隨機(jī)事件獨(dú)立性的探究

摘 要：對(duì)隨機(jī)事件的獨(dú)立性進(jìn)行了探究，分析了兩個(gè)事件、三個(gè)事件獨(dú)立性的本質(zhì)，說(shuō)明條件的不可或缺性，并從多個(gè)角度給出了判斷事件獨(dú)立性的方法。通過(guò)數(shù)形結(jié)合闡述事件間相互獨(dú)立、互不相容和互不影響的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)一步加深對(duì)獨(dú)立性的理解。最后通過(guò)例題，證明相互獨(dú)立的三個(gè)事件的一些結(jié)論，并說(shuō)明三個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的不同。

關(guān)鍵詞：概率論 隨機(jī)事件 獨(dú)立性 相容

中圖分類號(hào)：O211.2-4

Exploration of the Independence of Random Events

FAN Feiya WU Wenbin YANG Zehui

China Maritime Police Academy， Ningbo， Zhejiang Province， 315801 China

Abstract： This article explores the independence of random events and analyzes the essence of the independence of two or three events， explains the indispensability of conditions， and proposes methods for judging event independence from multiple perspectives. By combining numbers and shapes， it explains the differences and connections between events that are mutually independent， incompatible， and have no impact on each other， we can further deepen our understanding of independence. Finally， through examples， it proves some conclusions about the three indeikb+hSAfuntWs+izu9qsHlue9HFSRL9mkQjyP+VnGak=pendent events and explains the differences between the pairwise independence and mutual independence of the three events.

Key Words： Probability theory; Random events; Independence; Compatible

隨機(jī)事件的獨(dú)立性是概率論中一個(gè)基本的概念，對(duì)多個(gè)事件概率的計(jì)算，隨機(jī)變量的數(shù)字特征等相關(guān)問(wèn)題，都有著重要的應(yīng)用。在教材中，通常是用公式來(lái)定義事件的獨(dú)立性，看似簡(jiǎn)潔明了，卻缺乏對(duì)獨(dú)立性的深刻闡述。這使得學(xué)生只知道用公式驗(yàn)證事件的獨(dú)立性，而對(duì)什么是獨(dú)立性，仍是一知半解[1]。劉淑環(huán)[2]與周越[3]對(duì)事件的獨(dú)立性進(jìn)行了粗略的探討，指出事件的獨(dú)立性就是事件在發(fā)生的可能性上沒(méi)有相互影響，但是沒(méi)有對(duì)獨(dú)立性進(jìn)行深刻剖析。本文先是對(duì)獨(dú)立性的本質(zhì)進(jìn)行探究，較全面地分析了事件的相互獨(dú)立、互不相容與互不影響的異同，并進(jìn)一步用例題加以說(shuō)明。

1 概念準(zhǔn)備

1.1 兩事件相互獨(dú)立

設(shè)是兩個(gè)事件，如果滿足等式，則稱事件相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立[4，5]。

1.2 三事件相互獨(dú)立

設(shè)是三個(gè)事件，如果滿足等式

則稱事件相互獨(dú)立[4，5]。

2 事件獨(dú)立的本質(zhì)

2.1 兩事件相互獨(dú)立的本質(zhì)

設(shè)有全集，事件，令表示中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，表示中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，表示中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。判斷與獨(dú)立的方法如下：

（1）通過(guò)獨(dú)立的定義得出

（2）當(dāng)時(shí)，的發(fā)生與否對(duì)的發(fā)生與否沒(méi)有影響，即[6]

（3）當(dāng)時(shí)，在中的占比等于在全集中的占比，或者在中的占比等于在中的占比[7]，即

或

2.2 三個(gè)事件相互獨(dú)立的本質(zhì)

設(shè)有全集，事件如圖1所示。

對(duì)于3個(gè)事件的相互獨(dú)立，除了要有與、與、與相互獨(dú)立，還要有與（或與、或與）相互獨(dú)立，這樣就能保證與形成的任何事件（或與形成的任何事件，或與形成的任何事件）都是獨(dú)立的，即有[8]

在上述小節(jié)1.2中，若只滿足條件（1）-（3），則稱事件是兩兩獨(dú)立。即一組事件中，任何一個(gè)事件發(fā)生都不會(huì)影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率。只有當(dāng)滿足（1）-（4）時(shí)，才稱事件是相互獨(dú)立。即一組事件中，任何個(gè)事件的發(fā)生都不會(huì)影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率。相互獨(dú)立包括兩兩獨(dú)立，但一般比兩兩獨(dú)立的要求更高一些。

2.3 事件的相互獨(dú)立、互不相容和互不影響

（1） 如圖2所示，。當(dāng)發(fā)生時(shí)，必然導(dǎo)致不發(fā)生，即的發(fā)生與否對(duì)的發(fā)生與否造成了影響，故與互不相容，相互不獨(dú)立，相互有影響。

（2）如圖3所示，。因，故與相互獨(dú)立，互不影響但是相容。

由（1）與（2）可知，當(dāng)時(shí)，相互獨(dú)立與互不影響等價(jià)，且有相互獨(dú)立與互不相容不能同時(shí)成立。

（3）當(dāng)時(shí)，不管或，都有

此時(shí)，與同時(shí)滿足相互獨(dú)立，互不影響以及互不相容。

（4）如圖4所示，：線段ef，：gbdh圍成的矩形，即，于是有：

此時(shí)，與滿足相互獨(dú)立與互不影響，但是與相容。

（5）如圖5所示，：線段ac，：S中去掉ac剩下的部分，即，于是有：

此時(shí)，與滿足相互獨(dú)立與互不相容，但是與相互有影響。

由上述（3）-（5）敘述可知，概率為的事件與任意事件獨(dú)立，但是兩事件獨(dú)立不一定沒(méi)有影響，兩事件無(wú)影響則一定相互獨(dú)立。

3 例題講解

例1 設(shè)三事件相互獨(dú)立，試證[9，10]：

（1）與相互獨(dú)立；

（2）與相互獨(dú)立；

（3）與相互獨(dú)立；

（4）與相互獨(dú)立。

解：因三事件相互獨(dú)立，由1.2得

（1）

故與相互獨(dú)立。

（2）故與相互獨(dú)立。

（3）

，故與相互獨(dú)立。

（4）

故與相互獨(dú)立。

當(dāng)三事件相互獨(dú)立時(shí)，必然會(huì)有與形成的任何事件都獨(dú)立，與形成的任何事件都獨(dú)立，與形成的任何事件都獨(dú)立。

例2 試驗(yàn)：拋擲一枚骰子兩次，：第一次擲出了一個(gè)偶數(shù)，：第二次擲出了一個(gè)偶數(shù)，：兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)，：試驗(yàn)的樣本空間。

解：用分別表示集合中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得

于是

從而有，即兩兩獨(dú)立，但是

即不是相互獨(dú)立。

對(duì)本題分析可知，因?yàn)椋园l(fā)生時(shí)，必有發(fā)生，與具有一定的依賴關(guān)系。且有

故的發(fā)生對(duì)造成了影響。

例3 班里共100個(gè)學(xué)生，有71人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)。其中參加跑步的有50人，參加跳遠(yuǎn)的有20人，參加游泳的有30人，跑步和跳遠(yuǎn)都參加的有9人，跑步和游泳都參加的有13人，跳遠(yuǎn)和游泳都參加的有10人，跑步，跳遠(yuǎn)和游泳三項(xiàng)都參加的有3人。試分析參加跑步的學(xué)生、參加跳遠(yuǎn)的學(xué)生和參加游泳的學(xué)生，這三個(gè)事件之間的獨(dú)立性。

解：記參加跑步的學(xué)生為，參加跳遠(yuǎn)的學(xué)生為，參加游泳的學(xué)生為，如圖6所示。

可得由形成的事件的概率分別為

從而有，但是

綜上所述，對(duì)于三個(gè)事件，即使有成立，也不一定有兩兩獨(dú)立，更別說(shuō)相互獨(dú)立了。

4 結(jié)語(yǔ)

獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念，在深刻理解事件獨(dú)立性的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把握事件的相互獨(dú)立、互不相容與互不影響的區(qū)別與聯(lián)系。如此，可以讓學(xué)生從本質(zhì)上理解事件的獨(dú)立性，在判斷多個(gè)事件的獨(dú)立性時(shí)更加邏輯清晰，條理分明。

參考文獻(xiàn)

[1]朱德剛，何念念，陳仕榮.關(guān)于獨(dú)立性的若干反例[J].高等數(shù)學(xué)研究，2019，22（1）：79-80，114.

[2]劉淑環(huán).隨機(jī)事件相互獨(dú)立和兩兩獨(dú)立性的探究[J].中小企業(yè)管理與科技（上旬刊），2019（4）：181-182.

[3]周越.隨機(jī)事件獨(dú)立性的三個(gè)認(rèn)識(shí)誤區(qū)[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2016，37（29）：164-165.

[4]盛驟，謝士千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[5]茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理教程[M].3版.北京：高等教育出版社，2019.

[6]程海奎，章建躍.通過(guò)隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)現(xiàn)象加深理解隨機(jī)思想[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（1）：9-14，19.

[7]段燕.淺析概率論的獨(dú)立性[J].呂梁教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，31（2）：99-100.

[8]程海奎，章建躍.用樣本空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象定義隨機(jī)事件的概率發(fā)展學(xué)生的隨機(jī)觀念[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（5）：1-9，17.

[9]楊芝艷.概率論中事件獨(dú)立性的幾個(gè)命題[J].佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（4）：277-278.

[10]韓燕玲.隨機(jī)事件的獨(dú)立性及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（14）：8-10.