一般觀念引領(lǐng)下的初中“線段”教學建議

［摘 要］ 一般觀念在數(shù)學教學中具有方向標的作用，以其為綱，能夠教會學生如何用相似的方法學習同質(zhì)內(nèi)容. 文章立足一般觀念，提煉圖形性質(zhì)學習的一般框架，并以人教版（2011年版）七上的“線段”教學為例，探討如何在具體教學中滲透一般觀念，引領(lǐng)學生感悟知識的來龍去脈，培養(yǎng)其遷移能力和應(yīng)用意識.

［關(guān)鍵詞］ 一般觀念；圖形性質(zhì)；線段教學

引言

伴隨著《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“課標”）的頒布，知識的結(jié)構(gòu)性和整體性再次引發(fā)熱議. 課標指導我們在教學中要重視對教學內(nèi)容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系［1］. 事實上，數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)性和整體性早已不再局限于教學內(nèi)容本身，一般觀念引領(lǐng)下的教學框架和研究方法也開始得到越來越多人的討論和關(guān)注.

數(shù)學一般觀念是對內(nèi)容及其反映的數(shù)學思想方法的進一步提煉和概括，是對數(shù)學對象的定義方式、幾何性質(zhì)指什么、代數(shù)性質(zhì)指什么等問題的一般性回答，是研究數(shù)學對象的方法論［2］. 數(shù)學一般觀念可以揭示學科本質(zhì)，用其統(tǒng)領(lǐng)教學，能起到“綱舉目張”的效果，能幫助學生把知識理解為連貫的整體，是落實整體性教學和深度學習的重要途徑.

“一般觀念”融入初中圖形性質(zhì)

教學的意義

對數(shù)學學習而言，融入一般觀念的圖形性質(zhì)教學，能夠幫助學生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系. 從一般觀念的角度分析，圖形與幾何的研究手段基本是“通過尺規(guī)作圖和圖形變換建立幾何直觀—通過演繹推理構(gòu)建幾何邏輯結(jié)構(gòu)—初步量化表達”. 這些內(nèi)容比較抽象，在具體課堂教學中的操作性不強. 立足一般觀念提煉出數(shù)學研究的一般框架，可以有效解決這個問題，能幫助學生明確學習同質(zhì)內(nèi)容的一般思路和研究方法.

對教師發(fā)展而言，一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學教學，能夠有效促進教師專業(yè)成長. 一般觀念是數(shù)學學習中的頂層思想觀念，以圖形性質(zhì)教學為例，站位一般觀念的課堂能夠向?qū)W生傳達這樣一種理念——不同的幾何圖形只是學習載體，圖形性質(zhì)的學習本質(zhì)上是在研究構(gòu)成圖形的基本元素或者相關(guān)元素之間的位置關(guān)系與大小數(shù)量關(guān)系. 因此，教師本身必須明確不同領(lǐng)域和不同學習主題的核心思想和觀念，對課標有更加透徹的理解，從整體性和一致性的角度統(tǒng)籌把握教學節(jié)奏，以學促教，提升自身的專業(yè)素養(yǎng).

對學生學習而言，一般觀念引領(lǐng)下的數(shù)學課堂，能夠有效達成深度學習. 以圖形性質(zhì)學習為例，傳統(tǒng)的幾何教學更注重學生幾何研究經(jīng)驗的積累和相關(guān)技能訓練. 在這樣的課堂中，學生或許能明白“如何解題”，但是對于幾何學習的主要內(nèi)容和一般性方法缺乏系統(tǒng)的認識. 一般觀念引領(lǐng)下的幾何課堂，學生能夠從研究內(nèi)容、研究思路和研究方法等方面研究學習對象，梳理學習圖形性質(zhì)的一般框架和思路，構(gòu)建完整的知識體系.

定題“線段”的緣由

在下文中，筆者將以人教版（2011年版）七年級上冊第四章“幾何圖形初步”中的“線段”為例，探討一般觀念引領(lǐng)下圖形性質(zhì)教學的實施策略. 之所以以“線段”為題，主要是基于以下兩個原因.

第一，大部分學生，甚至包括一些老師，都忽視了“線段”的重要性. 學生在小學階段積累了“線段”的部分學習經(jīng)驗，大家容易對初中“線段”的學習產(chǎn)生這樣的誤解：“線段”的學習只是在小學已有基礎(chǔ)上，增添了表示方法、尺規(guī)作圖等內(nèi)容，淺顯易懂，學生不需要花費太多精力，只要通過技能訓練，就能達成學習目標.

第二，“線段”這部分內(nèi)容設(shè)置在人教版（2011年版）七年級上冊“幾何圖形初步”這個章節(jié)，不僅是學生在初中階段第一次正式接觸幾何學習，也是圖形性質(zhì)教學的開端. 如果教師能夠站位一般觀念，引導學生從“構(gòu)成元素”的角度思考和理解“線段”的不同學習環(huán)節(jié)，就把握住了一個很好的契機，能幫助學生構(gòu)建對后續(xù)幾何學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化研究框架.

一般觀念引領(lǐng)下，“線段”教學

的實施建議

（一）立足一般觀念，提煉圖形性質(zhì)教學的一般框架

圖形性質(zhì)學習的一般框架可以從研究內(nèi)容、研究思路和研究方法三個角度進行梳理，如圖1所示.

（二）“線段”主要環(huán)節(jié)的教學建議

1. 線段的定義及表示法

問題1 線段的定義：直線上兩點及兩點間的部分.

追問：如果從“構(gòu)成元素”的角度分析，線段定義可以提煉出幾個元素？

問題2 線段的表示方法：用一個小寫字母或者兩個大寫字母表示，如圖2所示.

追問1：結(jié)合定義中提煉的“元素”，嘗試說明線段命名的依據(jù).

追問2：你能仿照線段的命名方式，從“構(gòu)成元素”的角度給射線命名嗎？

設(shè)計意圖 圖形性質(zhì)本質(zhì)上是在研究構(gòu)成圖形的基本元素或者相關(guān)元素之間的位置關(guān)系與大小數(shù)量關(guān)系. 教師應(yīng)該借著“定義”，跟學生明確線段的兩個構(gòu)成要素：直線和點，再通過“用兩個大寫字母表示線段”來強化基本要素的重要性. 因為用兩個大寫字母表示線段就是回歸到了“點”這個要素上. 這樣的解讀方式能夠在學生心中埋下一顆名為“基本元素”的種子，為后續(xù)的教學做好鋪墊.

2. 尺規(guī)作圖

問題 如何借助沒有刻度的直尺和圓規(guī)構(gòu)造一條線段等于已知線段？

作圖步驟：

（1）畫一條射線；

（2）在射線上截取一條線段等于已知線段.

追問：在定義學習中，我們強調(diào)了構(gòu)成元素的重要性，你能嘗試從這個角度分析作圖步驟與構(gòu)成元素的關(guān)聯(lián)嗎？

設(shè)計意圖 在尺規(guī)作圖教學中，作圖技能的訓練往往是教師關(guān)注的重點. 但是站位一般觀念，簡單的技能固化并不能體現(xiàn)學習本質(zhì)，教師應(yīng)該從構(gòu)成要素的角度來解讀作圖步驟：線段指的是直線上兩點及兩點間的部分，那么先畫一條射線相當于構(gòu)造了一個點和一條線，再用圓規(guī)截取則能定位出另外一個點. 這樣的剖析過程能夠幫助學生從構(gòu)成元素的角度領(lǐng)悟“為何這樣的操作就能構(gòu)造出一條線段等于已知線段”.

3. 線段的大小比較

問題 你能用哪幾種方法比較線段a，b，c的長短？如圖3所示.

歸納：如表1.

追問：仔細觀察“圖形語言”，有了前面的學習經(jīng)驗，你能找到線段構(gòu)成元素與大小比較的關(guān)聯(lián)嗎？

設(shè)計意圖 在進行這個環(huán)節(jié)的教學時，教師應(yīng)該引導學生有邏輯地思考這樣一個關(guān)聯(lián)：“點的位置關(guān)系”反映了“線段間的數(shù)量關(guān)系”. 最后的追問不僅再次回歸到了線段的構(gòu)成要素——“點”，還幫助學生將“線段大小比較”這個問題，從直觀的圖形感受上升到理性的邏輯結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了他們的推理能力和抽象能力.

4. 線段和差

問題1 如圖4所示，已知線段a，b，求作一條線段，使它等于a +b.

作圖步驟：

（1）畫一條射線；

（2）在射線上依次截取AB=a，BC=b，則有AC=a +b，如圖5所示.

追問1：若a=1，b=2，馬上可以得到a +b=3，為什么在尺規(guī)作圖的過程中卻要“先畫一條射線”？

追問2：能不能先畫一條線段AB等于a，再拼一條線段BC等于b，用拼接的方式（點B重合）得到AC呢？

設(shè)計意圖 解決上述兩個追問的關(guān)鍵就在題目的要求“求作一條線段”. “為什么要先畫一條射線”這個問題是本環(huán)節(jié)的重難點. 倘若只從數(shù)量的角度考慮，線段的長度是可以直接相加減的，學生在三角形周長等內(nèi)容的學習中，已經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗. 但是如果要用一條新的線段來表示兩條線段的和（差），簡單的拼接并不能達成這個目的.

從形的角度來看，線段是直線上兩點及兩點間的部分，用拼接的方式?jīng)]辦法保證兩條線段共線，可見線段和（差）的作圖必須有一個前提，那就是A，B，C三點共線. 所以“先畫一條射線”能夠保證構(gòu)成元素中的“線”，“依次截取”才能得到另一個元素“點”. 可見，用一般觀念來指導教學，不僅可以有效突破教學的重難點，還能強化學生對圖形性質(zhì)本質(zhì)的理解.

問題2 如圖6所示，線段AB可以表示成哪兩條線段的差？

追問：AB=AC-BC和AB=AD-BD這兩種表示方法分別抓取的是哪幾個點？

設(shè)計意圖 這個追問有一個非常重要的引導價值：在復雜圖形中，我們需要關(guān)注什么？學生通過思考會發(fā)現(xiàn)，無論是哪一種方案，最后抓取的點只有3個，進而提煉出線段和差的基本圖形，如圖7所示. 借助這個問題的思考，依托構(gòu)成圖形的基本元素提煉基本圖形結(jié)構(gòu)，不僅能夠讓學生的幾何學習起到策略性的指導作用，還能再次強化圖形性質(zhì)的研究內(nèi)容，發(fā)展學生的一般觀念.

5. 線段等分點

問題1 如圖8所示，如果讓圖7中的點C動起來，有沒有哪個點C的位置值得你特別關(guān)注？為什么？

線段中點：若點C把線段AB分成相等的兩條線段AC和CB，點C叫線段AB的中點，如圖9所示.

設(shè)計意圖 線段等分點的教學承載著幾何學習中濃墨重彩的一筆——點的位置的特殊化能夠帶來圖形的特殊化. 這個現(xiàn)象如果從一般觀念的角度來看，就很好理解. “點”作為構(gòu)成圖形的基本要素，它的位置一旦特殊，勢必會帶來圖形的特殊化. 因此，在教學中教師要讓學生充分體驗點C的位置變化過程，讓學生直觀感悟線段等分點的特殊，積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗.

問題2 判斷“若線段AB=BC，則點B是線段AC的中點”這句話是否正確，并說明理由.

設(shè)計意圖 線段的構(gòu)成基本要素是“點”和“線”. 除了強調(diào)“點”，怎么體現(xiàn)“線”的重要性呢？設(shè)置一個數(shù)學情境讓學生去辨析，是非常有效的手段. 學生在構(gòu)圖的過程中會發(fā)現(xiàn)，要讓點B成為AC的中點，必須滿足線段AB和BC共線，進而意識到“線”的重要性. “共線”更是后續(xù)輔助線添加的重要因素.

思考與啟示

數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展有其內(nèi)在邏輯基礎(chǔ)，不同領(lǐng)域的數(shù)學學習內(nèi)容有很多共性的部分. 對幾何圖形而言，我們主要研究的是圖形構(gòu)成要素和相關(guān)要素之間的關(guān)系（位置關(guān)系、大小關(guān)系等）. 倘若我們能站位一般觀念，積極地去思考如何在不同幾何內(nèi)容的教學中滲透和提煉共性的研究路徑，教會學生研究幾何圖形的一般思路和基本方法，學生就能逐漸意識到：不同的幾何圖形只是載體，它們的研究內(nèi)容、思路和方法都有共通之處. 這樣不僅能幫助學生整體把握知識，更能有效地完成知識遷移，還能培養(yǎng)他們的應(yīng)用意識，落實核心素養(yǎng)，達成深度學習.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章建躍. 學會提問（之五）［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2022（3）：64+66.