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    微銑削中考慮時(shí)變切削力系數(shù)的顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)

    2018-02-27 11:14:27王振宇楊慧剛張義民
    振動(dòng)與沖擊 2018年3期
    關(guān)鍵詞:葉瓣刀刃時(shí)變

    劉 宇, 王振宇, 楊慧剛, 張義民

    (1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院, 沈陽(yáng) 110819; 2.菏澤學(xué)院 蔣震機(jī)電工程學(xué)院,山東 菏澤 274015)

    隨著微銑刀加工技術(shù)的不斷提高,微銑削的應(yīng)用領(lǐng)域也越來(lái)越廣,如芯片上的微通道總線,微型燃料電池,微噴頭,光纖微孔等。然而銑削加工過(guò)程中的再生顫振問(wèn)題仍嚴(yán)重制約著機(jī)床的加工效率和工件的加工精度。

    目前顫振預(yù)測(cè)的方法主要有四種:Altintas等[1]提出的定向法,該方法根據(jù)定向系數(shù)將二維銑削動(dòng)力學(xué)參數(shù)定向到切削合力方向,又被稱為準(zhǔn)單自由度法;Altintas等[2]提出的零階近似法,該方法給出了精確計(jì)算時(shí)變切削力的解析表達(dá)式,為精確近似時(shí)變的切削力提供了新的思路;Elbeyli等[3]提出的半離散法和Ding等[4]提出的全離散方法,將切削過(guò)程均分成若干等份,通過(guò)求解延時(shí)微分方程獲得銑削加工的顫振穩(wěn)定性葉瓣圖。此后,研究發(fā)現(xiàn)由于刀具的磨損、材料的分布不均勻、測(cè)量誤差、噪聲干擾、加工環(huán)境的變化、高主軸轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的非線性問(wèn)題以及是否使用冷卻液等,致使實(shí)際加工過(guò)程中切削力系數(shù)、固有頻率等都是不確定參數(shù)[5-6],這些不確定參數(shù)又可根據(jù)是否與時(shí)間有關(guān)分為隨機(jī)參數(shù)和時(shí)變參數(shù)。穩(wěn)定性葉瓣圖對(duì)模態(tài)參數(shù)的變化特別敏感,因此這些參數(shù)的變動(dòng)必然對(duì)顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)產(chǎn)生很大的影響。在上述研究中,所有的方法都將加工系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料切削性能參數(shù)等看作確定性量。

    針對(duì)加工過(guò)程中參數(shù)的隨機(jī)性問(wèn)題,有些學(xué)者提出了包含隨機(jī)參數(shù)的顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)方法。Duncan等首次提出了參數(shù)的不確定性對(duì)穩(wěn)定性葉瓣圖的影響,指出加工過(guò)程中的頻響函數(shù)和切削力系數(shù)都是隨機(jī)參數(shù)。Park等[7]將魯棒穩(wěn)定性引入到顫振預(yù)測(cè)模型中,并將固有頻率和切削力系數(shù)當(dāng)作不確定參數(shù),通過(guò)對(duì)這些參數(shù)取最大最小值并結(jié)合魯棒穩(wěn)定性原理得出顫振穩(wěn)定性葉瓣圖。Sims等[8]將模糊算法引入到顫振預(yù)測(cè)中,用隸屬度表示參數(shù)的變化范圍,并得到模糊穩(wěn)定性葉瓣圖。Totis[9]將概率算法引入車削過(guò)程中,建立了銑削動(dòng)態(tài)不確定模型,分析了系統(tǒng)的顫振魯棒穩(wěn)定性。Liu[10]將動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)的可靠性分析引入車削系統(tǒng)的顫振預(yù)測(cè)中,得到一系列不同可靠度下的顫振穩(wěn)定性葉瓣圖。上述顫振預(yù)測(cè)方法雖然考慮到參數(shù)的隨機(jī)特性,但在其預(yù)測(cè)中都將隨機(jī)參數(shù)都看作時(shí)不變的,并沒(méi)有考慮因刀具磨損導(dǎo)致的刀刃半徑和切削力系數(shù)等參數(shù)的時(shí)變特征。

    刀具磨損是一個(gè)時(shí)變的過(guò)程,因此在其影響下的刀刃半徑和切削力系數(shù)也是時(shí)變的。Li等[11]研究發(fā)現(xiàn)微銑削中刀具的磨損使得刀刃半徑和X,Y,Z方向上的切削力均逐漸增。Karandikar等[12]研究發(fā)現(xiàn)切向切削力和徑向切削力隨刀具磨損量的增加而增加。

    研究表明微銑削中刀刃半徑的大小對(duì)切削力和顫振穩(wěn)定性都有顯著的影響。Bierman等[13]研究表明刀刃半徑的大小對(duì)系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性有顯著的影響。Afazov等[14-15]發(fā)現(xiàn)微銑削中刀刃半徑越大切削力越大,并用非線性方程描述了刀刃半徑與切削力系數(shù)之間的關(guān)系,繪制出了不同刀刃半徑下的穩(wěn)定性葉瓣圖。Jin等[16]建立了包含刀刃半徑的切削力系數(shù)模型,考慮略刀刃半徑對(duì)過(guò)程阻尼的影響進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的顫振穩(wěn)定性葉瓣圖。然而他們只是將刀具的大小當(dāng)作定值忽略了刀具磨損導(dǎo)致的刀刃半徑的隨機(jī)性和時(shí)變問(wèn)題。

    針對(duì)加工參數(shù)的隨機(jī)特性和刀具磨損導(dǎo)致的參數(shù)的時(shí)變問(wèn)題,本文將動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)的時(shí)變可靠性分析思想引入到銑削加工系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性分析中,用伽馬過(guò)程描述刀刃半徑隨切削時(shí)間的變化關(guān)系,進(jìn)而得到了不同切削刻下切削力系數(shù)的大小。建立了顫振時(shí)變穩(wěn)定性和顫振時(shí)變可靠性模型,分析了微銑削加工中的時(shí)變穩(wěn)定性和時(shí)變可靠性并繪制出系統(tǒng)的時(shí)變穩(wěn)定性和時(shí)變可靠度曲線。

    本文的結(jié)構(gòu)如下:第一部分為微銑削的力學(xué)建模,將切削力系數(shù)用含刀刃半徑的方程表示;第二部分為刀具的磨損量建模,用Gamma過(guò)程描述了刀刃半徑隨時(shí)間的變化關(guān)系;第三部分為系統(tǒng)顫振時(shí)變穩(wěn)定性建模與分析與模型簡(jiǎn)化,給出了包含時(shí)間信息的極限切深與顫振可靠度的數(shù)學(xué)表達(dá)式;第四部分建立了系統(tǒng)給的時(shí)變可靠性模型;第五部分為算例研究;第六部分為結(jié)論。

    1 刀刃半徑時(shí)變規(guī)律建模

    Gamma過(guò)程是一個(gè)具有獨(dú)立、非減且時(shí)間和狀態(tài)都是連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程。其增量服從Gamma 分布。由Li等[17-18]的論文可知刀具磨損是一個(gè)典型的連續(xù)時(shí)間、 連續(xù)狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程,并且由于其不可自我修復(fù),因此也是一個(gè)增量非減的過(guò)程,故本文用Gamma過(guò)程來(lái)描述刀具的磨損量與時(shí)間之間的關(guān)系。定義r(t)(其中t的單位為小時(shí))為t時(shí)刻刀刃半徑的增量。由Gamma過(guò)程的定義可知其概率密度函數(shù)為

    (1)

    式中:Ga為Gamma分布函數(shù);Γ為Gamma函數(shù);μ,v(t)分別為伽馬分布中的尺度參數(shù)的倒數(shù)和形狀參數(shù);I(0, ∞)為當(dāng)x∈[0, ∞]時(shí)其值為1, 否則為0的函數(shù)。R(t)的均值和方差分別表示為

    (2)

    Moriwaki等[19]研究表明,期望的劣化值與能量規(guī)律成正比,所以刀刃半徑增量的期望值可以表示為

    (3)

    式中:μ、b和c都是大于零的實(shí)數(shù),可由曲線擬合得到。所以Gamma過(guò)程中的形狀參數(shù)可以表示為

    v(t)=ctb

    (4)

    所以在t時(shí)刻是刀刃半徑的大小可表示為

    (5)

    式中:r0為加工初始時(shí)刻刀刃半徑的大?。籺時(shí)刻是刀刃半徑的均值可表示為

    (6)

    微銑刀磨損前后的形狀如圖1所示。

    圖1(a)為微銑刀整體尺寸,圖1(b)為刀具磨損前的刀刃半徑大小,圖1(c)為磨損后刀刃半徑的大小。

    2 包含刀刃半徑時(shí)變切削力系數(shù)建模

    微銑削中由于切深較小一般在25 μm以下,微銑刀的刀刃半徑一般在3~20 μm[19],因而刀刃半徑的變化直接影響切削力的大小。故,如何精確的建立刀刃半徑與切削力系數(shù)之間的關(guān)系成為了研究刀刃半徑對(duì)加工過(guò)程穩(wěn)定性影響的關(guān)鍵。本文結(jié)合了 Jin等論文中的切削力系數(shù)模型,研究了加工時(shí)間與切削力系數(shù)之間的關(guān)系具體表達(dá)式如下

    (a)(b) (c)

    圖1 微銑刀磨損前后刀刃半徑的變化對(duì)比

    Fig.1 Comparison of cutting edge radius between new and wear tool in micro-milling

    Kt(h,r(t))=αthdt+βthptr(t)qt=

    (7)

    Kr(h,r(t))=αrhdr+βrhprr(t)qr=

    (8)

    式中:Kt,Kr分別為切向切削力系數(shù)和徑向切削力系數(shù);α,β,d,p,q為常數(shù)。本文Deform-2D仿真技術(shù)獲取微切削材料AL6061的切削力,進(jìn)而求取其切削力系數(shù),刀具前角為5°,后角為7°,刀刃半徑r在[1,20] μm內(nèi)變化,切厚h在[0.5, 20]μm內(nèi)變動(dòng),進(jìn)給速度為4.5 μm每刃,其余參數(shù)與Jin等均相同,網(wǎng)格單元尺寸為0.05μm。各參數(shù)擬合后的大小如表1所示。

    表1 切削力系數(shù)的大小

    3 微銑削中顫振時(shí)變穩(wěn)定性建模

    3.1 顫振穩(wěn)定性建模

    如圖2所示,我們將mx,my,kx,ky,cx,cy定義為兩自由度銑削模型在X方向和Y方向上的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼,h表示曲面法向方向的動(dòng)態(tài)切削厚度,h=x(t)-x(t-T),則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下

    (9)

    (10)

    式中:N為銑刀刀刃數(shù);φi為第i個(gè)齒的回轉(zhuǎn)角,F(xiàn)t,i,Fr,i分別為第i個(gè)齒在切向和徑向方向上的分力,其大小可以表示為

    圖2 微銑削力學(xué)模型

    (11)

    Fr,j=KrFt,j

    (12)

    式中:a為軸向切深;將上述公式寫(xiě)成矩陣的形式如下

    (13)

    式中:Kt為切向切削力系數(shù);Δx,Δy分別為X和Y方向上當(dāng)前和上一周期的位移差,即切厚。αxx,αxy,αyx,αyy為平均定向因子,其表達(dá)式分別為

    (14)

    (15)

    (16)

    (17)

    式中:φj為浸入角;φst,φex分別為銑刀的切入角和切出角,槽銑時(shí)其大小分別為0和π。Kn為徑向切削力系數(shù)與切向切削力系數(shù)的比值,具體表達(dá)式如下

    Kn(h,r(t))=Kt(h,r(t))/Kr(h,r(t))

    (18)

    將上述時(shí)變平均定向因子代入式(20)和式(21),然后將代入后的值代入式(19)時(shí)變特征方程,如下所示

    a0(r(t))Δ2+a1(r(t))Δ+1=0

    (19)

    a0(r(t))=φxx(iω)φyy(iω)×

    (αxx(r(t))αyy(r(t))-αxy(r(t))αyx(r(t)))

    (20)

    a1(r(t))=αxx(r(t))φxx(iω)+αyy(r(t))φyy(iω)

    (21)

    式中:φxx,φyy分別為銑削系統(tǒng)在X和Y方向上的頻響函數(shù)。為繪制系統(tǒng)的穩(wěn)定性葉瓣圖我們用切削時(shí)間t處刀刃半徑的均值代替該時(shí)刻的刀刃半徑大小。求解式(19)可得系統(tǒng)的時(shí)變特征值λ(E[r(t)]),及其對(duì)應(yīng)的時(shí)變特征值的實(shí)部Re(λ(E[r(t)]))和虛部Im(λ(E[r(t)]))。則系統(tǒng)在t時(shí)刻的極限切深可表示如下

    (22)

    (23)

    (24)

    3.2 顫振穩(wěn)定性簡(jiǎn)化模型

    為便于計(jì)算微銑削顫振時(shí)變可靠度,我們將Kn看作常數(shù),大小為加工初始時(shí)刻切向切削力和徑向切削力系數(shù)的比值。由式(14)~式(17)可知銑削系統(tǒng)的平均定向因子αxx,αxy,αyx,αyy均為常數(shù),則同一主軸轉(zhuǎn)速在不同切削時(shí)刻下對(duì)應(yīng)的特征值也是固定的,所以系統(tǒng)的極限切深和主軸轉(zhuǎn)速可簡(jiǎn)化為

    (25)

    極限切深對(duì)應(yīng)的主軸轉(zhuǎn)速可表示為

    (26)

    (27)

    為檢驗(yàn)簡(jiǎn)化后的模型精度,本文令Kn的值為0.357 7,并在同一加工條件下選取主軸轉(zhuǎn)速分別為40 000和60 000時(shí)比較了顫振穩(wěn)定性模型化簡(jiǎn)前后其極限切深隨加工時(shí)間的變化,如圖3所示。其不同切削時(shí)刻下極限切深的波動(dòng)大小如表2所示。

    (a)(b)

    圖3 簡(jiǎn)化前后的極限切深對(duì)比

    Fig.3 Comparison between model and simplified model of the limit cut depth

    由圖3和表2可知顫振時(shí)變穩(wěn)定性模型簡(jiǎn)化后對(duì)其極限切深的影響很小,最大波動(dòng)率為4.57%。所以本文在進(jìn)行時(shí)變顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)時(shí)將徑向切削力系數(shù)和切向切削力系數(shù)的比值看作定值。

    表2 模型簡(jiǎn)化前后極限切深的波動(dòng)率

    4 微銑削顫振時(shí)變可靠性建模與計(jì)算

    4.1 顫振時(shí)變穩(wěn)定性建模

    定義銑削加工過(guò)程中當(dāng)軸向切深小于對(duì)應(yīng)主軸轉(zhuǎn)速下的極限切深時(shí)系統(tǒng)可靠,否則不可靠,則系統(tǒng)的功能函數(shù)可以表示為

    g(X)=blim-b0

    (28)

    式中:b0為銑削過(guò)程中加工的軸向切深;g(X)為系統(tǒng)失效的概率密度函數(shù),系統(tǒng)的時(shí)變可靠度可以表示為

    (29)

    式中:XR為積分區(qū)間。定義加工過(guò)程中考慮時(shí)變參數(shù)的顫振可靠性分析為顫振時(shí)變可靠性分析。

    4.2 顫振時(shí)變穩(wěn)定性計(jì)算

    則將式(25)代入式 (28)和式(29)可得包含時(shí)變切削力系數(shù)的功能函數(shù)和顫振時(shí)變可靠度,如式(30)、式(31)所示

    (30)

    (31)

    由式(31)可知,在加工參數(shù)和主軸轉(zhuǎn)速一定時(shí),刀刃半徑的大小是影響系統(tǒng)顫振可靠度大小的唯一因素。由式(7)和式(8)知在加工參數(shù)和主軸轉(zhuǎn)速一定時(shí)系統(tǒng)的切削力系數(shù)隨刀刃半徑的增加而單調(diào)遞增,因此,在加工參數(shù)和主軸轉(zhuǎn)速一定時(shí),刀刃半徑的概率分布直接決定了系統(tǒng)的顫振可靠度,故系統(tǒng)的顫振時(shí)變可靠度可簡(jiǎn)化成如下形式

    (32)

    式中:0~rtb為積分區(qū)間;XR,rtb為給定主軸轉(zhuǎn)速下的極限切深為b0時(shí)對(duì)應(yīng)的刀刃半徑大小。可由式(33)求得。

    (33)

    由于式(33)不存在解析解,故本文采用二分法計(jì)算給定切深和主軸轉(zhuǎn)速下對(duì)應(yīng)的顫振臨界點(diǎn)的刀刃半徑rtb大小。當(dāng)rtb有解時(shí),對(duì)式(32)進(jìn)行定積分可得該時(shí)刻下的顫振可靠度

    (34)

    式中:γ為不完全Gamma函數(shù)具體如式(35)所示

    (35)

    式中:a,z,η為已知量。當(dāng)式(33)無(wú)解時(shí),若在二分法的求解范圍[ra,rb]的端點(diǎn)值大于零則Pr(X)=0,否則Pr(X)=1。

    4.3 給定切深和主軸轉(zhuǎn)速下的極限切深和顫振可靠度曲線

    顫振時(shí)變可靠度是用來(lái)描述加工過(guò)程中不發(fā)生顫振的概率。計(jì)算流程如圖4所示。

    圖4 顫振時(shí)變可靠度流程圖

    在銑削過(guò)程中軸向切深b0主軸轉(zhuǎn)速Ω和進(jìn)給速度υ一定時(shí),將式(6)計(jì)算得到的不同時(shí)刻下的刀刃半徑的均值代入式(9)和式(10)得時(shí)變切削力系數(shù),然后將其先后代入式(14)~式(21)的系統(tǒng)在不同切削時(shí)間下的特征值。然后將其代入式(25)可得t時(shí)刻下的極限切深,由式(26)和式(27)可得對(duì)應(yīng)極限切深下的主軸轉(zhuǎn)速,進(jìn)而可得系統(tǒng)在t時(shí)刻的穩(wěn)定性葉瓣圖。將計(jì)算得到的不同切削時(shí)間下的特征值代入式(33)得到積分上限r(nóng)tb由式(34)可得在給定加工條件下切削時(shí)間為t時(shí)系統(tǒng)的顫振可靠度值。然后以時(shí)間t為橫坐標(biāo),以t時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的可靠度為縱坐標(biāo)畫(huà)圖,得系統(tǒng)在給定切深和主軸轉(zhuǎn)速下的顫振時(shí)變可靠度曲線。

    5 算例研究

    5.1 擬合Gamma過(guò)程參數(shù)

    Gamma過(guò)程中參數(shù)的具體數(shù)值可由數(shù)據(jù)擬合得到。實(shí)驗(yàn)中采用WC/Co材料的不帶涂層的兩刃銑刀,刀刃半徑為3 μm,切削材料為AL6061。主軸轉(zhuǎn)速為65 000 r/min,進(jìn)給速度為4.5 μm每齒,切深為45 μm。 實(shí)驗(yàn)中刀刃半徑與切削時(shí)間的關(guān)系[20]如圖5(a)中的圓點(diǎn)所示。我們通過(guò)數(shù)據(jù)擬合方式獲得刀刃半徑的Gamma過(guò)程的模型參數(shù),并繪制了刀刃半徑在不同切削時(shí)刻下的Gamma分布和均值,如圖5(a)中各時(shí)刻對(duì)應(yīng)的曲線和方塊所示。其中“方塊”在“圓”和“三角形”中間,如圖5(a)中局部放大的部分。圖5(b) 為Gamma過(guò)程預(yù)測(cè)的刀刃半徑在不同切削時(shí)刻下的標(biāo)準(zhǔn)差。

    (a)(b)

    圖5 刀刃半徑的擬合結(jié)果

    Fig.5 Fitting results of cutting edge radius

    Gamma過(guò)程的擬合參數(shù)大小如表3所示。

    表3 Gamma過(guò)程擬合參數(shù)

    5.2 微銑削加工過(guò)程中顫振時(shí)變穩(wěn)定性預(yù)測(cè)

    本文選用超精密立式數(shù)控銑床(Kern Micro 2255) 進(jìn)行銑削加工的顫振穩(wěn)定性研究,該銑削加工系統(tǒng)的刀尖點(diǎn)模態(tài)參數(shù)[21]如表4所示。

    由式(25)~式(27)可得系統(tǒng)在不同切削時(shí)間下的顫振穩(wěn)定性葉瓣圖如圖6所示。圖6顯示隨著切削時(shí)間的增加其葉瓣圖逐漸降低。

    表4 銑削系統(tǒng)的刀尖點(diǎn)模態(tài)參數(shù)

    5.3 計(jì)算給定切深和主軸轉(zhuǎn)速下的系統(tǒng)顫振時(shí)變可靠度

    圖7分別比較了顫振時(shí)變可靠度與刀刃半徑和極限切深隨切削時(shí)間的變化關(guān)系,圖7(a)顯示隨著切削時(shí)間的增加系統(tǒng)的刀刃半徑逐漸增加,系統(tǒng)的顫振可靠度逐漸降低。圖7(b)中顯示隨著切削時(shí)間的增加系統(tǒng)的極限切深和顫振可靠度均逐漸降低。

    圖6 不同加工時(shí)刻下的穩(wěn)定性葉瓣 Fig.6 Time-varyingchatterstabilitylobediagram(a)(b) 圖7 顫振可靠度與刀刃半徑和極限切深隨切削時(shí)間的對(duì)比關(guān)系 Fig.7 Therelationshipbetweenreliabilityandtooledgeradius,criticaldepthwithcuttingtime

    6 結(jié) 論

    微銑削加工過(guò)程由于刀具的尺寸小,主軸轉(zhuǎn)速高使得加工過(guò)程中道具磨損較快。而刀具磨損使得刀刃半徑和切削力系數(shù)隨加工時(shí)間明顯增加,進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生很大的影響,使得傳統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)方法很快失效。本文提出的顫振時(shí)變穩(wěn)定性預(yù)測(cè)和時(shí)變可靠性分析方法將刀具磨損的影響考慮到顫振穩(wěn)定性預(yù)測(cè)中。在不同的加工時(shí)刻上獲得了不同的葉瓣圖。并在給定切深和主軸轉(zhuǎn)速的情況下給出了系統(tǒng)的極限切深和顫振可靠度隨切削時(shí)間的變化關(guān)系,使得顫振預(yù)測(cè)的結(jié)果能夠準(zhǔn)確的反應(yīng)不同加工時(shí)間上的顫振穩(wěn)定性。

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