泛延拓矩陣的Schur分解及其應(yīng)用

摘 要： 基于泛延拓矩陣分解在數(shù)學(xué)和圖像處理等領(lǐng)域中應(yīng)用的重要性，利用矩陣分解理論導(dǎo)出了泛延拓矩陣的Schur分解、Hermite陣分解、正交對角分解和廣義逆的優(yōu)化計(jì)算公式。結(jié)果表明，此法在不降低數(shù)值精度的情況下減少了計(jì)算量與存儲量，簡化了數(shù)字版權(quán)保護(hù)領(lǐng)域中基于泛延拓陣Schur分解的彩色圖像盲水印算法。

關(guān)鍵詞： 泛延拓矩陣；Schur分解；廣義逆；信號處理；數(shù)字水印

中圖分類號： TN911.7；O151.21 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2096-3998（2024）06-0075-07

收稿日期：2024-02-20" 修回日期：2024-05-22

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11871122）；重慶市教委科技項(xiàng)目（KJQN201800815）

作者簡介：何靜（1981—），女，四川蓬溪人，講師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)建模、矩陣論;［*通信作者］：袁暉坪（1958—），男，重慶市潼南人，教授，主要研究方向?yàn)榫仃囌摗?/p>

引用格式：何靜，袁暉坪.泛延拓矩陣的Schur分解及其應(yīng)用[J].陜西理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，40（6）：75-81.

在數(shù)值分析、大數(shù)據(jù)處理、信息理論、彩色圖像數(shù)字水印算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、商務(wù)智能、航空計(jì)算、最優(yōu)化、線性方程、工程問題等領(lǐng)域中，矩陣的Schur分解、Hermite陣分解與正交對角分解可用于解決復(fù)雜問題，涉及推薦、降維、分析、聚類等任務(wù)，具有重要的研究價(jià)值^［1-9］。廣義逆矩陣廣泛地應(yīng)用于系統(tǒng)論、控制論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)及優(yōu)化決策等領(lǐng)域^［10］。在諸多領(lǐng)域（如大數(shù)據(jù)分析挖掘、彩色圖像數(shù)字水印算法、圖像處理、生物信息學(xué)等）中大量出現(xiàn)關(guān)于特殊行、列或?qū)蔷€的對稱矩陣，涉及的矩陣階數(shù)高數(shù)據(jù)量大，若直接采樣存儲并分解，將影響準(zhǔn)確性和效率。因而發(fā)現(xiàn)矩陣數(shù)據(jù)中的定量關(guān)系和規(guī)律，探究矩陣的特殊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和特征很有必要^［11-16］。某些特殊對稱條件將可用于矩陣的Schur分解、正交對角分解與Hermite矩陣分解的優(yōu)化。文獻(xiàn)［11-13］對行（列）對稱陣及酉對稱陣的QR分解和奇異值分解作了深入研究，獲得了應(yīng)用廣泛的結(jié)果。文獻(xiàn)［14-16］研究了泛延拓陣的極分解、QR分解和奇異值分解。

本文將進(jìn)一步探究泛延拓陣的Schur分解、正交對角分解與Hermite陣分解，獲得了若干新結(jié)果，給出了泛延拓陣的Schur分解、正交對角分解、Hermite陣分解及其Moore-Penrose逆的公式，極大地減少了它們的計(jì)算量與存儲量，推廣了文獻(xiàn)［9］的結(jié)果，擴(kuò)充了文獻(xiàn)［14-15］的研究內(nèi)容，拓寬了應(yīng)用范圍，這對矩陣?yán)碚撗芯炕驊?yīng)用（如求解矩陣方程、時(shí)頻分析、圖像分析、軟件工程等）都很有價(jià)值。本文用AH表矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置陣，R^m×n與C^m×n分別表m×n實(shí)陣與復(fù)陣集，A+表A的Moore-Penrose逆。

定義1^［14］

設(shè)A∈C^m×n，Q1，Q2，…，Qk-1均為m階正交陣，則稱

R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）=

AA1Ak-1，

為A的k次泛行延拓陣，A稱為它的母陣。其中Ai=QiA， i=1，2，…，k-1。

特別地，當(dāng)Q1=Q2=…=Qk-1=Q時(shí)，簡記

R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）=Rk（A;Q）。

定義2^［14］

設(shè)A∈C^m×n，Q1，Q2，…，Qk-1均為n階正交陣，則稱

C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）=（A，A2，…，Ak-1）

為A的k次泛列延拓陣，A稱為它的母陣。其中Ai=AQi， i=1，2，…，k-1。

特別地，當(dāng)Q1=Q2=…=Qk-1=Q時(shí)，簡記

C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）=Ck（A;Q）。

特別：當(dāng)Q1=Q2=…=Qk-1=I（單位陣）時(shí)，

R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）=Rk（A）

即為文獻(xiàn)［11］中的“A的第一類k次行延拓”；

C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）=Ck（A）=（A，A，…，A）

即為文獻(xiàn)［11］中的“A的第一類k次列延拓”。

當(dāng)Q1=Q2=…=Qk-1=J（單位反對角陣）時(shí)，

R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）=Rk（A;J）

即為文獻(xiàn)［12］中的“A的k次行周期對稱陣”；

C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）=Ck（A;J）

即為文獻(xiàn)［12］中的“A的k次列周期對稱陣”；

當(dāng)Q1，Q2，…，Qk-1為實(shí)酉變換陣^［13］時(shí)，

R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）即為文獻(xiàn)［13］中的“A的k次行酉對稱陣”；

C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）即為文獻(xiàn)［13］中的“A的k次列酉對稱陣”；

當(dāng)Q1，Q2，…，Qk-1為置換陣時(shí)，

R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）即為文獻(xiàn)［9］中的“A的擬行對稱陣”；

C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）即為文獻(xiàn)［9］中的“A的擬列對稱陣”。

1 泛延拓矩陣的三種分解及其Moore-Penrose逆

引理 設(shè)Q1，Q2，…，Qk-1均為n階正交矩陣，U為n階酉矩陣，則

P1=

Uk

UQ^H1k

UQ^H2k

…

UQ^Hk-1k

U2

-UQ^H12

O

…

O

U6

UQ^H16

-2UQ^H26

…

O

Uk（k-1）

UQ^H1k（k-1）

UQ^H2k（k-1）

…

（1-k）UQ^Hk-1k（k-1）

為kn階酉矩陣。

證明

因?yàn)閁U^H=U^HU=I，QiQ^Hi=Q^HiQi=I，所以容易驗(yàn)證：

P1P^H1=

IOO…O

OIO…O

OOI…O

OOO…I

=Ikn。

類似可證：P^H1P1=Ikn，故P1為kn階酉陣。

后文中出現(xiàn)的酉陣P1均與引理一致。

1.1 泛延拓矩陣的Schur分解及其Moore-Penrose逆

定理1（Schur分解） 設(shè)Q1，Q2，…，Qk-1均為m階正交陣，

已知A∈C^n×n的k次泛行延拓陣為R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）∈C^kn×n，

A的Schur分解為A=U^HLU，其中U為酉陣，L為上（下）三角陣且其對角元為A的特征值，則存在酉陣P1使

（1） P1R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）U^H=kLO，

（2） R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）的Moore-Penrose逆：

［R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

U^H1kL+，OP1。

證明

（1）由引理知，P1為酉陣，又

P1R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）U^H=

P1

A

Q1A

Qk-1A

U^H=

kUAU^H

O

O=

kLO。

（2）由（1）及文獻(xiàn)［17］知，

［R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

［P^H1kLOU］+=

U^HkLO+（P^H1）^H=

U^H1kL+，OP1。

定理1推廣了文獻(xiàn)［9］的定理1，即在定理1中取Q1，Q2，…，Qk-1均為m階置換矩陣，便得到文獻(xiàn)［9］的定理1。

定理2（Schur分解） 設(shè)Q1，Q2，…，Qk-1均

為m階正交陣，已知A∈C^n×n的k次泛列延拓陣為C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）∈C^n×kn，

A的Schur分解為A=U^HLU，其中U為酉陣，L為上（下）三角陣且其對角元為A的特征值，則存在酉陣P1使

（1） UC（A;Q1，Q2，…，Qk-1）P^H1=（kL，O）;

（2） C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）的Moore-Penrose逆：

［C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

P^H11kL+OU。

證明

（1）據(jù)引理知，P1為酉陣，又

UC（A;Q1，Q2，…，Qk-1）P^H1=

U（A;AQ1，AQ2，…，AQk-1）P^H1=

（kUAU^H，O，…，O）=

（kL，O）。

（2）據(jù)（1）及文獻(xiàn)［17］知，

［C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

［U^H（kL，O）P1］+=

P^H1（kL，O）+（U^H）^H=

P^H1（kL，O）+U=

P^H11kL+OU。

定理2推廣了文獻(xiàn)［9］的定理2。即在定理2中取Q1，Q2，…，Qk-1均為m階置換矩陣，便得到文獻(xiàn)［9］的定理2。

1.2 泛延拓矩陣的正交對角分解及其Moore-Penrose逆

定理3（正交對角分解） 設(shè)Q1，Q2，…，Qk-1均為m階正交陣，已知可逆陣A∈R^n×n的k次泛行延拓陣為

R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）∈R^kn×n，

且U^HAV=D1=diag（σ1，σ2，…，σn），其中σigt;0（i=1，2，…，n），U，V為正交陣，則存在正交陣V及P1使

（1） P1R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）V=DO，其中D=diag（d1，d2，…，dn），digt;0（i=1，2，…，n）；

（2） R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）的Moore-Penrose逆：

［R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=V（D^-1，O）P1。

證明

（1）令d=kσi，則據(jù)引理知：P1為正交陣，且

P1R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）V=

P1A

Q1A

Qk-1A

V=

kU^HAV

O

O=

kD1O=

DO。

（2）據(jù)（1）及文獻(xiàn)［17］知，

［R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

［P^H1DOV^-1］+=

（V^-1）^HDO+（P^H1）^H=

V（D^-1，O）P1。

定理4（正交對角分解） 設(shè)Q1，Q2，…，Qk-1均為m階正交陣，已知可逆陣A∈R^n×n的k次泛列延拓陣為

C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）∈R^n×kn，

且U^HAV=D1=diag（σ1，σ2，…，σn），其中σigt;0（i=1，2，…，n），U，V為正交陣，則存在正交陣V及P1使

（1） VC（A;Q1，Q2，…，Qk-1）P^H1=（D，O），其中D=diag（d1，d2，…，dn），digt;0（i=1，2，…，n）。

（2） C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）的Moore-Penrose逆：

［C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

P^H1D^-1OV。

證明

（1）令d=kσi，i=1，2，…，n。則據(jù)引理知：P1為正交陣，且

VC（A;Q1，Q2，…，Qk-1）P^H1=

V（A，AQ1，AQ2，…，AQk-1）P^H1=

（kVAU^H，O，…，O）=

（kD1，O）=

（D，O）。

（2）據(jù)（1）及文獻(xiàn)［17］知，

［C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

［V^-1（D，O）P1］+=

P1^H（D，O）+（V^-1）^H=

P^H1D^-1OV。

1.3 泛延拓陣的Hermite陣分解及其Moore-Penrose逆

定理5 設(shè)Q1，Q2，…，Qk-1均為m階正交陣，

已知n階Hermite陣A的k次泛行延拓陣為R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）∈C^kn×n，

且A=U^HDU，其中D為實(shí)對角陣，對角元為A的特征值，U為酉陣，則存在酉陣P1使

（1） P1R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）U^H=kDO;

（2） R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）的Moore-Penrose逆：

［R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

U^H1kD+，OP1。

證明

（1）據(jù)引理知：P1為酉陣，又

P1R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）U^H=

P1

A

Q1A

Qk-1A

U^H=

kUAU^H

O

O=

kDO。

（2）據(jù)（1）及文獻(xiàn)［17］知，

［R（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

［P^H1kDOU］+=

U^HkDO+（P^H1）^H=

U^H1kD+，OP1。

定理6 設(shè)Q1，Q2，…，Qk-1均為m階正交陣，

已知n階Hermite陣A的k次泛列延拓陣為C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）∈C^n×kn，

且A=U^HDU，其中D為實(shí)對角陣，對角元為A的特征值，U為酉陣，則存在酉陣P1使

（1） UC（A;Q1，Q2，…，Qk-1）P^H1=（kD，O）;

（2） C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）的Moore-Penrose逆：

［C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

P^H11kL+OU。

證明

（1）據(jù)引理知：P1為酉陣，又

UC（A;Q1，Q2，…，Qk-1）P2=

U（A;AQ1，AQ2，…，AQk-1）P2=

（kUAU^H，O，…，O）=

（kD，O）。

（2）據(jù)（1）及文獻(xiàn)［17］知，

［C（A;Q1，Q2，…，Qk-1）］+=

［U^H（kD，O）P1］+=

P^H1（kD，O）+（U^H）^H=

P^H11kD+OU。

2 泛延拓陣的Schur分解的算法

據(jù)以上討論，得出以下算法：

算法1 泛行延拓陣R（A;Q1，…，Qk-1）的Schur分解算法

步驟1 計(jì)算矩陣A的Schur分解：A=U^HLU；

步驟2 求引理中的酉陣P1；

步驟3 得P1R（A;Q1，…，Qk-1）U^H=kLO。

算法2 泛列延拓陣C（A;Q1，…，Qk-1）的Schur分解算法

步驟1 計(jì)算矩陣A的Schur分解：A=U^HLU；

步驟2 求引理中的酉陣P^H1；

步驟3 得UC（A;Q1，…，Qk-1）P^H1=（kL，O）。

類似可得到其他幾種分解的算法，此處從略。

3 基于泛延拓矩陣Schur分解的彩色圖像盲水印算法

SVD分解能抵抗幾何攻擊保持圖像的穩(wěn)定性，常用于數(shù)字水印的嵌入過程，作為其中間步驟的Schur分解壓縮優(yōu)化了SVD分解的時(shí)間復(fù)雜度。從數(shù)值上來看，Schur分解所需的計(jì)算量不到SVD分解的1/3，提高了算法效率。這表明根據(jù)實(shí)際應(yīng)用場景的需要，選擇恰當(dāng)?shù)那度牒吞崛〔呗詴r(shí)，在保證水印的魯棒性和不可感知性的前提下，Schur分解具有良好的數(shù)字水印應(yīng)用前景^［7］。

例1 在彩色圖像數(shù)字水印算法中，假設(shè)原始像素塊為

225224224225225224224225

224224225225224224225225

223224225224223224225224

223225224224223225224224=（A，AI）。

由文獻(xiàn)[4]可知：矩陣

A=225224224225

224224225225

223224225224

223225224224的Schur分解為A=U^HLU，

其中

U=-0.500 6-0.500 6-0.499 4-0.994 0

0.242 1 0.579 0-0.045 7-0.777 2

-0.790 3 0.310 9 0.526 0-0.045 4

-0.257 3 0.563 5-0.686 9 0.380 0，

L=896.998 9 1.475 7-1.510 0 0.203 1

0-0.854 0-0.840 6-0.766 0

00 1.452 5-0.455 8

000 0.402 6。

則據(jù)定理2知，存在酉陣：

P1（U）=12UUIU-UI=

12

-0.500 6-0.500 6-0.499 4-0.994 0-0.500 6-0.500 6-0.499 4-0.994 0

0.242 1 0.579 0-0.045 7-0.777 2 0.242 1 0.579 0-0.045 7-0.777 2

-0.790 3 0.310 9 0.526 0-0.045 4-0.790 3 0.310 9 0.526 0-0.045 4

-0.257 3 0.563 5-0.686 9 0.380 0-0.257 3 0.563 5-0.686 9 0.380 0

-0.500 6-0.500 6-0.499 4-0.994 0-0.500 6-0.500 6-0.499 4-0.994 0

0.242 1 0.579 0-0.045 7-0.777 2 0.242 1 0.579 0-0.045 7-0.777 2

-0.790 3 0.310 9 0.526 0-0.045 4-0.790 3 0.310 9 0.526 0-0.045 4

-0.257 3 0.563 5-0.686 9 0.380 0-0.257 3 0.563 5-0.686 9 0.380 0，

使

（A，AI）=

C（A;I）=

U^H（2L，O）P1。

由此可見，這比直接計(jì)算原始像素矩陣（泛列延拓矩陣）（A，AI）的Schur分解簡捷。

4 結(jié)束語

本文探究了泛延拓矩陣的性質(zhì)，尋找到了泛延拓矩陣的Schur分解、正交對角分解、Hermite矩陣分解和Moore-Penrose逆的公式及快速算法，發(fā)現(xiàn)了泛延拓陣與母陣兩者之間的特殊定量關(guān)系，用母陣代替泛延拓陣進(jìn)行Schur分解、正交對角分解、Hermite陣分解及求Moore-Penrose逆，能提高計(jì)算處理速度和運(yùn)行效率，并減少資源占用，還不會(huì)喪失數(shù)值精度。本文推廣了文獻(xiàn)［9］的相關(guān)定理，豐富了文獻(xiàn)［14-15］的研究內(nèi)容，還拓寬了實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域的范圍。還可以研究泛延拓陣的其它性質(zhì)和分解，限于篇幅，此處從略。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] JING Y L，CHEN R M M，WING O.Improving convergence performance of relaxation-based transient analysis by matrix splitting in circuit simulation[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems，Part I，2001，48（6）：769-780.

[2] HAARDT M，NOSSEK J A.Simultaneous Schur decomposition of several nonsymmetric matrices to achieve automatic pairing in multidimensional harmonic retrieval problems[J].IEEE Trans Signal Proc，1998，46（1）：161-169.

[3] VEDRAN S.The hyperbolic Schur decomposition[J].Linear Algebra and its Applications，2014，440（1）：90-100.

[4] 劉萬軍，孫思宇，曲海成.Schur分解的快速零水印算法[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)與探索，2019，12（3）：494-504.

[5] 劉韻佳，趙榮珍，王雪冬.基于Schur分解和正交鄰域保持嵌入算法的故障數(shù)據(jù)集降維方法[J].中國機(jī)械工程，2017，28（21）：2552-2556.

[6] 王曉紅，孫業(yè)強(qiáng).基于QR碼和Schur分解的感興趣區(qū)域水印算法[J].光電子·激光，2017，28（4）：419-426.

[7] 劉凡，楊洪勇，蘇慶堂.基于矩陣Schur分解的彩色圖像盲水印算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2017，34（10）：3085-3089.

[8] 李偉岸，熊祥光，夏道勛.基于Schur分解和混沌置亂的彩色圖像魯棒水印算法[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2021，43（7）：1243-1249.

[9] 袁暉坪.擬行（列）對稱矩陣的Schur分解及正交對角分解[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2019，57（6）：1345-1350.

[10] 劉永輝，田永革.矩陣廣義逆的一個(gè)混合反序律[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，52（1）：197-204.

[11] 鄒紅星，王殿軍，戴瓊海，等.延拓矩陣的奇異值分解[J].科學(xué)通報(bào)，2000，45（14）：1560-1562.

[12] 鄒紅星，王殿軍，戴瓊海，等.行（或列）對稱矩陣的QR分解[J].中國科學(xué)（A輯），2002，32（9）：842-849.

[13] 袁暉坪，米玲.關(guān)于酉對稱矩陣的QR分解的注記[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)2012，36（5）：1073-1074.

[14] 袁暉坪.泛延拓矩陣的奇異值分解[J].電子學(xué)報(bào)，2012，40（8）：1539-1543.

[15] 袁暉坪.泛延拓矩陣的QR分解[J].電子學(xué)報(bào)，2019，47（2）：308-313.

[16] 何靜，袁暉坪.泛延拓矩陣的極分解與擾動(dòng)界[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2023，61（1）：53-60.

[17] BAI Zhongzhi，PAN Jianyu.Matrix Analysis and Computations[M].Philadelphia：Society for Industrial and Applied Mathematics，2021：45-75.

［責(zé)任編輯：張存鳳］

Schur factorization of universal extended matrix and its application

HE Jing， YUAN Huiping

School of Software， Chongqing Finance and Economics College， Chongqing 401320， China

Abstract： Based on the importance of universal extended matrix factorization in the fields of mathematics and image processing， the optimal calculation formula of the Schur factorization， Hermite factorization， orthogonal diagonal factorization and generalized inverse of universal extended matrix are derived by matrix decomposition theory. The results show that this method can reduce the computation and storage without reducing the numerical accuracy. It simplifies the color image blind watermarking algorithm based on universal extended matrix Schur factorization in digital copyright protection field.

Key words： universal extended matrix; Schur factorization; generalized inverse; signal processing; digital watermarking