數(shù)值分析課程中拉格朗日插值法的理論教學(xué)設(shè)計

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2024.22.050

摘 要 拉格朗日插值法是數(shù)值分析課程中插值法的教學(xué)重點。通過問題驅(qū)動展開拉格朗日插值法教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)理論的過程中，借助MATLAB軟件的數(shù)據(jù)可視化功能進(jìn)行圖形演示可以使抽象的數(shù)學(xué)知識具象化，降低學(xué)習(xí)難度；結(jié)合互聯(lián)網(wǎng)展開混合式教學(xué)可以拓展教學(xué)時空，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握拉格朗日插值多項式。

關(guān)鍵詞 數(shù)值分析；拉格朗日插值法；問題驅(qū)動教學(xué)；直觀演示法教學(xué)；混合式教學(xué)；MATLAB

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2024）22-00-04

0 引言

尋找一個經(jīng)過一組離散數(shù)據(jù)點的簡單函數(shù)，用其近似表示事物之間的內(nèi)在關(guān)系，這就是插值法。插值法是數(shù)值分析課程最基本的內(nèi)容之一，是函數(shù)逼近、數(shù)值微積分和微分方程數(shù)值解的基礎(chǔ)，其教學(xué)質(zhì)量不僅決定著插值法的學(xué)習(xí)效果，還對數(shù)值分析課程后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有著重要的影響。

與牛頓插值、埃爾米特插值、三次樣條插值等插值法相比，拉格朗日插值具有公式整齊、規(guī)范且基函數(shù)簡單等優(yōu)點，在理論分析和實際應(yīng)用中有著重要的價值，是插值法的教學(xué)重點。當(dāng)前，大部分院校的數(shù)值分析課程課時較少，如蘭州城市學(xué)院機(jī)器人工程專業(yè)數(shù)值分析課程的理論和實踐課加起來僅18個學(xué)時，拉格朗日插值是唯一學(xué)習(xí)的插值方法。針對這一現(xiàn)狀，陳素根[1]提出從問題驅(qū)動、遞進(jìn)式教學(xué)和將科研融入教學(xué)這三個方面設(shè)計拉格朗日插值的理論教學(xué)，但缺乏詳細(xì)的過程闡述。本文從問題驅(qū)動教學(xué)、直觀演示法教學(xué)和混合式教學(xué)三個方面設(shè)計拉格朗日插值法的理論教學(xué)，為這一環(huán)節(jié)的教與學(xué)提供借鑒。

1 問題驅(qū)動教學(xué)

插值法在理論研究和實踐生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用，如材料性能分析中的疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測[2]、光通信中的相位噪聲補(bǔ)償計算[3]、電子耳蝸的分?jǐn)?shù)延遲和參數(shù)失配分析[4]、巖體的位移和變形計算[5]等。可以結(jié)合學(xué)生的專業(yè)背景，以問題來驅(qū)動拉格朗日插值教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)知識去構(gòu)造解決問題的方法，使學(xué)生體會到學(xué)習(xí)相關(guān)知識的意義，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動性，再引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論。

1.1 問題示例

對于之前修過工程化學(xué)或物理化學(xué)課程的學(xué)生，可以設(shè)計該問題：已知大氣壓力為100 kPa時，溫度與CaCO3分解壓力的關(guān)系如表1[6]所示，求890 ℃時，CaCO3的分解壓力。

1.2 引導(dǎo)學(xué)生解決示例問題

為了表述方便，將示例的問題表述為：已知x0=805，x1=903，x2=1 000對應(yīng)的函數(shù)值分別為y0=0.26，y1=1.29，y2=4.9，求x=890時的函數(shù)值y?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生按如下步驟思考、解決問題。

1.2.1 提出構(gòu)造函數(shù)

類似表1這樣，以表格形式給出的兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系稱為列表函數(shù)。如果能得到該函數(shù)的具體解析式，即y=φ（x），再將x=890代入，即可解決問題。

1.2.2 確定函數(shù)類

與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的冪函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等相比，曲線光滑、結(jié)構(gòu)簡單、微分和積分容易的代數(shù)多項式更利于開展數(shù)值計算和理論分析，故在工程實際應(yīng)用中φ（x）多選代數(shù)多項式Pn（x）表示。

Pn（x）=a0+a1x+…+anxn （1）

1.2.3 建立方程組

將表1的數(shù)據(jù)代入多項式，得到以多項式的系數(shù)a0，a1，…，an為未知數(shù)的三元線性方程組：

1.2.4 確定多項式的階次

只有方程組（2）中方程的個數(shù)和未知數(shù)個數(shù)相等時，才可能有唯一解。確定多項式的階次n=2，得到方程組（3）：

1.2.5 求解方程組

方程組（3）的系數(shù)矩陣為范德蒙德行列式，表1中三個溫度點互異，所以范德蒙德行列式不為0。由克萊姆法則得到線性方程組的唯一解a0、a1、a2分別為91.354 2、-0.223 4和0.000 1。

1.2.6 解決問題

將線性方程組的上述解回代到n=2的式（1），得到：

P2（x）=91.354 2-0.223 4x+0.000 1x2 （4）

將x=890代入式（4），得到CaCO3的分解壓力為1.002 0。

1.3 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)相應(yīng)的理論或結(jié)論

回顧上述解決示例問題的過程，引導(dǎo)學(xué)生得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論。

1.3.1 插值問題及相關(guān)概念

1.2.3將多項式（1）的求解轉(zhuǎn)化為線性方程組（2）的求解，其關(guān)鍵是表1中的離散樣點的代入。由此確定，最終得到的多項式（4）（即構(gòu)造的函數(shù)）必然經(jīng)過表1中的離散樣點，即P2（xi）=yi，這就是插值條件。根據(jù)插值條件得到的多項式稱為插值多項式。由此自然地引入插值問題、插值條件、被插值函數(shù)、插值函數(shù)、插值區(qū)間、插值節(jié)點等概念和插值問題的幾何意義。1.2部分就是用插值法構(gòu)造函數(shù)解決問題的步驟。

1.3.2 插值多項式的存在性和唯一性

從1.2.4可以發(fā)現(xiàn)，n+1個插值節(jié)點，能得到的唯一的插值多項式的次數(shù)不超過n；1.2.5表明，n+1個插值節(jié)點互異時，n+1元的n+1個線性方程構(gòu)成的方程組的解存在且唯一，即階次≤n的插值多項式Pn（x）存在且唯一。

1.4 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相應(yīng)知識

反思上述解決示例問題的過程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識。

1.4.1 拉格朗日插值多項式

針對1.2.5中線性方程組的實際求解難度隨著插值節(jié)點數(shù)的增加而增大這一問題，引入拉格朗日插值多項式這一知識點。就1.1部分的示例問題，直接列出拉格朗日插值多項式：

解決1.2.5計算困難的不足。將x=890代入上式得到CaCO3的分解壓力為1.002 0，驗證了插值多項式的唯一性。

1.4.2 插值余項

針對1.2.6得到的計算結(jié)果是否可靠這一問題，引入插值余項這一知識點，得到以下結(jié)論。

若插值區(qū)間內(nèi)被插值函數(shù)f（x）的n+1階導(dǎo)數(shù)的上界可知，則可由插值余項絕對值的上限確定計算結(jié)果的誤差上限：

若f（x）的n+1階導(dǎo)數(shù)的上界未知，則只能在增加一個節(jié)點xn+1的條件下，通過事后誤差估計公式（7）分析計算結(jié)果的可靠性。

式（7）中，Pn（x）是以x0，x1，…，xn為節(jié)點的n次插值多項式，Pn（1）（x）是以x1，x2，…，xn+1為節(jié)點的n次插值多項式。

就1.1部分的示例問題，因為被插值函數(shù)f（x）未知，只能增加一個節(jié)點（x3=700時，y3=0.039），

由式（7）進(jìn)行事后誤差估計，得到插值法計算結(jié)果1.002 0的誤差約為3.87%。與x=890時的實際測試值1.000 0[6]相比可知，1.002 0的實際誤差非常小，僅為0.2%，遠(yuǎn)低于估計的誤差3.87%。

1.4.3 龍格現(xiàn)象

示例問題是通過3個節(jié)點構(gòu)造的2次拉格朗日插值多項式求解插值區(qū)間中某一點處的函數(shù)值，那么插值節(jié)點的數(shù)量與插值多項式的精度又有什么關(guān)系呢？由此引入龍格現(xiàn)象。

教學(xué)實踐表明，問題驅(qū)動教學(xué)將理論與實際相結(jié)合，整個教學(xué)過程圍繞問題展開，不僅可以加深學(xué)生對插值原理的理解，而且可以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

2 直觀演示法教學(xué)

在問題驅(qū)動教學(xué)過程中，借助數(shù)值分析課程的理論與實踐性特征以及MATLAB強(qiáng)大的數(shù)值計算和數(shù)據(jù)可視化能力，將MATLAB軟件引入理論教學(xué)課堂，進(jìn)行直觀演示法教學(xué)，使抽象的數(shù)學(xué)知識具象化，便于學(xué)生從感性上認(rèn)識和理解相關(guān)知識點，降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)習(xí)效率。

2.1 計算過程的動態(tài)演示

如圖1所示，對1.4.1部分通過拉格朗日插值多項式計算示例問題的過程進(jìn)行MATLAB圖形動態(tài)演示。由圖1a拉格朗日插值基函數(shù)、圖1b基函數(shù)與組合系數(shù)的乘積、圖1c基函數(shù)的線性組合構(gòu)成插值多項式以及x=890時計算和測試對應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行計算過程的動態(tài)圖形演示，使學(xué)生直觀感受插值基函數(shù)的性質(zhì)、插值多項式的構(gòu)成以及計算值和測試值的差別。

2.2 龍格現(xiàn)象的圖形演示

隨著插值節(jié)點數(shù)n+1的增加，插值函數(shù)固然在更多的地方與被插值函數(shù)相等，但有時會在兩端產(chǎn)生激烈的震蕩，出現(xiàn)函數(shù)不收斂的現(xiàn)象，這就是高次插值的龍格現(xiàn)象。龍格現(xiàn)象中的震蕩對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，理解起來稍有難度。對龍格函數(shù)在插值區(qū)間[-1，1]的2次、6次和10次等距節(jié)點拉格朗日插值多項式進(jìn)行圖形演示，如圖2所示。這樣可以使學(xué)生直觀感受龍格現(xiàn)象中的震蕩，接受插值區(qū)間邊緣處的誤差隨著插值節(jié)點的增加而增加這一事實。

3 混合式教學(xué)

混合式教學(xué)將線上和線下的教學(xué)資源有機(jī)整合，對傳統(tǒng)的教學(xué)課堂進(jìn)行重構(gòu)，拓展了教學(xué)的時空，可以有效地增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果?？蓪W(xué)時有限的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)無法完成的相關(guān)教學(xué)材料整理好并掛到互聯(lián)網(wǎng)上，通過互聯(lián)網(wǎng)展開混合式教學(xué)，彌補(bǔ)課堂教學(xué)的不足。

3.1 課前線上自學(xué)

拉格朗日插值多項式的推導(dǎo)是拉格朗日插值理論教學(xué)的重點。除了教材中的常規(guī)推導(dǎo)思路，也有不少學(xué)者提出不同的推導(dǎo)方法，歸納起來有四種：

1）從線性插值和拋物插值多項式出發(fā)，通過數(shù)學(xué)歸納法和逐次逼近的思想推導(dǎo)拉格朗日插值多項式[7]；

2）從線性方程組出發(fā)，經(jīng)過一系列的變換，推出拉格朗日插值多項式[8]；

3）從插值節(jié)點的函數(shù)值的線性組合出發(fā)，推導(dǎo)出拉格朗日插值多項式[9]；

4）從插值節(jié)點的基函數(shù)的線性組合出發(fā)，推導(dǎo)拉格朗日插值多項式[10]。

不同的推導(dǎo)過程難易不同，前兩種推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，后兩種則相對簡單。學(xué)習(xí)了解多種推導(dǎo)方法有助于進(jìn)一步加深學(xué)生對拉格朗日插值多項式的認(rèn)識和理解。將上述四種推導(dǎo)方法整理好掛到互聯(lián)網(wǎng)上，供學(xué)生課前自學(xué)。

3.2 線下教學(xué)

通過第1部分的問題驅(qū)動，結(jié)合第2部分的直觀演示，展開拉格朗日插值法的線下教學(xué)。

3.3 課后線上復(fù)習(xí)

將錄制好的上課視頻掛到互聯(lián)網(wǎng)上，便于學(xué)生課后復(fù)習(xí)，加深對相關(guān)知識的理解。

4 結(jié)束語

實踐表明，綜合運用問題驅(qū)動教學(xué)、直觀演示法教學(xué)和混合式教學(xué)精心設(shè)計拉格朗日插值法的理論教學(xué)環(huán)節(jié)，不僅可以降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)習(xí)效率，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新能力。

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*項目來源：甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2024年度一般課題“基于教育數(shù)學(xué)的工科專業(yè)本科生數(shù)值分析課程知識體系的優(yōu)化與實踐研究”（基金編號：GS〔2024〕GHB1508）。

作者簡介：陳奎、張?zhí)煸?，博士，教授?/p>