計(jì)。此時(shí)為參數(shù)p的估計(jì),且稱(chēng)(n*,p*)為二項(xiàng)分布B(n,p)參數(shù)(n,p)的零頻率估計(jì)。

2 零頻率估計(jì)的存在性與唯一性

所以g＇(n)為n的單調(diào)減函數(shù),且g＇(+∞)→0。從而,對(duì)任意的 n＞0,有 g＇(n)＞0 。故 g(n)為 n的單調(diào)增函數(shù)。又

3 零頻率估計(jì)的漸近正態(tài)性

(7)式兩邊取對(duì)數(shù),得

由方程(8)所確定的函數(shù)n=h(p 0,p 1,……pn)的一階偏導(dǎo)數(shù)為:

其中

同理 ,得

由文獻(xiàn)[3]第119頁(yè)的公式(2.22),有

若n滿足方程(8),n*為(3)的解,即

其中

則由文獻(xiàn)[4]第151頁(yè)的定理4.3,有

其中

經(jīng)計(jì)算,得

且

即

故N*有漸近正態(tài)性。

從以上得出的結(jié)果可以看出,零頻率估計(jì)是一種很好的估計(jì)方法。進(jìn)一步可以研究零頻率估計(jì)與其他估計(jì)方法的優(yōu)劣。

[1]于向紅.二項(xiàng)分布的計(jì)算及其在保險(xiǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用[J].電大理工,2005,5(2):7-9.

[2]何書(shū)元.概率論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006:58-59.

[3]茆詩(shī)松,王靜龍,濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,1998:119-120.

[4]陳希孺.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].合肥:中國(guó)科學(xué)大學(xué)出版社,1999:151-152.