關(guān)于“驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律”實(shí)驗(yàn)的深入思考與創(chuàng)新設(shè)計(jì)

摘 要：新一輪課程改革對物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)提出了更高的要求。它指出：在物理實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)發(fā)掘?qū)嶒?yàn)在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題能力方面的潛在價(jià)值，要避免讓學(xué)生按教師或教材的既定步驟進(jìn)行“虛假探究”。以“驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律”這一經(jīng)典實(shí)驗(yàn)為例，以真實(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄為依據(jù)，觀察和處理數(shù)據(jù)，歸納得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論；發(fā)現(xiàn)并提出新問題，引發(fā)對“驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律”實(shí)驗(yàn)的深入思考，創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，很好地詮釋了實(shí)驗(yàn)教學(xué)的真實(shí)意義和價(jià)值，引領(lǐng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)從“虛假探究”走向“深入思考和創(chuàng)新設(shè)計(jì)”。

關(guān)鍵詞：動(dòng)量守恒；深入思考；創(chuàng)新設(shè)計(jì)

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）11-0056-4

物理學(xué)家始終在尋求自然界萬物運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，其中包括在多變的世界里找出某些不變量，動(dòng)量守恒定律即是自然界中一條普遍適用的規(guī)律。《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版２０２０年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）中對學(xué)生提出了這樣的學(xué)業(yè)要求：“能從理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的角度，理解動(dòng)量守恒定律，深化對物體之間相互作用的理解……通過對動(dòng)量守恒定律等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，認(rèn)識物理規(guī)律的內(nèi)在一致性和適用范圍，認(rèn)識到物理研究是建立在觀察和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的一項(xiàng)創(chuàng)造性工作，在研究中必須堅(jiān)持實(shí)事求是的態(tài)度”［１］。為引領(lǐng)高中生達(dá)成這一學(xué)業(yè)要求，中學(xué)物理教學(xué)需認(rèn)真研讀新課標(biāo)和教材，并帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)實(shí)驗(yàn)室，讓實(shí)驗(yàn)真實(shí)發(fā)生，在動(dòng)手實(shí)踐中形成實(shí)事求是的態(tài)度，發(fā)現(xiàn)真實(shí)的問題，在問題解決過程中不斷進(jìn)行創(chuàng)新和創(chuàng)造。

首先，讓我們一起回到實(shí)驗(yàn)室，來看真實(shí)實(shí)驗(yàn)的發(fā)生。

1 真實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄及得到的結(jié)論

關(guān)于“驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律”實(shí)驗(yàn)，人教版教材中給出了兩種參考案例，一為研究氣墊導(dǎo)軌上滑塊碰撞時(shí)的動(dòng)量守恒；二為研究斜槽末端小球碰撞時(shí)的動(dòng)量守恒。為最大限度地給每個(gè)學(xué)生提供親自動(dòng)手操作的機(jī)會，我們采用第二種方案研究大小相同、質(zhì)量不等的鋼球和硬橡膠球在斜槽末端的碰撞。

實(shí)驗(yàn)裝置如圖１所示，將斜槽固定在鐵架臺上，使槽的末端水平。讓質(zhì)量較大的鋼球（入射小球）從斜槽上滾下，跟放在斜槽末端的硬橡膠球（被碰小球）發(fā)生正碰。使入射小球從斜槽上某一高度滾下，測出兩球的質(zhì)量以及它們每次碰撞前后的速度，就可以驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律。

用天平測量出兩小球的質(zhì)量，鋼球質(zhì)量為１７．０ ｇ，硬橡膠球質(zhì)量為３．０ ｇ。怎樣測量兩球碰撞前后瞬間的速度呢？兩個(gè)小球碰撞前后瞬間的速度方向都是水平的，因此，兩球碰撞前后的速度可以利用平拋運(yùn)動(dòng)的知識求出。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，也可以不測量速度的具體數(shù)值。做平拋運(yùn)動(dòng)的小球落到地面，它們下落的高度相同，飛行時(shí)間也就相同。因此，小球碰撞后的速度之比就等于它們落地時(shí)飛行的水平距離之比。如何記錄小球的拋出點(diǎn)并測量小球飛出的水平距離呢？在槽口末端懸掛鉛垂線，在小球飛出方向的地面上鋪白紙，白紙上面鋪復(fù)寫紙以記錄小球落點(diǎn)的位置。鉛垂在地面上的投影點(diǎn)即為小球的拋出點(diǎn)在水平方向的投影。

步驟１：不放被碰小球，將入射小球１從斜槽上某一位置由靜止釋放后水平拋出落到地面上，重復(fù)１０次，水平射程記為ＯＰ。

步驟２：將被碰小球２放在斜槽末端口（注意讓小球一半在外，一半在內(nèi)），使入射小球從斜槽上同一位置由靜止釋放在斜槽末端與被碰球發(fā)生碰撞后水平拋出分別落到地面上，重復(fù)１０次；入射小球的水平射程記為ＯＭ，被碰小球的水平射程記為ＯＮ。

重復(fù)步驟１和步驟２做４次，數(shù)據(jù)記錄及處理如表1所示。

由上述數(shù)據(jù)及處理可得出如下結(jié)論：

（1）兩球組成的系統(tǒng)碰撞前后動(dòng)量守恒，相對誤差基本可以控制在５％以內(nèi)，當(dāng)釋放點(diǎn)初始高度較小時(shí)相對誤差較大（如第４組數(shù)據(jù)）。

（2）小鋼球與硬橡膠球的碰撞近似為彈性碰撞，損失的機(jī)械能很少?；謴?fù)系數(shù)

e==≈1

（3）碰撞后系統(tǒng)的動(dòng)量均比碰撞前略增加（見絕對誤差）。

2 由真實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)論引發(fā)的深入思考

（1）上述實(shí)驗(yàn)中一定要用質(zhì)量大的鋼球作為入射球嗎？

答案是肯定的。這是由于鋼球與硬橡膠球的碰撞近似為彈性碰撞，當(dāng)質(zhì)量大的鋼球碰撞質(zhì)量較小的硬橡膠球時(shí)，碰后兩球均從斜槽末端向前水平拋出，兩球組成的系統(tǒng)受外力沖量的影響很小，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明碰撞前后的相對誤差在５％以內(nèi)，可以很好地驗(yàn)證動(dòng)量守恒。

若選用質(zhì)量小的硬橡膠球作為入射球去碰質(zhì)量大的鋼球，則碰后會出現(xiàn)“硬橡膠球被彈回斜槽，上滑一段距離后再下滑拋出”的情形。由于斜槽有摩擦，將使得入射球的碰后速度測量值偏?。ㄞD(zhuǎn)換為水平位移的測量），從而導(dǎo)致兩球碰撞后的動(dòng)量反而增加，相對誤差超過１０％，誤差太大無法驗(yàn)證動(dòng)量守恒。

（2）入射球釋放點(diǎn)的高度應(yīng)滿足什么條件？

從上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)入射球初始釋放高度較低時(shí)，相對誤差較大，那么要使實(shí)驗(yàn)相對誤差控制在５％以內(nèi)，入射球釋放點(diǎn)的高度應(yīng)滿足什么條件呢？

當(dāng)入射球釋放點(diǎn)的高度過低時(shí)，小球在斜槽末端時(shí)不會離開軌道，而是以斜槽末端為圓心做一小段圓周運(yùn)動(dòng)再離開，斜槽末端對小球?qū)⒂醒厍驈较虻淖饔昧Γ?，如圖２所示。這樣，小球離開末端時(shí)的速度不等于碰后瞬間的速度，因此將產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)誤差。若要避免上述問題，需滿足的條件是被碰小球碰后在末端恰離開平面，即滿足v≥，其中ｒ?yàn)樾∏虻陌霃?。下面來推證理論上釋放點(diǎn)的高度ｈ和ｒ之間的關(guān)系。

設(shè)兩球質(zhì)量分別為ｍ１和ｍ２，入射球從高度h自由釋放，不計(jì)一切摩擦阻力。設(shè)入射球到達(dá)斜槽末端的速度大小為ｖ０，由機(jī)械能守恒得

m1gh=mv

由于兩小球的碰撞為彈性碰撞，則有碰撞前后動(dòng)量守恒和系統(tǒng)機(jī)械能守恒

m1v0=m1v+m2v'

mv=mv2+mv' 2

聯(lián)立解得

v=v0

又由于v≥

聯(lián)立以上幾式解得

h≥

（3）為什么碰撞后系統(tǒng)的動(dòng)量反而略增加呢？

多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)均發(fā)現(xiàn)，碰撞后系統(tǒng)的動(dòng)量比碰撞前略增加，這是為什么呢？

我們通過對入射球沿軌道下滑及與被碰球碰撞前后過程進(jìn)行錄像，并使用手機(jī)慢放功能進(jìn)行觀察，可以發(fā)現(xiàn)入射球在與被碰球碰撞前在軌道上基本上處于純滾動(dòng)狀態(tài)（其質(zhì)心的速度大小等于小球邊緣任一點(diǎn)的速度大?。?，在碰撞瞬間小球突然受阻質(zhì)心速度變慢，而其與軌道的切點(diǎn)速度依然不變，即小球與軌道的切點(diǎn)相對軌道向后滑動(dòng)，因此會受到軌道向前的滑動(dòng)摩擦力Ｆｆ，如圖３所示。這個(gè)摩擦力的沖量使得小球的動(dòng)量出現(xiàn)了增加的情形。而如果將被碰小球放在斜槽末端的立柱上，可以較好地減小由于相對滑動(dòng)產(chǎn)生的摩擦力沖量的影響，因此教材的參考案例圖中均建議被碰小球不是直接置于軌道末端，而是放在與軌道末端等高的小立柱上，如圖４所示。

3 驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律方案的創(chuàng)新設(shè)計(jì)

上述方案中，小球在槽末端碰撞前后都不可避免要受槽末端給它的摩擦力沖量的影響，有沒有更優(yōu)的實(shí)驗(yàn)方案呢？讓我們看看科學(xué)家是如何研究這一問題的。

早在１７世紀(jì)，牛頓、笛卡兒和萊布尼茲等科學(xué)家在“追尋守恒量”的偉大思想引導(dǎo)下就進(jìn)行了關(guān)于“運(yùn)動(dòng)量度”的爭論。牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中記錄了惠更斯、雷恩等科學(xué)家用擺的實(shí)驗(yàn)證實(shí)動(dòng)量守恒定律的裝置和原理，如圖５所示，“擺在最低點(diǎn)的速度大小如同弧的弦，弧在下落中被畫出，是幾何學(xué)家習(xí)知的一個(gè)命題”［２］。

這給我們創(chuàng)新和改良這個(gè)實(shí)驗(yàn)方案以莫大的啟發(fā)：“可以將碰撞速度大小的測量轉(zhuǎn)換為擺過的弧的弦的測量”。２０２４年北京卷物理的第１６題以牛頓擺實(shí)驗(yàn)思想為源泉，創(chuàng)新設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的方案，很好地考查了考生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)造素養(yǎng)。試題及分析如下。

【２０２４年北京第１６題（３）】 某同學(xué)設(shè)計(jì)了另一種驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律的實(shí)驗(yàn)方案。如圖６所示，用兩根不可伸長的等長輕繩將兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量不等的勻質(zhì)小球懸掛于等高的Ｏ點(diǎn)和Ｏ＇點(diǎn)，兩點(diǎn)間距等于小球的直徑。將質(zhì)量較小的小球１向左拉起至Ａ點(diǎn)由靜止釋放，在最低點(diǎn)Ｂ與靜止于Ｃ點(diǎn)的小球２發(fā)生正碰。碰后小球１向左反彈至最高點(diǎn)Ａ＇，小球２向右擺動(dòng)至最高點(diǎn)Ｄ。測得小球１、２的質(zhì)量分別為ｍ和Ｍ，弦長ＡＢ＝ ｌ１，Ａ＇Ｂ ＝ ｌ２，ＣＤ ＝ ｌ３。

請推導(dǎo)說明，ｍ、Ｍ、ｌ１、ｌ２、ｌ３滿足什么關(guān)系即可驗(yàn)證碰撞前后動(dòng)量守恒。

【參考解答】 設(shè)擺長為Ｒ，小球在Ａ點(diǎn)時(shí)輕繩偏離豎直方向的擺角為θ，到達(dá)最低點(diǎn)的速度大小為ｖ１。

根據(jù)機(jī)械能守恒定律mgR（1-cosθ）=mv

又有l(wèi)=2R2-2R2cosθ=2R2（1-cosθ）

聯(lián)立可得v1=l1

同理，可求得碰撞后瞬間兩小球的速度大小與其對應(yīng)的弦長ｌ２和ｌ３的關(guān)系。

綜上，若ｍ、Ｍ、ｌ１、ｌ２、ｌ３滿足ml1=Ml3-ml2，即可驗(yàn)證碰撞前后動(dòng)量守恒。

【分析】 １６題的第（３）問為北京物理試題中對學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究能力考查的至高點(diǎn)，考查遷移創(chuàng)新能力和創(chuàng)造能力，為拔尖創(chuàng)新人才的選拔預(yù)設(shè)了空間。非常巧妙的是“擺在最低點(diǎn)的速度如同弧的弦”。這一思想與教材常規(guī)方案中用位移大小替代速度大小測量有異曲同工之妙。要順利解決這個(gè)問題，首先，要求考生走出思維定式（比如，使用小角度下擺時(shí)弧長近似等于弦長；或使用單擺振動(dòng)周期規(guī)律去推證速度與弦長的關(guān)系等）；其次，要求考生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)，熟練應(yīng)用兩大守恒定律——機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒；第三，要求考生具備數(shù)理結(jié)合思維，發(fā)現(xiàn)擺在最低點(diǎn)的速度與其擺過的弦長成正比。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)的運(yùn)算工具，之于物理，猶如機(jī)之兩翼，在物理學(xué)習(xí)和研究過程中非常重要，北京卷物理試題一貫堅(jiān)持“用數(shù)學(xué)不唯數(shù)學(xué)”，不考查數(shù)學(xué)本身的繁冗復(fù)雜運(yùn)算。推證“擺在最低點(diǎn)的速度與其擺過的弦長成正比”過程中使用的具體的數(shù)學(xué)方法和路徑很多，可以使用余弦定理，也可以使用倍角公式或射影定理等。本題所用到的余弦定理、射影定理等數(shù)學(xué)知識和方法都是高中生熟知的且應(yīng)知應(yīng)會的數(shù)學(xué)方法，旨在考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力和素養(yǎng)。

本實(shí)驗(yàn)方案的創(chuàng)新設(shè)計(jì)源于牛頓等科學(xué)家的思想，但又較之更簡潔，開拓了學(xué)生的視野，激活了學(xué)生的思維。同時(shí)，要求學(xué)生走出日常題海戰(zhàn)術(shù)形成的思維定式，鮮明地傳播物理學(xué)習(xí)刷題不奏效，而重在提升問題解決能力這一思想，很好地發(fā)揮了高考試題的科學(xué)導(dǎo)向功能。

參考文獻(xiàn)：

［１］中華人民共和國教育部．普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版２０２０年修訂）［Ｓ］．北京：人民教育出版社，２０２０．

［２］牛頓．自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理［Ｍ］．趙振江，譯.北京：商務(wù)印書館，２００３．

（欄目編輯 劉 榮）