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    基于GARCH-POT-VaR模型的社保基金投資尾部風(fēng)險測度研究

    2024-12-16 00:00:00陳國棟王家琪
    中國證券期貨 2024年6期

    摘要:社?;鹱鳛榻鉀Q我國老齡化問題的重要保障基金,近五年投資收益波動較大,如何準(zhǔn)確度量社?;鹜顿Y尾部風(fēng)險是提高社?;鹜顿Y安全性的重要問題。在考慮到收益率序列波動特征的基礎(chǔ)上,本文提出以GARCH族模型刻畫收益率序列波動性特征,POT模型處理極端尾部數(shù)據(jù),構(gòu)建三種金融市場尾部風(fēng)險度量模型:ARMA-GARCH-POT、ARMA-EGARCH-POT和ARMA-GJRGARCH-POT,將其應(yīng)用于風(fēng)險價值VaR的動態(tài)測度。在極值POT模型構(gòu)建時采用AU2統(tǒng)計量確定閾值,W2和A2統(tǒng)計量進(jìn)行尾部擬合優(yōu)度檢驗,避免了主觀性。最后對VaR進(jìn)行測度及回測,結(jié)果表明:傳統(tǒng)GARCH-VaR模型會低估極端尾部風(fēng)險,結(jié)合POT模型的GARCH類模型對動態(tài)VaR的測度效果更為準(zhǔn)確,且各模型在990%置信水平下能夠更加準(zhǔn)確地量化股市收益率尾部風(fēng)險。

    關(guān)鍵詞:社?;?;尾部風(fēng)險測度;ARMA-GARCH族模型;極值理論;VaR

    一、引言與文獻(xiàn)綜述

    隨著我國老齡化程度逐漸加深,全國社會保障基金(以下簡稱“社?;稹保┰诮鉀Q老齡化問題中的作用將越來越重要。社?;饛?000年8月設(shè)立之初的資產(chǎn)總額80509億元到2022年年末的基金資產(chǎn)總額2883521億元,同比增長約35倍①。在合理風(fēng)險范圍內(nèi)實現(xiàn)龐大資金規(guī)模的保值、增值顯得十分重要,一旦投資不慎,則會造成大面積的經(jīng)濟(jì)危害。此外,由全國社?;鹄硎聲迥昱兜臄?shù)據(jù)來看,2018—2022年投資收益率分別為-228%、1406%、1584%、427%、-507%②,收益率波動較大,且有兩年出現(xiàn)負(fù)收益率的情況,社保基金投資面臨的風(fēng)險較大。因此,要對社?;鹜顿Y風(fēng)險進(jìn)行有效的管控,其投資風(fēng)險測度的研究刻不容緩。

    社保基金投資收益的異常波動往往會使投資者遭受重大損失,因而對資產(chǎn)收益率的尾部風(fēng)險進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫與預(yù)測,將有助于金融管理者規(guī)避市場風(fēng)險。當(dāng)前,風(fēng)險價值(VaR)是常用的金融風(fēng)險度量工具,VaR的傳統(tǒng)估計方法(蒙特卡洛模擬法、方差-協(xié)方差法、歷史模擬法)通常假定資產(chǎn)收益率序列為正態(tài)分布。然而,金融資產(chǎn)收益率序列數(shù)據(jù)通常具有尖峰厚尾特性,這意味著傳統(tǒng)方法估計的VaR會低估尾部風(fēng)險,即會忽略由極值事件引發(fā)的極端風(fēng)險,使風(fēng)險估計結(jié)果不精準(zhǔn)。極值理論是研究隨機(jī)過程產(chǎn)生極大值或極小值分布及其特征的方法,其著重對隨機(jī)過程的尾部進(jìn)行建模,且極值理論可以在總體分布未知的情況下,依靠樣本數(shù)據(jù)外推得到總體極值的變化性質(zhì),克服了傳統(tǒng)統(tǒng)計方法不能超越歷史樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行風(fēng)險預(yù)測的問題。將極值理論引入金融風(fēng)險度量,可利用其對厚尾估計的優(yōu)勢修正VaR因正態(tài)分布假設(shè)不足所導(dǎo)致的尾部風(fēng)險低估問題,及其不能越過樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的局限性。此外,資產(chǎn)收益率序列除具有尖峰厚尾特征外,往往還會伴隨著一定的自相關(guān)性和波動聚集現(xiàn)象,GARCH族波動率模型可以很好地過濾收益率序列中的自相關(guān)性和條件異方差性。因此,波動率模型與極值理論相結(jié)合可以更好地模擬金融時間序列,進(jìn)行尾部風(fēng)險的度量,在此理論框架下構(gòu)建模型并求出相應(yīng)的VaR將更具現(xiàn)實意義。

    使用波動率模型和極值理論在金融領(lǐng)域做風(fēng)險測度實證研究一直是熱點。McNeil和Frey(2000)首次使用極值理論(EVT)來估計條件異方差GARCH模型信息分布的尾部,研究表明將GARCH模型和POT模型相結(jié)合估計的VaR和預(yù)期損失(ES)效果更好。我國學(xué)者陳守東等(2007)以上證指數(shù)為研究對象,采用GARCH-EVT估計得到了相對于靜態(tài)指標(biāo)更好的收益率序列的動態(tài)VaR和ES。蔣晶晶等(2015)使用GARCH-EVT-VaR和GARCH-VaR模型對歐盟碳市場風(fēng)險進(jìn)行計量,并對模型計量結(jié)果后檢驗,對比分析證明了GARCH-EVT-VaR模型可以更加精確地對碳市場中的風(fēng)險進(jìn)行計量,為未來可能發(fā)生的極端事件做好準(zhǔn)備。胡根華(2019)構(gòu)建GJRGARCH-EVT模型,擬合中國與東盟主要國家股市收益率序列的邊緣分布,證明了“一帶一路”倡議的實施具有一定的風(fēng)險規(guī)避功能。梁媛和高彩霞(2018)建立ARMA-EGARCH-EVT、ARMA-TGARCH-EVT兩個風(fēng)險度量模型,以蘋果公司股票數(shù)據(jù)為分析對象,結(jié)果表明兩個模型都可以很好地捕捉尾部風(fēng)險。極值理論常用模型為POT模型,該模型的核心是選取一個合理的閾值,閾值的選擇決定了模型形狀參數(shù)和風(fēng)險價值估計的準(zhǔn)確性,然而對于閾值的選取至今未形成一個統(tǒng)一的方法。當(dāng)前閾值選取的常見方法主要有圖解法、Hill統(tǒng)計量法和基于Cramér-von統(tǒng)計量W2、Anderson-Darling統(tǒng)計量A2的GPD模型檢驗方法,但這些方法都具有一定的缺陷,國內(nèi)學(xué)者在閾值選取方法上進(jìn)行創(chuàng)新的成果較少。楊青等(2010)嘗試使用平均超出量函數(shù)圖結(jié)合Hill圖法確定CVaR-EVT模型閾值,但圖解法和Hill統(tǒng)計量法在實際應(yīng)用中受主觀因素影響較大;顧云等(2022)將HillPlot圖形法與W2、A2統(tǒng)計量結(jié)合交叉驗證確定最優(yōu)閾值,并與傳統(tǒng)確定閾值方法相比較,在一定程度上避免了選取閾值時的主觀性。由混合權(quán)重函數(shù)構(gòu)建的W2、A2統(tǒng)計量會阻礙對分布函數(shù)一側(cè)尾部的單獨研究,因此在構(gòu)建尾部擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量時,需要對分布函數(shù)的上尾或下尾差異進(jìn)行分配權(quán)重。為此,Hoffmann和Brner(2018)使用AU2統(tǒng)計量,并提出了一種不需要制定任何參數(shù)規(guī)范來分離所需子集的程序,以MSCI指數(shù)為分析對象,有效地確定了一個將未知底分布劃分為主體和尾部區(qū)域的閾值。

    通過對以上文獻(xiàn)分析可以發(fā)現(xiàn),將極值理論與GARCH族模型相結(jié)合的混合模型可以提高對資產(chǎn)收益率序列尾部風(fēng)險的計量精度,但不同類型的GARCH模型與極值理論相結(jié)合對尾部風(fēng)險的刻畫不盡相同,將不同類型的GARCH-EVT模型對資產(chǎn)收益率序列的尾部風(fēng)險模擬情況進(jìn)行比較的實證分析不多。此外,當(dāng)前對極值模型閾值的選取大都還停留在傳統(tǒng)方法上,不可避免地會受到主觀性的影響,風(fēng)險測度結(jié)果不夠準(zhǔn)確。因此,本文考慮標(biāo)準(zhǔn)GARCH和非對稱GARCH模型與極值理論相結(jié)合,并采用基于AU2統(tǒng)計量的擬合優(yōu)度檢驗法確定極值模型閾值,對比分析不同模型得到的VaR值并進(jìn)行回測檢驗,為我國社?;鹜顿Y風(fēng)險測度提供方法借鑒,豐富現(xiàn)有文獻(xiàn)研究結(jié)果。

    二、模型及風(fēng)險計量指標(biāo)介紹

    (一)ARMA-GARCH族模型

    通常情況下,資產(chǎn)收益率序列具有尖峰厚尾特性,并伴隨著一定的自相關(guān)性和條件異方差性,為消除這些特性,可采用ARMA模型修正自相關(guān),GARCH模型修正條件異方差。下式給出了ARMA(p,q)-GARCH(m,n)的一般形式:

    rt=c+∑pi=1αirt-i+∑qj=1βjet-j+et(1)

    et=σtεt(2)

    σ2t=ω+∑mi=1φie2t-i+∑nj=1θiσ2t-j(3)

    式(1)為均值方程,刻畫ARMA(p,q)過程,t代表時間,r表示收益率,c代表均值方程的截距項,et代表隨機(jī)擾動項,αi為自回歸項系數(shù),表示滯后i期的收益率對當(dāng)前收益率的影響,βj為移動平均項系數(shù),表示滯后j期的殘差對當(dāng)前收益率的影響。式(2)描述了殘差項,σt為條件方差,εt是一個白噪聲過程。式(3)為方差方程,ω為常數(shù)項,φ、θ分別表示ARCH系數(shù)和GARCH系數(shù)。

    經(jīng)ARMA-GARCH模型過濾后可得到條件均值μt和條件方差σt,進(jìn)而得到標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列{zt},zt是近似服從均值為0、方差為1的獨立同分布的隨機(jī)變量:

    (zt-q+1,…,zt)=rt-q+1-μt-q+1σt-q+1,…,rt-μtσt

    =et-q+1σt-q+1,…,etσt(4)

    對于GARCH族模型,其定階比較困難,不少研究表明m、n取值都為1的GARCH模型,一方面具有很好的擬合性;另一方面在金融上的應(yīng)用更為廣泛,而且符合計量模型簡約性的要求。因此,我們通常直接建立GARCH(1,1)模型。此外,由于GARCH模型不能刻畫收益率序列的杠桿效應(yīng),下面再介紹兩種能描述收益率非對稱性的EGARCH和GJRGARCH模型。

    為了克服GARCH模型的某些缺陷,Nelson于1991年提出了EGARCH模型,ARMA(p,q)-EGARCH(1,1)模型形式表示為

    rt=c+∑pi=1αirt-i+∑qj=1βjet-j+et(5)

    et=σtεt(6)

    lnσ2t=ω+φet-1σt-1-Eet-1σt-1+λet-1σt-1+θlnσ2t-1(7)

    其中,在εt近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下,E(εt)=2π,通過引入杠桿系數(shù)λ,波動率對正值和負(fù)值的et-1反應(yīng)不同,負(fù)的et-1對波動率的貢獻(xiàn)為(φ-λ)et-1/σt-1,正的et-1對波動率的貢獻(xiàn)為(φ+λ)et-1/σt-1。所以當(dāng)λ小于0且顯著時,負(fù)收益對條件方差的影響要大于正收益,即刻畫了金融市場資產(chǎn)收益率對波動率影響的杠桿效應(yīng),反之則存在反杠桿效應(yīng)。

    另一個常用來處理非對稱效應(yīng)的波動率模型為門限GARCH(TGARCH)模型,又稱為GJRGARCH模型,由Glosten、Jagannathan和Runkle提出。ARMA(p,q)-GJR-GARCH(1,1)模型形式表示為

    rt=c+∑pi=1αirt-i+∑qj=1βjet-j+et(8)

    et=σtεt(9)

    σ2t=ω+(φ+λdt-1)e2t-1+θσ2t-1(10)

    其中,dt-1是虛擬變量;參數(shù)λ大于0時,若et-1<0,dt-1=1,若et-1>0,dt-1=0。從模型可以看出,負(fù)的et-1對波動率的貢獻(xiàn)(φ+λ)e2t-1大于正的et-1對波動率的貢獻(xiàn)φe2t-1。同樣,參數(shù)λ的顯著性可以判斷非對稱效應(yīng)的存在。

    (二)極值理論POT模型

    極值模型包括BMM模型(區(qū)間極值模型)和POT模型(閾值模型),但是BMM模型可能會忽略掉一些包含豐富信息的數(shù)據(jù),其有效性不充分。POT模型是一種對樣本中超過某一閾值的所有數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的方法,對樣本中所有超過閾值的數(shù)據(jù)利用廣義Pareto分布(GPD)進(jìn)行擬合。不少研究表明,POT模型適用于刻畫極端風(fēng)險,對擬合厚尾分布具有較好效果。因此,本文采用極值POT模型描述股市收益率尾部風(fēng)險。經(jīng)由ARMA-GARCH模型過濾得到的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列{zt}近似為獨立同分布時,對某一足夠大的閾值u,可假設(shè)超出量(Xt=zt-u)近似服從GPD分布:

    G(x;ξ,β)=1-1+ξxβ-1/ξ,ξ≠01-exp(-xβ),ξ=0(11)

    其中,ξ、β分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù),當(dāng)ξ≥0時,x≥0,當(dāng)ξ<0時,0≤x≤-β/ξ。形狀參數(shù)ξ決定了分布尾部的厚度,ξ越大尾部越厚,相反尾部越薄。

    假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列的總體分布函數(shù)是F(z),總體分布函數(shù)通常情況下未知,超出量Xt的分布函數(shù)記為Fu(x),由條件概率公式推導(dǎo)可得到總體分布函數(shù)表達(dá)式:

    F(z)=(1-F(u))×Fu(x)+F(u)(12)

    對于選取的閾值u,在樣本總量n中超過閾值u的個數(shù)記為Nu,則F(u)可以近似表示為

    F~(u)=n-Nun(13)

    再將G(x;ξ,β)代替Fu(x),即可得到總體分布F(z)表達(dá)式:

    F(z)=1-Nun1+ξxβ-1/ξ,ξ≠01-Nunexp-xβ,ξ=0(14)

    (三)POT模型閾值選取方法

    POT模型建立的核心是選取合適的閾值,選取的閾值是否恰當(dāng)會影響到風(fēng)險指標(biāo)估計結(jié)果的精準(zhǔn)度。目前有學(xué)者嘗試使用由加權(quán)均方誤差構(gòu)建的Cramér-von統(tǒng)計量W2、Anderson-Darling統(tǒng)計量A2來確定閾值,但W2、A2統(tǒng)計量的權(quán)重函數(shù)對分布的上尾和下尾進(jìn)行相同程度的加權(quán),不利于對分布的一側(cè)尾部進(jìn)行單獨研究。Brner和Hoffmann提出建議使用AU2上尾檢驗統(tǒng)計量或AL2下尾檢驗統(tǒng)計量來有效確定閾值,后續(xù)又通過對一攬子加密貨幣收益率尾部數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,能夠有效度量尾部風(fēng)險。

    考慮加權(quán)均方誤差Rn來衡量模擬分布G(x)與經(jīng)驗累積分布函數(shù)Fn(x)之間的差異,如式(15)所示,其中w(t)為非負(fù)權(quán)重函數(shù),a、b代表應(yīng)力參數(shù),分別影響下尾權(quán)重和上尾權(quán)重。當(dāng)a=b=0時,Rn代表著W2統(tǒng)計量;當(dāng)a=b=1時,Rn代表著A2統(tǒng)計量;當(dāng)a=1,b=0時,為AL2下尾統(tǒng)計量;當(dāng)a=0,b=1時,為AU2上尾統(tǒng)計量,見式(16)。由于需要對收益率的極端損失數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,對隨機(jī)變量z做坐標(biāo)變換y=-z,隨機(jī)變量z分布的下尾分析可以在坐標(biāo)變換后,通過使用隨機(jī)變量y的上尾統(tǒng)計量來執(zhí)行,因此本文只考慮AU2統(tǒng)計量。

    Rn=n∫+∞-∞(Fn(x)-G(x))2w(G(x))dG(x)w(t)=1ta(1-t)bt∈[0,1],a≥0,b≥0(15)

    Rn,0,1=12n-∑ni=1[2G(xi)+2(n-i)+1nln(1-G(xi)](16)

    基于上尾檢驗統(tǒng)計量AU2的擬合優(yōu)度檢驗法來確定極值模型閾值的自動化建模過程步驟如下:

    (1)對從未知分布中隨機(jī)抽取的數(shù)據(jù)樣本按照y(1)>y(2)>…>y(n)降序排列;

    (2)設(shè)k=2,…,n,并對每個k求出相應(yīng)的G(x;ξ,β)的參數(shù)估計值ξ^、β^;

    (3)對于每個i=1,…,k,由式(11)計算相應(yīng)概率G(xi;ξ^,β^),并代入式(16)確定統(tǒng)計量AU2k;

    (4)找到使AU2k取得最小值時對應(yīng)的索引值k*。

    通過以上步驟可以找到最優(yōu)閾值u^=yk*,并且未知底分部的尾部模型G(x;ξ^k*,β^k*)由樣本子集y(1)>y(2)>…>y(k*)估計確定。

    (四)風(fēng)險測度指標(biāo)構(gòu)建

    風(fēng)險價值(VaR)的定義為資產(chǎn)在置信水平q下,其在未來一段時間內(nèi)的最大可能損失,其實質(zhì)是某一置信水平下的高分位數(shù)。下面給出ARMA-GARCH族模型下VaR的估計表達(dá)式,在假定收益率近似服從正態(tài)分布下,收益率序列{rt}的VaRtq與殘差序列{zt}的VaRq的關(guān)系為

    VaRt+1q=μt+1+σt+1VaRq(17)

    其中,VaRq=F-1z(q)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的q分位數(shù)。

    同理,對于給定置信度q,由式(14)可得POT模型下的VaR估計表達(dá)式:

    VaRq=F-1z(q)=u+(nNu(1-q)-ξ^-1)(18)

    結(jié)合波動率模型,可得到基于ARMA-GARCH族模型和POT模型下構(gòu)建的動態(tài)VaR估計表達(dá)式:

    VaRt+1q=μt+1+σt+1u+(nNu(1-q)-ξ^-1)(19)

    (五)VaR回測分析

    對于模型得到VaR估計值,使用Kupiec(1995)提出的似然比檢驗進(jìn)行回測分析,其核心思想是當(dāng)實際損失大于VaR估計值時,則該VaR值沒有有效衡量資產(chǎn)在持有期的預(yù)期最大損失,即估計失敗。記T為實際考察天數(shù),失敗次數(shù)為N,p=N/T為實際失敗率。期望失敗率記為p*=1-q,期望失敗率與實際失敗率越接近,估計的VaR越準(zhǔn)確。構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量LR如下:

    LR=-2ln((1-p*)T-Np*N)+2ln((1-N/T)T-N(N/T)N)~χ2(1)(20)

    假設(shè)在95%置信水平下,自由度為1的卡方分布臨界值為3841,若在95%置信水平下計算的LR統(tǒng)計量小于3841,即認(rèn)為此時VaR值有效,模型適用。

    三、實證分析

    (一)數(shù)據(jù)樣本選取及分析

    我國社?;鹜顿Y以往集中于銀行存款、國債等低風(fēng)險、低收益產(chǎn)品,這也限制了社?;鸬谋V?、增值能力。因此,近些年社?;鹪谥饾u增加對股市的投資比例。社?;鹜顿Y股市可以提高收益率,但鑒于我國資本市場尚不成熟,基金入市也面臨較大風(fēng)險。本文以上證指數(shù)為例,對社?;鹜顿Y風(fēng)險進(jìn)行刻畫,樣本數(shù)據(jù)來源于WIND數(shù)據(jù)庫,數(shù)據(jù)處理及分析借助SPSS260、MATLABR2021b完成。

    選取上證指數(shù)2013年1月4日至2023年7月28日共2569個交易日收盤價為研究對象,由于樣本時間跨度較長,且該時期出現(xiàn)了影響股市的極端事件,這將有利于提取收益率序列的尾部風(fēng)險信息。使用收益率公式rt+1=lnpt+1-lnpt,對原始收盤價做對數(shù)收益率處理,能夠剔除時間序列數(shù)據(jù)中的趨勢項成分,使處理后的數(shù)據(jù)更具平穩(wěn)性原始收盤價有2569個數(shù)據(jù),進(jìn)行對數(shù)處理后得到2568個數(shù)據(jù)。。其中pt表示股票在第t個交易日的收盤價,rt為對數(shù)收益率,圖1給出了樣本對數(shù)收益率的時間序列。

    圖1樣本容量為2568的上證指數(shù)收益率序列

    由圖1可以初步判斷該收益率序列圍繞0上下波動,大致為平穩(wěn)序列。收益率伴隨著明顯的波動聚集性,即大波動后緊跟著大波動,小波動后緊跟著小波動。此外,該收益率序列波動對正收益和負(fù)收益的反應(yīng)不一致,即可能存在非對稱效應(yīng)。一些觀測值區(qū)間波動較大,如第700個觀測值到第1000個觀測值,這可能是受一些極端事件的影響所致。綜上,初步判斷該收益率序列大致吻合GARCH族模型建模特征。

    對該收益率序列的統(tǒng)計特性、相關(guān)檢驗進(jìn)行進(jìn)一步分析,結(jié)果如表1所示。從均值計算結(jié)果來看,上證指數(shù)收益率偏低,由標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果來看,該收益率序列波動較大,符合股票市場高風(fēng)險、高收益的特征。偏度系數(shù)06411大于0,屬于右偏分布,說明收益率序列是非對稱的。峰度系數(shù)286101遠(yuǎn)大于正態(tài)分布的峰值3,J-B檢驗結(jié)果在1%顯著性水平下能夠認(rèn)為該序列不服從正態(tài)分布,再由對數(shù)收益率序列Q-Q圖(圖2)可知,尾部樣本點明顯偏離直線,說明該收益率分布函數(shù)尾部相較于正態(tài)分布尾部具有厚尾特性。由自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)圖(圖3)可知,對數(shù)收益率序列存在明顯自相關(guān)性。最后,對收益率序列做平穩(wěn)性檢驗可知,ADF檢驗t統(tǒng)計量在1%顯著性水平下接受原假設(shè),即該序列平穩(wěn),可做時間序列分析。

    (二)ARMA-GARCH類模型構(gòu)建及樣本過濾

    首先構(gòu)建ARMA模型描述該時間序列的變化趨勢,模型階數(shù)由自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)及結(jié)合AIC、BIC信息準(zhǔn)則確定,最終選擇構(gòu)建ARMA(3,6)模型作為均值方程,模型參數(shù)估計如表2所示,參數(shù)估計結(jié)果均在1%顯著性水平下顯著。

    對ARMA(3,6)模型殘差項et分別做滯后5、10、15階的Ljung-Box相關(guān)性檢驗,檢驗結(jié)果如表3所示,可知ARMA(3,6)模型對該時間序列模擬較好,殘差序列不存在自相關(guān)性。ARMA模型通常假定殘差項服從白噪聲過程,即殘差項的方差是一個常數(shù),所以ARMA模型只能消除收益率序列的自相關(guān)性,還需要建立GARCH模型消除收益率序列的異方差性。首先對殘差平方項e2t做拉格朗日乘數(shù)LM-ARCH檢驗,確保該序列適合使用GARCH模型進(jìn)行刻畫,輔助線性回歸模型滯后階數(shù)為5,檢驗結(jié)果如表3所示,可知收益率序列存在ARCH效應(yīng),可以構(gòu)建GARCH模型。

    由于GARCH模型不能夠刻畫收益率序列的非對稱效應(yīng),即收益的上漲或下跌會非對稱地影響隨后的波動。因此,本文繼續(xù)構(gòu)建ARMA(3,6)-EGARCH(1,1)、ARMA(3,6)-GJRGARCH(1,1)模型進(jìn)一步來刻畫收益率的非對稱效應(yīng)。從表6參數(shù)估計結(jié)果可以看到,EGARCH模型杠桿系數(shù)λ大于0且顯著,正收益對波動性帶來087倍的影響要大于負(fù)收益對波動①在ARMA模型和GARCH模型之間存在相關(guān)性或者相互影響的情況下,即使某些ARMA模型參數(shù)不顯著,GARCH模型可能仍然需要這些參數(shù)來更好地捕捉數(shù)據(jù)的特征,不顯著的參數(shù)表4不再列出。

    性帶來078倍的影響,表明收益率序列存在反杠桿效應(yīng)。GJRGARCH模型的杠桿系數(shù)λ大于0且顯著,正收益對波動性帶來016倍的影響要小于負(fù)收益對波動性帶來053倍的影響,說明收益率序列存在杠桿效應(yīng)。兩個模型均證明該收益率序列存在顯著的非對稱效應(yīng),但得到非對稱結(jié)果相反。Ljung-Box檢驗、K-S檢驗結(jié)果證明在5%顯著性水平下兩模型均擬合效果良好且過濾后的標(biāo)準(zhǔn)化殘差為白噪聲。

    為進(jìn)一步對模型擬合效果進(jìn)行評價,使用赤池信息準(zhǔn)則(AIC)、貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)及對數(shù)似然函數(shù)值對三種模型進(jìn)行評價。AIC、BIC越小,對數(shù)似然函數(shù)值越大,代表模型擬合效果越好,即模型所預(yù)測出的結(jié)果更符合實際數(shù)據(jù)。由表7可知,非對稱類模型各指標(biāo)評價要優(yōu)于對稱GARCH模型,表明考慮到收益率序列非對稱特性的GARCH模型對數(shù)據(jù)擬合效果會更好。此外,EGARCH模型擬合效果要優(yōu)于GJRGARCH模型,因此我們更傾向于認(rèn)為該收益率序列存在反杠桿效應(yīng)。

    (三)POT模型及最優(yōu)閾值構(gòu)建

    極值POT模型是對超過某一閾值的觀測值使用廣義Pareto分布進(jìn)行擬合,因此在POT模型中,閾值的選取極為重要,其將直接影響到模型對收益率序列尾部數(shù)據(jù)的擬合程度。對于經(jīng)由ARMA-GARCH族模型過濾得到的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列{zt},采用AU2統(tǒng)計量確定閾值u,同時使用W2、A2統(tǒng)計量檢驗極值POT模型擬合優(yōu)度。表8給出了三種模型在AU2取得最小值時的POT模型相關(guān)參數(shù)估計量,從形狀參數(shù)ξ來看,參數(shù)值均大于0,說明樣本數(shù)據(jù)表現(xiàn)出比正態(tài)分布尾部更厚的特征,與描述性分析結(jié)果一致。此外,三種模型的AU2、W2、A2統(tǒng)計量檢驗均在5%顯著性水平下通過擬合優(yōu)度檢驗。

    以GARCH-POT模型為例,圖4左圖給出了AU2統(tǒng)計量隨尾部樣本量k的增加及其P值變化情況,右圖為在AU2統(tǒng)計量最小值附近,包括W2、A2統(tǒng)計量在內(nèi)及其相應(yīng)p值的擴(kuò)大圖??梢钥吹?,GARCH-POT、EGARCH-POT、GJRGARCH-POT模型分別在k=199、k=188、k=431處AU2達(dá)到了最小值,此時的閾值代表著最佳閾值,同時,在此區(qū)域附近AU2、W2、A2統(tǒng)計量幾乎都達(dá)到了最小,相應(yīng)P值均很高,表明構(gòu)建的POT模型對尾部數(shù)據(jù)擬合質(zhì)量足夠高。根據(jù)經(jīng)驗法則,超出閾值的樣本數(shù)量應(yīng)占據(jù)總樣本數(shù)量的10%~15%,本文由AU2統(tǒng)計量確定三種模型的尾部樣本數(shù)據(jù)占比分別為78%、73%、168%,如果使用AU2統(tǒng)計量確定閾值的方法是錯誤的,那么W2、A2統(tǒng)計檢驗應(yīng)該會拒絕閾值范圍內(nèi)的廣義Pareto分布,而檢驗結(jié)果顯示三種模型在各自選定閾值下的擬合優(yōu)度較好,這說明最優(yōu)尾部長度與數(shù)據(jù)總量之間并不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系,使用AU2統(tǒng)計量能夠避免主觀因素的影響且有效確定閾值。

    圖5給出了數(shù)據(jù)的經(jīng)驗累積分布函數(shù),以GARCH-POT模型為例,經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)在u=y(199)=06961處分離出尾部區(qū)域,內(nèi)圖顯示了GPD分布作為

    尾部模型和經(jīng)驗分布函數(shù)尾部區(qū)域的比較,以及給出了金融機(jī)構(gòu)風(fēng)險評估中常用置信水平950%、99%、999%下的高分位數(shù)比較。可以看到由ARMA-GARCH、ARMA-EGARCHT和ARMA-GJRGARCH模型得到的標(biāo)準(zhǔn)化殘差尾部經(jīng)驗累積分布與GPD分布表現(xiàn)基本一致,因此可以使用POT模型進(jìn)行VaR法的尾部風(fēng)險測度。

    (四)VaR測度及回測分析

    首先利用GARCH類模型對收益率序列樣本觀測日期內(nèi)三種置信水平下的VaR進(jìn)行風(fēng)險測度,根據(jù)前文得到的GARCH類模型遞推得到每天的條件方差和條件均值,在標(biāo)準(zhǔn)化殘差近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下,計算相應(yīng)分位數(shù),代入式(17)計算每一天的VaR值,回測分析結(jié)果如表9所示。可知,只有EGARCH-VaR

    模型在99%置信水平下的VaR值通過了回測檢驗,其余模型在較高置信水平下(990%、999%)會低估風(fēng)險,表明傳統(tǒng)GARCH-VaR模型對厚尾特征下的資產(chǎn)收益率序列尾部風(fēng)險估計精度不高。

    將POT模型估計參數(shù)代入式(18)得到置信水平分別為950%、990%、999%下的VaR估計值,三種模型估計的尾部風(fēng)險計量結(jié)果如表10所示。初步可知,隨著置信水平的提高,模型對VaR的估計越來越高。由POT模型估計得到的VaR只是一個靜態(tài)測度值,靜態(tài)VaR沒有考慮波動率的時變特性,其在整個時間段內(nèi)都是靜止不變的,在測算上會存在較大的誤差。動態(tài)VaR結(jié)合了波動率的時變性,下一個時間點的波動性根據(jù)上一個時間點的波動性進(jìn)行預(yù)測,整個時期中波動性并不是固定的,因此在預(yù)測精度、時效性等方面都是靜態(tài)風(fēng)險值所無法比擬的。

    結(jié)合上述結(jié)果,進(jìn)一步利用式(19)測算2568個交易日上證指數(shù)的動態(tài)風(fēng)險價值,三種模型及對應(yīng)不同置信水平下的動態(tài)VaR值如圖6所示,并對計量結(jié)果進(jìn)行失敗率回測檢驗,結(jié)果見表11。從圖6來看,三種模型得出的VaR大體上都能刻畫收益率序列的波動聚集特性,結(jié)合表11中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到以下結(jié)論:

    (1)在風(fēng)險測度方法上,GARCH-POT-VaR模型對收益率序列尾部風(fēng)險的測度效果與傳統(tǒng)GARCH-VaR模型相比有較大提升。這表明將波動率GARCH類模型與極值理論相結(jié)合,不僅能夠?qū)κ找媛市蛄械牟▌有浴⒎菍ΨQ性等特征進(jìn)行刻畫,還能夠?qū)ξ膊繑?shù)據(jù)特征較好的擬合,得到的VaR值更貼近實際損失。

    (2)三種模型在三種置信水平下均通過了失敗率檢驗,三種模型測度效果并沒有太大差別,并且EGARCH-POT-VaR和GJRGARCH-POT-VaR模型測度結(jié)果幾乎一致。

    (3)相較于950%和999%置信水平,990%置信水平下各模型的LR統(tǒng)計量更小,失敗率也更貼近期望失敗率,因此,各模型在990%置信水平下對尾部風(fēng)險的估計效果最精準(zhǔn)。

    四、結(jié)語

    本文利用GARCH族模型在刻畫收益率序列波動性方面的優(yōu)勢及極值POT模型對尾部極端數(shù)據(jù)的處理能力,構(gòu)建ARMA-GARCH-POT、ARMA-EGARCH-POT、ARMA-GJRGARCH-POT模型,結(jié)合VaR風(fēng)險測度方法對社保基金投資風(fēng)險進(jìn)行測度,有以下幾點結(jié)果:第一,股市收益率序列描述性統(tǒng)計結(jié)果顯示,收益率不服從正態(tài)分布,而呈現(xiàn)尖峰厚尾特性,并伴隨著自相關(guān)、波動聚集、非對稱特征。第二,ARMA-EGARCH、ARMA-GJRGARCH模型相較于ARMA-GARCH只能刻畫自相關(guān)、波動聚集特性,還能較好地刻畫資產(chǎn)收益率的非對稱特性,且ARMA-EGARCH對收益率序列的波動性刻畫最為真實。第三,極值POT模型檢驗結(jié)果證明GPD分布能夠較好地模擬收益率序列的尾部分布,同時在選取閾值時,采用AU2統(tǒng)計量擬合優(yōu)度檢驗法可以有效避免主觀因素的影響。第四,由VaR回測結(jié)果來看,傳統(tǒng)GARCH-VaR模型會低估極端尾部風(fēng)險,POT模型能夠較好彌補(bǔ)GARCH類模型對尾部風(fēng)險估計不足的缺陷。三種GARCH-POT模型都能夠?qū)討B(tài)VaR進(jìn)行較好的測度,且在990%置信水平下各模型測度效果最好。

    當(dāng)前我國資本市場尚不成熟,社?;鹜顿Y還面臨較大風(fēng)險,GARCH-POT-VaR模型為全國社會保障基金理事會準(zhǔn)確測度我國股市尾部風(fēng)險提供了理想工具,有利于投資管理人對資產(chǎn)價格波動風(fēng)險的量化和管控。

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    ResearchonTailRiskMeasurementofSocialSecurityFundInvestmentBasedonGARCH-POT-VaRModel

    CHENGuodongWANGJiaqi

    (SchoolofManagementandEconomics,NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower,Zhengzhou450046,China)

    Abstract:Socialsecurityfundisanimportantsecurityfundtosolvetheagingproblemofourcountry,theinvestmentincomefluctuatesgreatlyinthepastfiveyears,howtoaccuratelymeasuretheinvestmentriskofsocialsecurityfundisanimportantissuetoimprovetheinvestmentsecurityofsocialsecurityfundOnthebasisofconsideringthevolatilitycharacteristicsofthereturnseries,theGARCHfamilymodelisproposedtodepictthevolatilitycharacteristicsofthereturnseriesandthePOTmodeltoprocessextremetaildata,andthreetailriskmeasurementmodelsoffinancialmarketsareconstructed:ARMA-GARCH-POT,ARMA-EGARCH-POTandARMA-GJRGARCH-POTareappliedtothedynamicmeasurementofVaRIntheconstructionofextremePOTmodel,AU2statisticswereusedtodeterminethethreshold,andW2andA2statisticswereusedtotestthegoodnessoftailfitting,whichavoidedsubjectivityFinally,VaRismeasuredandback-testedTheresultsshowthatthetraditionalGARCH-VaRmodelwillunderestimatetheextremetailrisk,andtheGARch-typemodelcombinedwithPOTmodelhasamoreaccuratemeasurementeffectondynamicVaR,andeachmodelcanmoreaccuratelyquantifythetailriskofstockmarketreturnatthe990%confidencelevel

    Keywords:SocialSecurityFund;TailRiskMeasurement;ARMA-GARCHFamilyModel;ExtremeValueTheory;VaR

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