雙閉環(huán)PID控制的一階倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)

摘 要：為了進(jìn)一步提高倒立擺系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性，本文將雙閉環(huán)PID控制策略應(yīng)用于倒立擺系統(tǒng)中，利用MATLAB建立了一階倒立擺模型，使用倒立擺模型對(duì)控制算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，測(cè)量擺動(dòng)角度、位移以及穩(wěn)定時(shí)間等參數(shù)來評(píng)估其穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，調(diào)整PID控制參數(shù)提高了倒立擺系統(tǒng)的控制性能和魯棒性。

關(guān)鍵詞：雙閉環(huán)PID控制；一階倒立擺系統(tǒng)；魯棒性；穩(wěn)定控制策略

中圖分類號(hào)：TP 391" " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

隨著現(xiàn)代控制技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，倒立擺系統(tǒng)的控制問題越來越受到自動(dòng)控制領(lǐng)域研究者的關(guān)注。自1998年以來，在倒立擺控制系統(tǒng)理論研究方面，模糊控制算法[1]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法[2]等都取得了顯著進(jìn)展。倒立擺控制系統(tǒng)理論價(jià)值比較高，在工程應(yīng)用領(lǐng)域應(yīng)用前景廣泛[3]，例如測(cè)控技術(shù)、運(yùn)載工具控制技術(shù)、機(jī)器人技術(shù)以及航空航天技術(shù)等。但是倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)比較復(fù)雜并且不穩(wěn)定的物理系統(tǒng)，該物理系統(tǒng)具有非線性特性，其系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)隨時(shí)間變化而變化，這種變化是一種趨于極限的運(yùn)動(dòng)，不能保持穩(wěn)定的工作狀態(tài)。如果需要使倒立擺系統(tǒng)保持穩(wěn)定，須利用外部輸入對(duì)其進(jìn)行控制和調(diào)節(jié)。本文利用MATLAB建立一階倒立擺系統(tǒng)模型，并將雙閉環(huán)比例-積分-微分（Proportion Integration Differentiation，PID）控制策略應(yīng)用于一階倒立擺系統(tǒng)的控制中。測(cè)量擺動(dòng)角度、位移以及穩(wěn)定時(shí)間等參數(shù)來評(píng)估系統(tǒng)穩(wěn)定性，雙閉環(huán)PID控制策略能夠有效提高倒立擺控制系統(tǒng)的控制精度。

1 一階倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1 一階倒立擺系統(tǒng)模型

倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。當(dāng)建模時(shí)，可以將該系統(tǒng)簡化為由小車和勻質(zhì)剛性桿組成的模擬系統(tǒng)，忽略空氣阻力和其他不重要的摩擦力。倒立擺控制系統(tǒng)的工作原理是使用軸角編碼器實(shí)時(shí)測(cè)量小車位置和擺桿偏離垂直方向的角度，并將這些信息作為輸出控制信號(hào)反饋至計(jì)算機(jī)。計(jì)算機(jī)根據(jù)預(yù)設(shè)的控制算法計(jì)算出有效的控制量，驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)作，進(jìn)而控制擺桿運(yùn)動(dòng)，使小車保持平衡。

一階倒立擺控制系統(tǒng)主要由一階倒立擺組件、傳感器、控制器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)組成[4]。系統(tǒng)通過檢測(cè)小車位置和倒立擺擺桿擺動(dòng)角度的變化來判斷倒立擺的穩(wěn)定狀態(tài)，控制器根據(jù)測(cè)量信息產(chǎn)生控制量驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，對(duì)倒立擺進(jìn)行控制，使其保持穩(wěn)定的豎直狀態(tài)。

1.2 系統(tǒng)模型建立

在建立模型的過程中，忽略空氣阻力和其他不重要的阻力[5]，并將倒立擺系統(tǒng)簡化成一個(gè)由小車和剛性桿組成的模擬系統(tǒng)。根據(jù)牛頓經(jīng)典力學(xué)理論建立微分方程，角加速度是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與該軸上力矩的代數(shù)和之比。一階倒立擺的精確模型的狀態(tài)方程如公式（1）所示[6]。

（1）

式中：x為水平移動(dòng)量；J為擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為倒擺振子的質(zhì)量；L為倒擺長度；F 為對(duì)倒擺模型施加的力；θ 為擺桿與豎直向下的方向角 ； g為重力加速度；M為小車的質(zhì)量。

考慮到系統(tǒng)處于平衡位置附近，如果對(duì)模型進(jìn)行線性化分析，那么須分析θ在其工作點(diǎn)θ0=0附近的變化，假設(shè)θ擺幅不大，可以近似認(rèn)為θ滿足以下條件，如公式（2）所示。

（2）

將公式（2）近似結(jié)果代入公式（1）可以得到一階倒立擺的簡化模型的狀態(tài)方程，如公式（3）所示。

（3）

1.3 模型驗(yàn)證

假設(shè)倒立擺處于初始位置（θ=0，x=0），在此狀態(tài)下突然施加微小的沖擊力（F=0.1 N），根據(jù)動(dòng)力學(xué)原理，系統(tǒng)中的小車會(huì)向前移動(dòng)，擺桿會(huì)向下傾斜。作用力與倒立擺位置關(guān)系的仿真響應(yīng)曲線如圖1所示。

在圖1（a）中， 當(dāng)0.1 s時(shí)加入作用力f（t），其值為0.1 N，小車水平位移量x（t）隨時(shí)間推移逐漸增大。在圖1（b）中，加入f（t）后，擺桿擺角θ（t）隨時(shí)間推移逐漸增大。可見，在施加微小的外部沖擊力（0.1 N）后，倒立擺的擺桿出現(xiàn)傾倒，小車發(fā)生位移變化，說明該模型能夠比較準(zhǔn)確地反映原始一階倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化，可以應(yīng)用該模型設(shè)計(jì)雙閉環(huán)控制系統(tǒng)。

2 雙閉環(huán)PID控制器設(shè)計(jì)

一階倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)[7]，其系統(tǒng)函數(shù)中必然會(huì)存在不穩(wěn)定的零極點(diǎn)，為了有效抑制閉環(huán)系統(tǒng)，可以根據(jù)負(fù)反饋的閉環(huán)控制原理，將小車的位置控制系統(tǒng)作為系統(tǒng)的外環(huán)，將擺桿的擺角控制系統(tǒng)作為系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)，設(shè)計(jì)雙閉環(huán)的PID控制系統(tǒng)，對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行位置伺服控制，進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確控制，保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。

2.1 內(nèi)環(huán)控制器設(shè)計(jì)

反饋校正有以下3個(gè)優(yōu)點(diǎn)[8]。1）消除系統(tǒng)中非線性特性的影響。2）降低系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化的敏感性。3）抗擾動(dòng)，并且減少系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。將PD控制器[9]作為反饋校正，用于內(nèi)環(huán)控制，內(nèi)環(huán)反饋控制動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)框如圖2所示。

設(shè)其傳遞函數(shù)如公式（4）所示。

D'2（s）=KD2s+KP2 " "（4）

式中：KD2和KP2分別為假設(shè)的一階內(nèi)環(huán)系統(tǒng)函數(shù)D'2（s）的一階系數(shù)和常系數(shù)。

在前向通道加入一個(gè)比例環(huán)節(jié)D2（s）=K，進(jìn)行抑制干擾。

設(shè)D2（s）的增益K=-20，由于KS為減速機(jī)構(gòu)與伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)器等效模型，因此可以假設(shè)KS=1.6，內(nèi)環(huán)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如公式（5）所示。

（5）

式中：W2（s）為中間環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；K為閉環(huán)增益；G2（s）為系統(tǒng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)。

為了使控制系統(tǒng)能夠具有比較好的控制魯棒性，即對(duì)l和m不敏感，當(dāng)l或m發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)軌跡變化較小，需要對(duì)內(nèi)環(huán)控制系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

計(jì)算系統(tǒng)對(duì)擺長的靈敏度S，如公式（6）所示。

（6）

式中：ζ為阻尼比；ωn為無阻尼自然頻率。

為了使內(nèi)環(huán)系統(tǒng)具有快速跟隨的特性，設(shè)根軌跡變化≤5%，ζ=0.7，K=1，確定Kp2和KD2的值，如公式（7）所示。

（7）

因此，結(jié)合公式（4）可以得到內(nèi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如公式（8）所示。

D'2（s）=0.175s+1.625" " " " " " " " " " " （8）

其閉環(huán)傳遞函數(shù)如公式（9）所示。

（9）

2.2 外環(huán)控制器設(shè)計(jì)

外環(huán)控制系統(tǒng)如圖3所示，其前向通道的傳遞函數(shù)如公式（10）所示。

（10）

式中：W2（s）為中間環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；G1（s）為被控對(duì)象傳遞函數(shù)。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是一個(gè)高階的最小相位系統(tǒng)，為了提高設(shè)計(jì)的可行性，需要進(jìn)一步進(jìn)行簡化處理，例如降階。

忽略W2（s）的高次項(xiàng)，將原來的四階系統(tǒng)簡化為一階的等效系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)如公式（11）所示。

（11）

對(duì)G1（s）進(jìn)行近似處理，即舍棄高次項(xiàng)，將其近似為二階環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)如公式（12）所示。

（12）

為滿足系統(tǒng)的設(shè)計(jì)需求，外環(huán)控制器也應(yīng)當(dāng)采用PD形式，其傳遞函數(shù)如公式（13）所示。

D1（s）=K3（τs+1） " " "（13）

式中：D1（s）為反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；K3為比例增益；τ為系統(tǒng)響應(yīng)衰減到其初始值的一定比例所需的時(shí)間。

采用單位反饋（D'1（s）=K=1）構(gòu)成外環(huán)反饋通道，使系統(tǒng)跟隨性能更高，經(jīng)過以上降階等簡化處理，得到系統(tǒng)開環(huán)部分的傳遞函數(shù)，如公式（14）所示。

（14）

式中：W（s）為開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

根據(jù)典型Ⅱ型系統(tǒng)頻率特性最優(yōu)解，得到Kp=0.12，τ=0.87，取整τ=1，外環(huán)控制器的傳遞函數(shù)如公式（15）所示。

D1（s）=0.12（s+1） （15）

綜上所述，得到系統(tǒng)仿真動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)框，如圖4所示。

3 性能測(cè)試

對(duì)設(shè)計(jì)好的雙閉環(huán)PID控制系統(tǒng)進(jìn)行性能檢測(cè)。假設(shè)一階倒立擺處于初始位置（θ=0，x=0），在階躍輸入條件下，小車位置以及擺桿擺角發(fā)生了相應(yīng)變換，其仿真響應(yīng)曲線如圖5所示。

由圖5可知，在雙閉環(huán)PID控制中，當(dāng)系統(tǒng)有階躍激勵(lì)輸入時(shí)，一階倒立擺系統(tǒng)中小車位置x（t）與擺桿擺角θ（t）響應(yīng)曲線在第6秒進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，小車移動(dòng)至穩(wěn)定位置，擺桿回歸垂直，保持倒立擺直立，使小車到達(dá)預(yù)設(shè)位置。

4 結(jié)論

一階倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)非線性的不穩(wěn)定系統(tǒng)，本文設(shè)計(jì)雙閉環(huán)PID控制系統(tǒng)，能夠使小車和擺桿快速達(dá)到平衡狀態(tài)，有效抑制了過大的擺動(dòng)幅度和擺角。系統(tǒng)到達(dá)期望位置后，能夠有效抵御隨機(jī)擾動(dòng)，保持穩(wěn)定狀態(tài)，對(duì)一階倒立擺控制系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)控制。

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