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    基于插值修正的上證50ETF期權(quán)隱含高階矩研究

    2024-12-16 00:00:00王欣王俊葉五一
    中國證券期貨 2024年6期

    摘要:期權(quán)隱含高階矩是衡量金融資產(chǎn)波動性和非對稱性的關(guān)鍵指標(biāo)。然而,真實市場中期權(quán)的執(zhí)行價格具有離散性和有界性,直接應(yīng)用理論方法基于市場離散期權(quán)數(shù)據(jù)計算的隱含高階矩存在近似誤差,影響指標(biāo)可靠性。本文利用上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù),采用無模型方法計算隱含波動率和隱含偏度指標(biāo),并通過“內(nèi)插-外推”方法進(jìn)行修正。研究結(jié)果表明:①未修正的隱含高階矩通常被高估;②隱含波動率指數(shù)與上證50ETF收益之間存在顯著的負(fù)相關(guān)性,這支持了市場存在杠桿效應(yīng)和波動率反饋效應(yīng)的理論;③隱含偏度指數(shù)與上證50ETF收益之間存在顯著的正相關(guān)性,這可以理解為投資者更偏好右偏資產(chǎn),而右偏資產(chǎn)價值傾向于被高估,從而導(dǎo)致負(fù)的收益;④在大多數(shù)時期,已實現(xiàn)波動率比隱含波動率低,這表明大多數(shù)投資者大部分時間傾向于規(guī)避風(fēng)險,并且愿意為對沖風(fēng)險支付費用。

    關(guān)鍵詞:期權(quán)隱含高階矩;上證50ETF;已實現(xiàn)高階矩;風(fēng)險溢價

    一、引言

    長期以來,期權(quán)價格中蘊含的信息一直是學(xué)術(shù)界和業(yè)界關(guān)注的焦點。早期研究表明,通過Black-Scholes(BS)公式可以獲得隱含波動率(Black和Scholes,1973)。隨著期權(quán)定價模型與技術(shù)手段的不斷發(fā)展,研究者發(fā)現(xiàn)期權(quán)面板數(shù)據(jù)中還包含了更為復(fù)雜的信息,如隱含偏度。這些期權(quán)隱含信息被廣泛認(rèn)為是對真實測度下歷史信息的重要補充,因為期權(quán)價格反映了標(biāo)的資產(chǎn)在風(fēng)險中性測度下的預(yù)期走勢。本文主要探討期權(quán)的隱含信息,包括隱含波動率和隱含偏度。這兩者分別代表了風(fēng)險中性測度下標(biāo)的資產(chǎn)收益率的預(yù)期波動性和偏度。

    提取期權(quán)價格中的隱含信息對學(xué)術(shù)界和業(yè)界都具有重要意義。在實際應(yīng)用中,隱含信息可作為市場信號使用。例如,芝加哥期權(quán)交易所(CBOE)的市場波動率指數(shù)(VIX),通常被稱為“恐慌指數(shù)”,用于預(yù)測未來市場波動率;中國波動率指數(shù)(iVIX)用于預(yù)警市場潛在風(fēng)險,并作為投資者調(diào)整倉位的重要信號。隱含偏度可以反映股票的預(yù)期未來走勢,隱含偏度值越小預(yù)示著未來資產(chǎn)收益分布越左偏,即資產(chǎn)收益出現(xiàn)下跌的概率會增加。除此之外,這些信息可以與真實測度下的信息結(jié)合,用于構(gòu)建風(fēng)險溢價指標(biāo),以反映市場預(yù)期和實際情況的偏差,從而為研究市場收益提供支持。因此,充分利用期權(quán)價格中的隱含信息可以為風(fēng)險管理和金融資產(chǎn)定價提供有效指導(dǎo)。

    一些重要文獻(xiàn)研究了期權(quán)隱含高階矩。例如,Christoffersen等(2013)總結(jié)了期權(quán)隱含信息的相關(guān)研究,介紹了兩種構(gòu)建期權(quán)隱含高階矩的方法:參數(shù)方法(Heston,1993;Christoffersen等,2009)和無模型方法(Carr和Madan,1998)。相比之下,無模型方法無須依賴特定的模型設(shè)定,因此被認(rèn)為更具靈活性。在實際市場中,芝加哥期權(quán)交易所就是采用無模型方法來計算VIX指數(shù)。

    目前,關(guān)于期權(quán)隱含信息的研究已經(jīng)取得了諸多成果。Jiang和Tian(2005)發(fā)現(xiàn),無模型方法計算的隱含波動率可以更有效地預(yù)測未來實際波動率。鄭振龍等(2016)利用S&P500指數(shù)期權(quán)的方差和偏度對股票橫截面序列進(jìn)行了回歸分析。叢明舒(2018)發(fā)現(xiàn),中國市場和美國市場的期權(quán)隱含信息對股票收益率的影響存在顯著差異。

    盡管無模型方法具有多種優(yōu)勢,但仍存在一些局限性,如它依賴期權(quán)執(zhí)行價格連續(xù)性的假設(shè)。然而,在實際市場中,我們只能觀察到離散的期權(quán)執(zhí)行價格,因此這一假設(shè)并不成立。此外,期權(quán)執(zhí)行價格的范圍是有界的,這與計算公式中的無界假設(shè)不符。為了盡可能解決這些局限性,本文在無模型方法的基礎(chǔ)上引入了“內(nèi)插-外推”方法,以修正隱含高階矩的估算值,并將修正后的隱含高階矩信息應(yīng)用于中國市場,進(jìn)一步研究修正后的隱含高階矩對50ETF收益率的影響,以及隱含高階矩與已實現(xiàn)高階矩之間的關(guān)系。此外,本文基于風(fēng)險中性測度和真實測度構(gòu)建了方差風(fēng)險溢價指標(biāo),并研究了該指標(biāo)對50ETF收益率的影響。

    本文剩余的結(jié)構(gòu)安排如下:第二部分詳細(xì)介紹了隱含高階矩指標(biāo)的構(gòu)建方法。第三部分分析了計算隱含高階矩時近似誤差的來源。第四部分提出了近似誤差的修正方法。第五部分進(jìn)行實證分析。第六部分總結(jié)本文的研究結(jié)論,并討論其在實踐中的潛在應(yīng)用和意義。

    二、隱含高階矩構(gòu)建

    從期權(quán)面板數(shù)據(jù)中計算隱含高階矩的方法主要分為有模型和無模型兩種。由于前者容易受模型不確定性的影響,故本文主要借鑒Bakshi等(2003)關(guān)于無模型方法的思想來推導(dǎo)期權(quán)隱含高階矩。設(shè)定R(t,τ)=lnS(t+τ)-lnS(t)為t時刻τ期的收益率,S(t)為t時刻資產(chǎn)的價格,則在t時刻τ期的風(fēng)險中性收益率的隱含波動率和隱含偏度可以分別定義為:

    Vol(t,τ)={Et[R(t,τ)-Et(R(t,τ))]2}1/2(1)

    Skew(t,τ)=Et[R(t,τ)-Et(R(t,τ))]3{Et[R(t,τ)-Et(R(t,τ))]2}3/2(2)

    這里,Et(·)為風(fēng)險中性下的條件期望,即Et(·)=E(·|S(t))。

    根據(jù)CBOE白皮書、Bakshi等(2003)以及Bali和Murray(2013)的研究,可以通過虛值期權(quán)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出對應(yīng)資產(chǎn)的隱含高階矩:

    Vol(t,τ)=(erτV(t,τ)-μ(t,τ)2)1/2(3)

    Skew(t,τ)=erτW(t,τ)-3μ(t,τ)erτV(t,τ)+2μ(t,τ)3[erτV(t,τ)-μ(t,τ)2]3/2(4)

    其中,μ(t,τ)=erτ-1-erτ2V(t,τ)-erτ6W(t,τ)-erτ24X(t,τ),r為無風(fēng)險利率,τ為期權(quán)到期期限。隱含高階矩中對應(yīng)的函數(shù)V、W和X的具體形式如下:

    V(t,τ)=∫∞S(t)21-lnKS(t)K2C(t,τ;K)dK+∫S(t)021+lnS(t)KK2P(t,τ;K)dK(5)

    W(t,τ)=∫∞S(t)6lnKS(t)-3lnKS(t)2K2C(t,τ;K)dK-∫S(t)06lnS(t)K+3lnS(t)K2K2P(t,τ;K)dK(6)

    X(t,τ)=∫∞S(t)12lnKS(t)2+4lnKS(t)3K2

    C(t,τ;K)dK+∫S(t)012lnS(t)K2+4lnS(t)K3K2P(t,τ;K)dK(7)

    其中,C(t,τ;K)和P(t,τ;K)分別是t時刻開始t+τ時刻到期且執(zhí)行價格為K的看漲和看跌期權(quán)價格。

    為了計算V、W和X,需要使用連續(xù)執(zhí)行價格下的看漲和看跌期權(quán)的價格。然而,由于期權(quán)面板數(shù)據(jù)是離散的,只能利用離散的期權(quán)數(shù)據(jù)計算V、W和X。

    V︿(t,τ)=∑nci=121-lnKciS(t)*Kci2C(t,τ;Kci)△Kci+∑npi=121+lnS(t)*KpiKpi2P(t,τ;Kpi)△Kpi(8)

    W︿(t,τ)=∑nci=16lnKciS(t)*-3lnKciS(t)*2Kci2C(t,τ;Kci)△Kci-∑npi=16lnS(t)*Kpi+3lnS(t)*Kpi2Kpi2P(t,τ;Kpi)△Kpi(9)

    X︿(t,τ)=∑nci=112lnKciS(t)*2+4lnKciS(t)*3Kci2C(t,τ;Kci)△Kci+∑npi=112lnS(t)*Kpi2+4lnS(t)*Kpi3Kpi2P(t,τ;Kpi)△Kpi(10)

    這里,S(t)*=S(t)-PVDivs為除息后的股價,PVDivs為股息現(xiàn)值,Kci和Kpi分別為第i個虛值看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的行權(quán)價,C(t,τ;Kci)和P(t,τ;Kpi)分別為第i個看漲和看跌期權(quán)的價格,nc和np分別為看漲和看跌期權(quán)的數(shù)量,對于2≤i≤nc,△Kci=Kci-1-Kci,△Kc1=S*t-Kc1,對于2≤i≤np,△Kpi=Kpi-1-Kpi,△Kp1=S*t-Kp1。這樣通過離散方法可以計算出隱含波動率和隱含偏度。

    為了估計無模型隱含高階矩,式(8)~式(10)中給出的離散近似V︿、W︿和X︿會產(chǎn)生多種近似誤差,如截斷誤差和離散化誤差。這些誤差可能對估計隱含高階矩產(chǎn)生重要影響。接下來,將詳細(xì)介紹每種近似誤差。

    三、近似誤差來源

    在本節(jié)中,筆者將探討在利用離散期權(quán)數(shù)據(jù)計算隱含高階矩時產(chǎn)生的兩種近似誤差,即截斷誤差和離散化誤差。

    (一)截斷誤差

    截斷誤差是由于執(zhí)行價格K范圍有界導(dǎo)致的。正如V、W和X的定義所示,無模型隱含高階矩的計算需要0到無窮的執(zhí)行價格,然而,當(dāng)使用離散化的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算時,只能利用有限范圍的執(zhí)行價格數(shù)據(jù)。記KL和KU分別是給定期限的最低和最高執(zhí)行價格。由于無限范圍的執(zhí)行價格被有限范圍的執(zhí)行價格[KL,KU]所取代,因此可以得到以下近似式(先不考慮給定范圍內(nèi)的離散情況):

    V(t,τ)≈∫KUS(t)21-lnKS(t)K2C(t,τ;K)dK+∫S(t)KL21+lnS(t)KK2P(t,τ;K)dK(11)

    W(t,τ)≈∫KUS(t)6lnKS(t)-3lnKS(t)2K2C(t,τ;K)dK-∫S(t)KL6lnS(t)K+3lnS(t)K2K2P(t,τ;K)dK(12)

    X(t,τ)≈∫KUS(t)12lnKS(t)2+4lnKS(t)3K2C(t,τ;K)dK+∫S(t)KL12lnS(t)K2+4lnS(t)K3K2

    P(t,τ;K)dK(13)

    因此,V、W和X的截斷誤差由以下表達(dá)式給出:

    Vtrunc=-∫∞KU21-lnKS(t)K2C(t,τ;K)dK+∫KL021+lnS(t)KK2P(t,τ;K)dK(14)

    Wtrunc=-∫∞KU6lnKS(t)-3lnKS(t)2K2C(t,τ;K)dK-∫KL06lnS(t)K+3lnS(t)K2K2

    P(t,τ;K)dK(15)

    Xtrunc=-∫∞KU12lnKS(t)2+4lnKS(t)3K2

    C(t,τ;K)dK+∫KL012lnS(t)K(t)2+4lnS(t)K3K2

    P(t,τ;K)dK(16)

    負(fù)號表明截斷誤差會導(dǎo)致計算的高階矩產(chǎn)生負(fù)的偏差。

    (二)離散化誤差

    離散化誤差是由于數(shù)值積分導(dǎo)致的,因為CBOE在計算中采用式(8)、式(9)、式(10)。盡管從理論上看,數(shù)值積分誤差可以通過使用足夠精細(xì)的執(zhí)行價格網(wǎng)絡(luò)來最小化,但實際期權(quán)面板數(shù)據(jù)中可獲取的離散數(shù)據(jù)始終是有限的,且行權(quán)價之間的離散程度往往很大,因此會產(chǎn)生較為明顯的離散化誤差。離散化誤差可以表示為:

    Vdisc=V︿(t,τ)-∫KUS(t)21-lnKS(t)K2C(t,τ;K)dK+∫S(t)KL21+lnS(t)KK2P(t,τ;K)dK(17)

    Wdisc=W︿(t,τ)-∫KUS(t)6lnKS(t)-3lnKS(t)2K2C(t,τ;K)dK-∫S(t)KL6lnS(t)K+3lnS(t)K2K2

    P(t,τ;K)dK(18)

    Xdisc=X︿(t,τ)-∫KUS(t)12lnKS(t)2+4lnKS(t)3K2C(t,τ;K)dK+∫S(t)KL12lnS(t)K2+4lnS(t)K3K2

    P(t,τ;K)dK(19)

    四、近似誤差的處理

    近似誤差主要由于期權(quán)數(shù)據(jù)在不同執(zhí)行價格下的稀疏性引起。為了減少這種誤差,需要獲取更多執(zhí)行價格對應(yīng)的期權(quán)價格數(shù)據(jù)。解決這一問題的一種方法是通過“平滑”技術(shù)填補稀疏的期權(quán)數(shù)據(jù)。通常而言,“平滑”技術(shù)應(yīng)用于期權(quán)合約的波動率,而非直接應(yīng)用于期權(quán)價格。具體步驟如下:首先,利用BS公式計算已有期權(quán)價格對應(yīng)的波動率;其次,使用“平滑”技術(shù)構(gòu)建期權(quán)合約對應(yīng)的波動率曲線,以獲取所需執(zhí)行價格對應(yīng)的波動率;最后,再次利用BS公式計算相應(yīng)執(zhí)行價格的看漲和看跌期權(quán)價格。本文采用了一種有效的平滑方法來提取無模型波動率,即采用“內(nèi)插-外推”方法構(gòu)建波動率曲面。

    (一)已有執(zhí)行價格間的內(nèi)插法

    假定對于給定的到期日T有N個執(zhí)行價格,分別為Ki,i=1,2,…,N,其對應(yīng)的看漲看跌期權(quán)的市場價格分別是CM(Ki,T)和PM(Ki,T)。不失一般性,有0<KL=K1<K2<…<KN=KU<∞。這里僅使用OTM期權(quán)來建立波動率函數(shù)。通過BS模型,結(jié)合N個執(zhí)行價格以及對應(yīng)的期權(quán)價格,可以反推出這N個執(zhí)行價格對應(yīng)的波動率(σ(Ki,T),i=1,2,…,N)。

    構(gòu)建執(zhí)行價格區(qū)間[KL,KU]上的波動率函數(shù)是關(guān)鍵。已有研究中,參數(shù)法和非參數(shù)法都被廣泛應(yīng)用(Bahra,2007;Bliss和Panigirtzoglou,2002;Anagnou等,2002)。然而,參數(shù)方法對模型形式的限制,無法靈活適應(yīng)觀測數(shù)據(jù)。因此,本文采用非參數(shù)方法來構(gòu)建波動率函數(shù),以便更好地處理和利用不同執(zhí)行價格下的期權(quán)價格數(shù)據(jù)。

    采用“內(nèi)插法”在N個執(zhí)行價格之間建立光滑函數(shù),可以很好地擬合這N個已知的波動率。筆者希望在執(zhí)行價格區(qū)間[KL,KU]找到一個可微函數(shù)f(K),有

    f(Ki)=σ(Ki,T),i=1,2,…,N(20)

    這里參考Jiang和Tian(2005),使用三次樣條來擬合已知的波動率。為了使擬合結(jié)果更好,從K2到KN-1所有的內(nèi)部執(zhí)行價格均被用作節(jié)點來擬合三次樣條。接著,對于新的內(nèi)插點便可以通過f(K)獲得其對應(yīng)合約的波動率。

    (二)已有執(zhí)行價格外的外推法

    由于在已列出的執(zhí)行價格區(qū)間之外,沒有已知的期權(quán)價格,而范圍更廣的執(zhí)行價格對于計算隱含高階矩有較大的好處,因此需要根據(jù)已構(gòu)建的波動率函數(shù)對區(qū)間外的波動率進(jìn)行外推。具體來說,考慮兩種外推方法。

    1平推法

    平推法是指對于執(zhí)行價格區(qū)間外的波動率,用最接近的已知波動率值來代替,即對于區(qū)間(0,KL]的波動率都用σ(KL)來代替,對于區(qū)間[KU,∞)的波動率都用σ(KU)來代替,其核心思想如圖1上圖所示,該方法常被用于波動率估計的修正。然而,“平推法”存在兩個缺點:一是為了滿足無套利條件,波動率函數(shù)需要保持連續(xù)性,但是“平推法”可能導(dǎo)致波動率函數(shù)在KL和KU處出現(xiàn)拐點,從而使風(fēng)險中性概率密度函數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù);二是根據(jù)波動率“微笑”或者波動率“偏斜”的觀察,隨著執(zhí)行價格遠(yuǎn)離當(dāng)前股價,波動率往往會上升。因此,對于執(zhí)行價格區(qū)間外的波動率使用常數(shù)波動率代替,可能會導(dǎo)致波動率被低估。

    2線性外推法

    線性外推法指的是在最低KL和最高KU的執(zhí)行價格點上施加平滑條件,并保持一個線性的外推結(jié)構(gòu)。具體來說,通過調(diào)整處于執(zhí)行價格兩邊的線性外推斜率,使其與最低KL或最高KU執(zhí)行價格內(nèi)部端的斜率一致,如圖1下圖所示。這種方法確保了在整個執(zhí)行價格范圍內(nèi)都有平滑的波動率曲線,并且能夠很好地擬合已知的波動率數(shù)據(jù)。“線性外推法”構(gòu)建的波動率曲線更符合通常觀察到的波動率“微笑”或者波動率“偏斜”。

    由此可見,一旦構(gòu)建好波動率函數(shù),適當(dāng)范圍內(nèi)任意執(zhí)行價格處的期權(quán)價格都可以通過使用BS模型根據(jù)相應(yīng)擬合的波動率計算得到。這樣一來,可以利用更多的期權(quán)數(shù)據(jù)對數(shù)值積分V、W和X進(jìn)行離散化計算。

    五、實證分析

    (一)數(shù)據(jù)描述

    本文選取2021年1月4日至2021年12月31日每天9:30到11:30以及13:00到15:00的50ETF指數(shù)和50ETF期權(quán)的1分鐘級數(shù)據(jù),共計243天(交易日),每天包含241個1分鐘數(shù)據(jù)。剔除所有不滿足無套利條件的期權(quán)樣本,選擇期權(quán)到期期限為10~60天,并且每天至少存在兩支認(rèn)購和認(rèn)沽期權(quán)的樣本。當(dāng)數(shù)據(jù)處理完后,可以使用前面章節(jié)的方法計算出風(fēng)險中性高階矩,這里所計算的均為期限τ為30天的風(fēng)險中性矩。

    (二)修正方案間的比較分析

    采用CBOE的指標(biāo)構(gòu)建方法,分別構(gòu)建波動率指數(shù)和偏度指數(shù):

    iVIXt,τ=100*Volt,τ(21)

    iSKEWt,τ=100-10*Skewt,τ(22)

    本節(jié)對比分析了不同的“內(nèi)插-外推”方法對50ETF波動率指數(shù)(iVIX)和偏度指數(shù)(iSKEW)的影響。鑒于截斷誤差和離散化誤差,對不同方法進(jìn)行比較分析,以評估其對iVIX和iSKEW的影響。對“內(nèi)插-外推”方法進(jìn)行兩種不同的內(nèi)插點數(shù)選擇,分別為在已有執(zhí)行價格區(qū)間內(nèi)選擇100個和500個等間距內(nèi)插點。在內(nèi)插計算完成后,還采用了線性外推和平值外推兩種方法。對于線性外推,當(dāng)內(nèi)插點數(shù)為100時,考慮2個、10個和20個等間距外推點;當(dāng)內(nèi)插點數(shù)為500時,則考慮10個、50個和100個等間距外推點,以確保外推的區(qū)間長度一致。對于平值外推,外推點個數(shù)的選擇與線性外推方法一致。

    表1展示了不同插值方法計算的波動率指數(shù)和偏度指數(shù)的描述性統(tǒng)計。筆者觀察到修正后的iVIX指數(shù)相對于未修正的iVIX指數(shù),在均值和最小值上幾乎都顯示出下降趨勢。具體而言,平值外推方法得到的iVIX指數(shù)相對于線性外推方法更小,且內(nèi)插點數(shù)為500時的iVIX指數(shù)比內(nèi)插點數(shù)為100時的iVIX指數(shù)要小。對于iSKEW的計算,平值外推對其影響不大。然而,當(dāng)線性外推點數(shù)過多時會導(dǎo)致iSKEW值顯著增加。

    圖2呈現(xiàn)了不同插值方法修正后的iVIX和iSKEW指數(shù)的時間序列。可以發(fā)現(xiàn),未插值情況下的波動率和偏度指數(shù)一般位于所有插值計算結(jié)果之上,顯示出插值后的指數(shù)普遍偏低。此外,線性外推點數(shù)過多可能會產(chǎn)生異常值。為了更好地顯示不同方法之間的差異,圖3展示了不同插值方法修正后的iVIX和iSKEW指數(shù)的平均日內(nèi)走勢??梢园l(fā)現(xiàn),對于平均日內(nèi)iVIX指數(shù),經(jīng)過平值外推和線性外推修正后的波動率指數(shù)均低于未插值計算結(jié)果,且內(nèi)插點數(shù)對其影響較小,而外推點數(shù)對其影響較大。對于平均日內(nèi)iSKEW指數(shù),平值外推修正的iSKEW指數(shù)低于未插值的計算結(jié)果。然而,線性外推修正的iSKEW指數(shù)在外推點數(shù)過多時會顯著高于未插值的計算結(jié)果。因此,不建議使用過多的線性外推點數(shù)。

    綜上所述,未插值的隱含高階矩往往存在高估的情況,這可能導(dǎo)致市場投資者在期權(quán)交易、金融資產(chǎn)定價、資產(chǎn)收益分析以及金融風(fēng)險傳染度量等方面做出錯誤的決策。并且內(nèi)插點數(shù)越多,適度的線性外推結(jié)果越穩(wěn)健。由于理論上采用插值計算的隱含高階矩更為準(zhǔn)確,且實證結(jié)果顯示插值和不插值結(jié)果差異比較大?;谶@些考量,選擇了內(nèi)插點數(shù)為500、外推點數(shù)為50的方案進(jìn)行后續(xù)數(shù)據(jù)分析和實證研究。

    (三)變量的描述性統(tǒng)計

    圖4分別展示了修正后的iVIX指數(shù)和iSKEW指數(shù)的時間序列。以下是對圖4結(jié)果的分析:①從iSKEW指數(shù)圖中可以觀察到,2021年中國市場的iSKEW指數(shù)有部分?jǐn)?shù)值小于100,處于90~100,顯示出市場預(yù)期收益率出現(xiàn)右偏的現(xiàn)象。這與Chang等(2013)在美國市場計算的隱含偏度指數(shù)始終

    大于100有所不同。②iSKEW指數(shù)通常在達(dá)到115之后會下跌,而不是持續(xù)上升,這是因為市場上存在套利機(jī)會的投資者,他們的介入會使iSKEW指數(shù)回歸其均值附近,從而避免持續(xù)的左偏現(xiàn)象。這些分析結(jié)果揭示了市場波動率和偏度指數(shù)在不同時間段的動態(tài)變化,對理解市場行為和制定投資策略具有重要意義。

    圖5顯示了以下內(nèi)容:左側(cè)為iVIX指數(shù)和iSKEW指數(shù)本身的自相關(guān)圖;右側(cè)則展示了對iVIX指數(shù)和iSKEW指數(shù)進(jìn)行差分后的自相關(guān)圖。在自相關(guān)圖中,陰影部分表示95%的置信區(qū)間。觀察圖可知,iVIX指數(shù)和iSKEW指數(shù)本身具有顯著的自相關(guān)性,然而,經(jīng)過一階差分處理后,大部分iVIX指數(shù)和iSKEW指數(shù)的自相關(guān)系數(shù)均落在95%的置信區(qū)間內(nèi)。這表明對隱含高階矩進(jìn)行差分處理后的時間序列更加平穩(wěn)。

    (四)回歸分析

    1收益率回歸分析

    Jondeau等(2019)在其研究中使用美國數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),偏度可以影響個股的收益率。Harvey和Siddique(2000,2000)的研究結(jié)果顯示,偏度不僅影響個股的收益率,還對整個股票市場的收益率產(chǎn)生影響。那么,在中國市場,隱含高階矩是否會對50ETF的收益率產(chǎn)生影響呢?

    為了研究隱含高階矩對上證50ETF指數(shù)收益的影響,本節(jié)使用了差分后的iVIX指數(shù)、iSKEW指數(shù)及其組合對上證50ETF指數(shù)的收益率進(jìn)行回歸分析。研究數(shù)據(jù)覆蓋了2021年1月4日至2021年12月31日的243個交易日的50ETF和期權(quán)數(shù)據(jù)。我們建立了以下三個模型:

    Model1:Rt=α+β1△iVIXt+t(23)

    Model2:Rt=α+β2△iSKEWt+t(24)

    Model3:Rt=α+β1△iVIXt+β2△iSKEWt+t(25)

    這里的Rt是第t個時刻50ETF的對數(shù)價格收益率,△iVIXt=iVIXt-iVIXt-1,△iSKEWt=iSKEWt-iSKEWt-1。表2展示了隱含高階矩與市場收益率回歸的結(jié)果。

    從表2的回歸結(jié)果可以得出:①收益率與△iVIX之間表現(xiàn)出顯著的負(fù)相關(guān)性,這種關(guān)系主要是由于杠桿效應(yīng)和波動率反饋效應(yīng)所導(dǎo)致的。②△iSKEW對收益率具有顯著的預(yù)測能力,這可以理解為投資者更偏好右偏的資產(chǎn),而右偏的資產(chǎn)往往被高估,從而導(dǎo)致負(fù)的收益。此外,當(dāng)iSKEW>100時,表明資產(chǎn)收益存在左偏的可能性,進(jìn)一步指示資產(chǎn)收益下跌的風(fēng)險增加。由于風(fēng)險厭惡的投資者會尋求更多的風(fēng)險補償來規(guī)避尾部風(fēng)險的影響,因此更高的△iSKEW通常伴隨著更高的資產(chǎn)收益。③當(dāng)△iVIX和△iSKEW同時加入收益率的回歸模型后,它們對收益率的影響依然顯著。這表明,從期權(quán)數(shù)據(jù)中提取的隱含高階矩均包含了影響50ETF收益率的重要信息。

    2已實現(xiàn)高階矩之間的回歸分析

    通過期權(quán)數(shù)據(jù)計算的隱含波動率指數(shù)和隱含偏度指數(shù)間接反映了投資者對市場風(fēng)險的度量,而已實現(xiàn)波動率(RV)和已實現(xiàn)偏度(RSkew)是直接通過50ETF收益率數(shù)據(jù)計算的,能夠直接反映資產(chǎn)的收益情況,因此它們之間存在一定的關(guān)聯(lián)。在本節(jié)中,建立已實現(xiàn)高階矩與隱含高階矩之間的回歸模型,并分析它們之間的關(guān)系。首先,根據(jù)Andersen和Bollerslev(1998)及后續(xù)文獻(xiàn)提出的方法,構(gòu)建已實現(xiàn)高階矩:

    RVt=∑N~i=0R2t-i(26)

    RSkewt=N~∑N~i=1R3t-i(RVt)3/2(27)

    RSKEWt=100-10×RSkewt(28)

    這里,Rt-i表示第t-i時刻的對數(shù)收益率。使用滑動步長為1分鐘,窗寬大小N~為240分鐘的數(shù)據(jù)集來計算高頻RV和RSkewt。接下來,建立已實現(xiàn)高階矩與隱含高階矩之間的回歸關(guān)系模型:

    RV2t=α+βiVIX2t+t(29)

    RSKEWt=α+βiSKEWt+t(30)

    使用修正后的隱含波動率指數(shù)和隱含偏度指數(shù),得到的回歸結(jié)果如下:

    RV2t=-00294+15606iVIX2t(-969840)(2187779)(31)

    RSKEWt=1570276-05636iSKEWt

    (595898)(-215865)(32)

    其中括號內(nèi)為各個系數(shù)的t-統(tǒng)計量。從隱含高階矩對已實現(xiàn)高階矩的回歸結(jié)果可以看出:①已實現(xiàn)波動率和iVIX指數(shù)之間存在顯著的正相關(guān)關(guān)系;②已實現(xiàn)偏度指數(shù)與iSKEW指數(shù)之間存在顯著的負(fù)相關(guān)關(guān)系。由此可以說明50ETF期權(quán)隱含信息對50ETF收益率的方差和偏度具有一定的解釋作用。

    3方差風(fēng)險溢價回歸分析

    已實現(xiàn)波動率反映了投資者對市場真實風(fēng)險的度量,而隱含波動率則反映了對未來波動率風(fēng)險的預(yù)期。因此,方差風(fēng)險溢價(VRP)可以定義為在風(fēng)險中性測度下的方差減去真實測度下的已實現(xiàn)方差,即VRPt=iVIX2t-RV2t。VRP在一定程度上反映了投資者的風(fēng)險規(guī)避程度。圖6展示了高頻已實現(xiàn)波動率(RV)和隱含波動率(iVIX)的時間序列,可以觀察到在許多時段,iVIX比RV要大。

    圖7呈現(xiàn)了方差風(fēng)險溢價??梢钥闯?,VRP大多時候都是大于0的,這說明中國投資者更傾向于規(guī)避風(fēng)險。當(dāng)未來市場走向不確定增加時,投資者規(guī)避風(fēng)險的意愿會增強(qiáng),導(dǎo)致VRP處于一個較高的水平。然而,當(dāng)市場出現(xiàn)高波動(如2021年2月以及2021年7月)時,VRP會出現(xiàn)很大的負(fù)值。這表明在這些時期,市場相對較為動蕩,導(dǎo)致真實市場中由50ETF價格直接計算的已實現(xiàn)波動率要高于投資者的預(yù)期波動率。

    Bollerslev等(2009)使用美國數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)VRP在對季度收益率的預(yù)測上表現(xiàn)最為強(qiáng)烈;Qiao等(2024)則利用9個新興市場的指數(shù)構(gòu)建VRP,發(fā)現(xiàn)VRP可以預(yù)測股指收益、貨幣收益以及資本流動,并且在短期內(nèi)預(yù)測效果尤其顯著。本節(jié)利用插值的隱含波動率指數(shù)計算VRP,并研究其對上證50ETF收益率的影響。建立以下回歸模型:

    Rt=α+βVRPt+t(33)

    其中,Rt表示第t個時刻50ETF的對數(shù)價格收益率,VRPt表示第t個時刻的方差風(fēng)險溢價。得到的回歸結(jié)果如下:

    Rt=-00744+57866VRPt

    (-03819)(05615)(34)

    括號內(nèi)為參數(shù)估計的t-統(tǒng)計量?;貧w結(jié)果顯示,截距項和斜率項在95%置信水平下均不顯著,表明VRP對上證50ETF的收益率沒有顯著的影響,這與田鳳平和楊科(2021)的研究結(jié)果一致。

    六、結(jié)論

    本文利用上證50ETF及其期權(quán)數(shù)據(jù),采用“內(nèi)插-外推”方法,計算了50ETF指數(shù)的風(fēng)險中性隱含高階矩,并將其與基于CBOE白皮書未插值計算的隱含高階矩進(jìn)行了比較。結(jié)果顯示,未插值處理的隱含波動率指數(shù)和隱含偏度指數(shù)都存在一定程度的被高估。隱含波動率的被高估通常意味著期權(quán)價格可能也被高估,這可能誤導(dǎo)依賴隱含波動率指數(shù)進(jìn)行期權(quán)交易的投資者,從而導(dǎo)致?lián)p失。鑒于國內(nèi)期權(quán)市場近年來的快速發(fā)展,精確構(gòu)建隱含波動率和偏度指標(biāo)對維護(hù)投資者信心和衍生品市場的穩(wěn)定發(fā)展至關(guān)重要。因此,本文建議采用基于“內(nèi)插-外推”方法修正的隱含波動率和隱含偏度作為新的研究指標(biāo)。

    同時,本文還研究了插值后的隱含高階矩信息對50ETF收益率以及已實現(xiàn)高階矩的影響,并進(jìn)一步基于隱含高階矩構(gòu)建了方差風(fēng)險溢價,分析其對50ETF收益率的影響。研究發(fā)現(xiàn),隱含高階矩與50ETF收益率之間存在顯著的相關(guān)性。一方面,隱含波動率指數(shù)和收益率之間的負(fù)相關(guān)性為中國市場可能存在杠桿效應(yīng)和波動率反饋效應(yīng)提供了一定的實證依據(jù)。另一方面,隱含偏度指數(shù)與收益率之間的正相關(guān)性在一定程度上說明了當(dāng)市場投資者更偏好右偏資產(chǎn)時,由于這類資產(chǎn)被高估,可能導(dǎo)致負(fù)收益。此外,本文還發(fā)現(xiàn)已實現(xiàn)高階矩與隱含高階矩之間存在顯著的相關(guān)性,這表明50ETF期權(quán)隱含信息對50ETF收益率的方差和偏度具有一定的解釋作用。對于方差風(fēng)險溢價,筆者發(fā)現(xiàn)市場平靜期間,隱含波動率通常高于已實現(xiàn)波動率,表明中國投資者大部分時間在規(guī)避風(fēng)險,并且愿意為對沖風(fēng)險支付費用。同時,研究發(fā)現(xiàn)中國市場的方差風(fēng)險溢價對收益率的影響并不顯著。

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    綜上所述,投資者在制定投資策略時應(yīng)充分考慮期權(quán)隱含的高階矩風(fēng)險信息,并合理配置資產(chǎn)。同時,監(jiān)管部門也應(yīng)關(guān)注期權(quán)隱含的高階矩風(fēng)險,以便更好地管理衍生品市場的風(fēng)險。

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