關(guān)于中考圓類問題的舉例探究

［摘 要］ 圓類問題類型多樣，涉及眾多知識(shí)考點(diǎn)，探究學(xué)習(xí)中要關(guān)注命題形式，結(jié)合對(duì)應(yīng)知識(shí)探尋破解思路，總結(jié)方法策略. 本文將結(jié)合考題深入探究圓中的四類問題，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出相應(yīng)的建議，與讀者交流學(xué)習(xí).

［關(guān)鍵詞］ 圓；模型；尺規(guī)作圖；拋物線

中考在考查圓的性質(zhì)特征時(shí)常結(jié)合其他知識(shí)，形成了特殊的圓類問題，該類問題往往綜合性強(qiáng)，側(cè)重考查知識(shí)間的聯(lián)系，以及綜合運(yùn)用解題方法分析推理. 圓類問題的構(gòu)建形式較為多樣，下面結(jié)合中考題探究其中較為常見的四類.

圓中扇形屬性探究

圓中扇形屬性探究涉及圓弧的周長(zhǎng)、面積，主要考查模型構(gòu)建和對(duì)應(yīng)公式等知識(shí). 對(duì)于弧長(zhǎng)問題，準(zhǔn)確確定圓弧的角度和半徑；涉及圓弧的面積問題，則需合理構(gòu)建面積模型，結(jié)合對(duì)應(yīng)面積公式求解.

例1 （2023年揚(yáng)州市中考）如圖1所示，在?ABCD中，AB=+1，BC=2，AH⊥CD，垂足為H，AH=. 以點(diǎn)A為圓心，AH長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB，AC，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G. 若用扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r；用扇形AHG圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r，則r-r=______. （結(jié)果保留根號(hào)）

命題分析：本題目探究扇形圍成圓錐底面的半徑差，需要求解扇形的弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式反推半徑長(zhǎng)，實(shí)際上為圓中的扇形屬性探究題. 求解時(shí)需要注意兩點(diǎn)：一是充分利用平行四邊形的性質(zhì)，推導(dǎo)角度；二是合理利用弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)公式.

過程詳解：在?ABCD中，AB=+1，BC=2，AH⊥CD，AH=，可推得AD=BC=2，DH==1. 因?yàn)閏os∠DAH==，AB=CD=+1，可得∠DAH=30°，CH==AH，所以∠ACH=∠CAH=45°. 又知AB∥CD，可得∠BAC=45°.

由于利用扇形圍成圓錐，則弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，從而可得=2πr，=2πr，可解得r=，r=，所以r-r=-=.

解后評(píng)析 上述本質(zhì)上為求圓中的扇形半徑屬性探究題，主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理、銳角三角函數(shù)、扇形的弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用. 問題的應(yīng)用屬性極強(qiáng)，需要把握構(gòu)建過程，靈活推導(dǎo).

圓中的模型探究

圓中的模型探究主要針對(duì)的是初中幾何的特殊關(guān)系和模型，主要考查學(xué)生對(duì)模型特征與性質(zhì)的掌握情況，以及靈活運(yùn)用結(jié)論的分析推理的數(shù)學(xué)思維. 圓中常見的關(guān)系與模型包括三角形相似與全等模型、直角三角形模型等. 探究解析時(shí)要關(guān)注幾何特征，注意模型提取，利用模型結(jié)論逐步解析.

例2 （2023年蘇州市中考）如圖2所示，△ABC是☉O的內(nèi)接三角形，AB是☉O的直徑，AC=，BC=2，點(diǎn)F在AB上，連接CF并延長(zhǎng)，交☉O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E.

（1）求證：△DBE∽△ABC；

（2）若AF=2，求DE的長(zhǎng).

命題分析：本題目以圓為背景構(gòu)建三角形，涉及求證三角形相似和線段長(zhǎng)，屬于圓類問題. 問題解析需要提取其中的相似三角形、直角三角形，以相似關(guān)系和特殊圖形性質(zhì)來構(gòu)建模型，分析推理，本質(zhì)上為圓中的模型探究.

過程詳解：（1）因?yàn)锳B是☉O的直徑，BE⊥CD，則可得∠ACB=90°=∠BED. 結(jié)合∠CAB=∠CDB可證△DBE∽△ABC.

（2）已知AC=，BC=2，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，分析可得AB==5，tan∠ABC==. 因?yàn)锳F=2，則BF=3. 因?yàn)椤鱀BE∽△ABC，可得∠ABC=∠DBE，所以tan∠ABC=tan∠DBE==.

可設(shè)DE=x，則BE=2x，BD=x. 分析可證△ACF∽△DBF，則可得==，代入可得=，則DF=2x，EF=x=DE，所以BD=BF=3. 所以DE=.

解后評(píng)析 本題目實(shí)質(zhì)上為圓中的模型探究題，主要考查圓周角定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，提取圖形中的特殊模型是解題的關(guān)鍵. 圓中的常見模型較多，常見的有相似模型、全等模型、一線三等角模型、直角三角形模型等.

圓中的尺規(guī)作圖探究

圓中的尺規(guī)作圖探究綜合性極強(qiáng)，常將作圖與幾何推理相結(jié)合，綜合考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和推理分析能力. 尺規(guī)作圖的類型較為多樣，涉及作等線段、等角、角平分線、過定點(diǎn)直線的垂線，以及線段的垂直平分線. 問題解析時(shí)需要理解題意，確定作圖意圖.

例3 （2023年連云港市中考）如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的☉O交邊AC于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)C作CE∥AB.

（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)B作☉O的切線，交CE于點(diǎn)F；（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF.

<D：＼數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬＼2024數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（11期）＼2024數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（11期） c＼11-84.tif>[圖3][B][D][C][E][A][O]

命題分析：本題目為以圓為背景的綜合題，第（1）問作切線，屬于與圓相關(guān)的尺規(guī)作圖；第（2）問為常規(guī)的證明題. 兩問綜合考查學(xué)生的動(dòng)手操作與分析能力. 第（2）問根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對(duì)的圓周角是直角，證明∠BDC=∠BFC，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠BCD=∠BCF，進(jìn)而證明△BCD≌△BCF（AAS）， 即可得證.

過程詳解：（1）過點(diǎn)B作☉O的切線，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)B作AB的垂線，交CE于點(diǎn)F即可. 具體過程分為兩步：第一步，以點(diǎn)B為圓心，任意線段的長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線AB于兩點(diǎn)；第二步，再以這兩點(diǎn)為圓心，一定長(zhǎng)度為半徑分別畫弧可得兩個(gè)交點(diǎn)（半徑可大于OB長(zhǎng)），如圖4所示.

（2）因?yàn)锳B=AC，所以∠ABC=∠ACB，又知CE∥AB，所以∠ABC=∠BCF，可推知∠BCF=∠ACB.

由于點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，則∠ADB=90°，可得∠BDC=90°. 又知BF為☉O的切線，則∠ABF=90°. 而CE∥AB，所以∠BFC+∠ABF=180°，可得∠BFC=90°，所以 ∠BDC=∠BFC.

在△BCD和△BCF中，有∠BCD=∠BCF，

∠BDC=∠BFC，

BC=BC， 可證△BCD≌△BCF（AAS），可推得BD=BF.

解后評(píng)析 本題目第（1）問尺規(guī)作圖要求作圓的切線，實(shí)則為過一點(diǎn)作線段的垂線，考查垂線的作法. 探究學(xué)習(xí)中需要總結(jié)常見作圖的作法，分別理解作圖步驟及意圖，總結(jié)作圖的關(guān)鍵點(diǎn)、注意事項(xiàng)，以及所利用的知識(shí)定理.

圓中的函數(shù)聯(lián)系探究

圓中的函數(shù)聯(lián)系探究，主要考查圓與函數(shù)綜合的相關(guān)知識(shí)，包括性質(zhì)與特征、結(jié)論與定理，以及相應(yīng)的探究方法，對(duì)學(xué)生的綜合解析能力要求較高. 探究解析時(shí)，需要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法策略，對(duì)于多種情形分類討論. 關(guān)注其中的位置關(guān)系，提取構(gòu)建特殊模型.

例4 （2023年蘇州市中考）如圖5所示，二次函數(shù)y=x2-6x+8的圖像與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線l是對(duì)稱軸. 點(diǎn)P在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接PA，PB，過點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M，以點(diǎn)M為圓心，作半徑為r的圓，PT與☉M相切，切點(diǎn)為T.

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）若以☉M的切線長(zhǎng)PT為邊長(zhǎng)的正方形的面積與△PAB的面積相等，且☉M不經(jīng)過點(diǎn)（3，2），求PM長(zhǎng)的取值范圍.

命題分析：本題目為拋物線綜合題，融合了拋物線、圓、三角形等，涉及相交、相切、垂直等特殊關(guān)系. 第（2）問為核心之問，設(shè)定正方形與三角形的面積相等，屬于典型的幾何面積問題，解析突破則需要把握?qǐng)D形特征，分別構(gòu)建面積模型.

過程詳解：（1）簡(jiǎn)答，點(diǎn)A（2，0），B（4，0）.

（2）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（4，0），所以拋物線的對(duì)稱軸為x=3，可設(shè)P（m，m2-6m+8）. 因?yàn)镻M⊥l，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可表示為（3，m2-6m+8）.

如圖5所示，連接MT，則MT⊥PT，所以PT 2=PM 2-MT 2=（m-3）2-r 2，即以切線PT為邊長(zhǎng)的正方形的面積可表示為（m-3）2-r2.

過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，則△PAB的面積可表示為S=AB·PH=m2-6m+8，根據(jù)等面積關(guān)系可得（m-3）2-r2=m2-6m+8. 因?yàn)閞>0，則r=1. 假設(shè)☉M過點(diǎn)N（3，2），則有以下兩種情況：

情形①：如圖6-（a）所示，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí)，即M（3，3），所以m2-6m+8=3，可解得m=5或m=1. 因?yàn)閙>4，所以m=5；

情形②：如圖6-（b）所示，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即M（3，1），所以 m2-6m+8=1，可解得m=3±. 因?yàn)閙>4，所以m=3+；

綜上可知，PM=m-3=2或，所以當(dāng)☉M不經(jīng)過點(diǎn)（3，2）時(shí)，1<PM<或<PM<2或PM>2.

解后評(píng)析 上述第（2）問探究線段長(zhǎng)時(shí)涉及拋物線與圓的特性分析，通過分析其中點(diǎn)、線、圖形的位置關(guān)系確定分類標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)建模型. 解析時(shí)需要注意兩點(diǎn)：一是構(gòu)建線與線、線與圖形的聯(lián)系，利用點(diǎn)坐標(biāo)求線段長(zhǎng)，結(jié)合線段建立面積模型；二是關(guān)注其中的位置關(guān)系，包括直線與圓的相切關(guān)系，點(diǎn)與點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系.

關(guān)于圓類問題的探究建議

圓類問題作為中考的重點(diǎn)問題，類型多樣，探究學(xué)習(xí)時(shí)需要深入剖析問題特征，把握其構(gòu)建形式，結(jié)合方法具體剖析，下面提出幾點(diǎn)建議.

1. 剖析位置關(guān)系，分類具體討論

“位置關(guān)系剖析”是圓類問題探究的重點(diǎn)，包括圓與直線的關(guān)系，圓中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線的關(guān)系等. 位置關(guān)系分析是后續(xù)分析的基礎(chǔ)，需要根據(jù)關(guān)系分析來構(gòu)建模型，分情形討論. 具體探究時(shí)要關(guān)注兩點(diǎn)：一是圓與直線相切，根據(jù)相切提取直角或垂直；二是圓中的特殊點(diǎn)，包括圓心、切點(diǎn)、相交點(diǎn)，通過分析特殊點(diǎn)來確定特性.

2. 提取特殊模型，進(jìn)行性質(zhì)推理

圓中復(fù)合圖形剖析是解題的關(guān)鍵，需要從圖形中推導(dǎo)性質(zhì)結(jié)論，為后續(xù)轉(zhuǎn)化分析做基礎(chǔ). 剖析時(shí)需關(guān)注復(fù)合圖形中的模型，必要時(shí)合理作輔助線，提取其中的特殊關(guān)系及模型. 常見的有相似或全等模型，直角三角形等. 探究學(xué)習(xí)中建議總結(jié)歸納，匯總常見模型的構(gòu)建形式，重點(diǎn)關(guān)注圓中的特殊模型.

3. 整合問題形式，串聯(lián)綜合知識(shí)

圓類問題的形式多樣，上述所探究的是其中較為常見的四種，涉及弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式、幾何模型、三角函數(shù)、拋物線等知識(shí)考點(diǎn). 問題綜合性極強(qiáng)、解法也不統(tǒng)一，探究學(xué)習(xí)時(shí)需要整合該類問題的構(gòu)建形式，把握知識(shí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，總結(jié)破解方法. 同時(shí)開展解題探究，選取典型問題，總結(jié)方法.