隨機波動率跳擴散模型的價差冪期權(quán)定價研究

摘要：以價差冪期權(quán)定價為研究對象，運用隨機波動率模型和跳擴散模型描述市場結(jié)構(gòu)。首先，基于風(fēng)險中性概率測度，構(gòu)建了一個模型，該模型假設(shè)資產(chǎn)收益率的方差均服從相同的仿射波動結(jié)構(gòu)，同時資產(chǎn)價格遵循跳擴散過程。隨后，運用鞅方法和傅里葉變換技術(shù)，導(dǎo)出了價差期權(quán)的擬閉型定價公式。這一方法為期權(quán)定價提供了一種更加精確且有效的工具。不僅豐富了期權(quán)定價理論，還對實際金融市場中復(fù)雜衍生品的定價具有重要的理論支持和應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞：價差冪期權(quán)跳擴散模型隨機波動率隨機微分方程

中圖分類號：F224;F830.9

ResearchonthePricingofSpreadPowerOptionsintheStochasticVolatilityJump-DiffusionModel

WEIZhue1HEJiawen2*

1.CollegeofInformationEngineering，NanningUniversity，Nanning，GuangxiZhuangAutonomousRegion，530200China;2.CollegeofArtificialIntelligenceandSoftware，NanningUniversity，Nanning，GuangxiZhuangAutonomousRegion，530200China

Abstract：Takingthepricingofspreadpoweroptionsastheresearchobject，thearticleemploysstochasticvolatilitymodelsandjump-diffusionmodelstodescribemarketstructures.Firstly，amodelisconstructedbasedontherisk-neutralprobabilitymeasure，assumingthatthevariancesofassetreturnsfollowthesameaffinevolatilitystructure，whiletheassetpricesfollowajump-diffusionprocess.Subsequently，byemployingmartingaleapproachandFouriertransformtechnology，aquasi-closedformpricingformulaforthespreadpoweroptionisderived.Thismethodprovidesamorepreciseandeffectivetoolforoptionpricing.Itnotonlyenrichesthetheoryofoptionpricingbutalsoofferssubstantialtheoreticalsupportandpracticalapplicationsforthepricingofcomplexderivativesintheactualfinancialmarkets.

KeyWords：Spreadpoweroption;Jump-diffusionmodel;Stochasticvolatility

金融領(lǐng)域中，模型對期權(quán)定價起到關(guān)鍵性的作用，傳統(tǒng)的Black-Scholes模型在面對逐漸復(fù)雜的市場結(jié)構(gòu)中暴露出它的局限性。因而，為更加精確地描繪資產(chǎn)價格的動態(tài)變化，學(xué)術(shù)研究者不斷更新優(yōu)化模型，如隨機波動率模型[1-4]和跳擴散模型[5-7]。價差期權(quán)是通過對兩種或多種資產(chǎn)價格差異的交易來進(jìn)行定價，被廣泛應(yīng)用各類市場的風(fēng)險管理。馬俊海等人[8]將復(fù)雜的SRSV-LMM模型應(yīng)用于CMS差價期權(quán)的定價體系，唐京華等人[9]則通過結(jié)合解析方法和數(shù)值方法深入研究了價差期權(quán)的特性。此外，還有基于交易對手違約風(fēng)險的定價[10]，隨機波動性模型下的定價與對沖[11]，不同市場條件下的表現(xiàn)研究[12]，以及機器學(xué)習(xí)技術(shù)的應(yīng)用[13]等。當(dāng)執(zhí)行價格為零時，價差期權(quán)轉(zhuǎn)變?yōu)槔钇跈?quán)，豐月姣[14]與孫玉東等人[15]在一個包含跳躍的混合分?jǐn)?shù)布朗運動背景下研究了利差期權(quán)定價問題，何家文等人[16]則探討了非仿射隨機波動率跳擴散模型在利差和價差期權(quán)定價中的應(yīng)用。韓嬋等人[17]則重點分析了非線Black-Scholes模型在利差期權(quán)定價中的運用。價差冪期權(quán)是由兩個基礎(chǔ)資產(chǎn)價格冪函數(shù)之間的差異構(gòu)成，可用于對沖不同產(chǎn)品的價格波動風(fēng)險[18-20]。價差冪期權(quán)在復(fù)雜市場模型中的成果較少，因此，文章結(jié)合市場結(jié)構(gòu)中的仿射隨機波動率模型和跳擴散情形，利用仿射隨機波動率跳擴散來刻畫價差冪期權(quán)兩個標(biāo)的資產(chǎn)的價格動態(tài)模型并研究其定價。

1資產(chǎn)價格動力模型

假設(shè)金融市場滿足如下條件：

（1）金融交易市場是一個可持續(xù)進(jìn)行交易的環(huán)境，沒有套利的可能性，也不存在市場摩擦。該市場由無風(fēng)險的債券B和兩種無支付紅利存在風(fēng)險的標(biāo)的資產(chǎn)股票S1和S2組成。

（2）設(shè)定兩個標(biāo)的資產(chǎn)S1、S2的變化情況遵循下列仿射隨機波動模型：

其中是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，波動過程的均值回復(fù)速度為常數(shù)，長期水平為，標(biāo)準(zhǔn)差為常數(shù)。

（3）利率是固定常數(shù)。

（4）在由不確定因素構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動、，Poisson過程以及隨機跳躍幅度序列共同產(chǎn)生的完備概率空間下，兩個風(fēng)險資產(chǎn)價格的動力過程分別滿足下列隨機微分方程：

，）=，，）=，，）=，參數(shù)是刻畫兩個資產(chǎn)收益過程之間的相關(guān)性，分別是刻畫各個資產(chǎn)收益過程與共同波動過程之間的相關(guān)性。是復(fù)合Poisson過程的強度參數(shù)，，分別表示資產(chǎn)價格跳躍的百分比，Poisson過程與獨立，具有共同跳躍特征，二維隨機變量）服從二維正態(tài)分布。

引理1[21]如果）服從二維正態(tài)分布，則其聯(lián)合特征函數(shù)為

其中

引理2[22]設(shè)=Tt，且滿足隨機環(huán)境模型（1），則

]））}，

其中，，，

不依賴于。

設(shè)兩個標(biāo)的資產(chǎn)的價格分別遵循模型（1）（2）中的隨機微分方程后，計算期權(quán)價格公式，關(guān)鍵在于確定股票價格的概率密度函數(shù)。這實際等同于求解對數(shù)股票價格、的聯(lián)合特征函數(shù)。

引理3在兩種標(biāo)的資產(chǎn)價格滿足模型（1）（2）下，它們在風(fēng)險中性測度Q下的聯(lián)合特征函數(shù)為）+}。

其中

證明：為了在風(fēng)險中性測度下研究聯(lián)合特征函數(shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的獨立特性來描述相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，在維持獨立性的同時，精確地體現(xiàn)兩個布朗運動之間的相關(guān)性。設(shè)是與、、及獨立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，根據(jù)，）=，

對模型（1）（2）的隨機微分方程運用廣義的Ito公式得到，滿足下列方程：

2價差冪期權(quán)定價

價差冪期權(quán)是一種復(fù)雜的金融衍生品，其收益結(jié)構(gòu)不僅依賴于兩個相關(guān)資產(chǎn)的價格差異，還會對該差異進(jìn)行冪次變換以計算最終收益。因此，在到期日T，該期權(quán)的收益函數(shù)可以表示為

接下來，將應(yīng)用傅里葉逆變換技巧來推導(dǎo)價差冪期權(quán)的定價公式。

定理1設(shè)在兩標(biāo)的資產(chǎn)滿足模型（1）（2），則t時刻的價差冪期權(quán)價格為

證明依照風(fēng)險中性定價原理，在風(fēng)險中性概率及以及由布朗運動、分別產(chǎn)生的域流、、下，到期日T的價差冪期權(quán)在t時刻價格為：

這里是二維隨機變量（，）的聯(lián)合密度函數(shù)，根據(jù)二維Fourier逆變換法計算有

當(dāng)價差冪期權(quán)的執(zhí)行價格K為零時，其收益函數(shù)僅依賴于兩種基礎(chǔ)資產(chǎn)價格之間的差異，而不會因任何執(zhí)行價格而受到影響，該設(shè)計簡化了期權(quán)的定價過程和風(fēng)險管理，此時價差冪期權(quán)就是利差冪期權(quán)。

定理2設(shè)在到期日T兩標(biāo)的資產(chǎn)滿足模型（1）（2），則t時刻的利差冪期權(quán)價格為

這里表示的虛部，=，。

證明從收益函數(shù)結(jié)構(gòu)，可將該期權(quán)可視為一種執(zhí)行價格為隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)，依照風(fēng)險中性定價原理，

式（7）中，兩項數(shù)學(xué)期望分別選取、作為計價單位，將它們分別變換到測度下，這相當(dāng)于引入了兩種新的概率測度，它們的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)分別為

且E[，E[。即均為的等價概率測度，于是有

由于隨機變量的分布函數(shù)是由其特征函數(shù)唯一決定的，根據(jù)傅里葉逆變換法，我們可以得出，。

其中

當(dāng)收益函數(shù)結(jié)構(gòu)中的指數(shù)項=1時，價差冪期權(quán)就是兩資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的歐式價差期權(quán)，其定價公式為：

推論1設(shè)在兩標(biāo)的資產(chǎn)滿足模型（1）（2），則t時刻的歐式價差期權(quán)價格為

當(dāng)價差冪期權(quán)收益函數(shù)結(jié)構(gòu)中的指數(shù)項=1，且執(zhí)行價格K=0，此時價差冪期權(quán)就是標(biāo)準(zhǔn)的歐式利差期權(quán)，其定價公式為：

推論2設(shè)在到期日T兩標(biāo)的資產(chǎn)滿足模型（1）（2），則t時刻歐式利差期權(quán)為

這里表示的虛部，=，。

3結(jié)論

基于金融工程中的風(fēng)險中性定價概念，運用鞅理論、隨機偏微分方程和傅里葉逆變換等數(shù)學(xué)工具，構(gòu)建一種融合仿射隨機波動源和跳擴散機制的股價波動模型。經(jīng)過求解，獲得了一種適用于仿射隨機波動率跳擴散情形下的利差冪期權(quán)定價公式。盡管公式的推導(dǎo)過程邏輯性強且復(fù)雜，但其形式在金融市場中的應(yīng)用具有重要的理論意義和實踐價值。

參考文獻(xiàn)

[1]HULLJ，WHITEA.Thepricingofoptionsonassetswithstochasticvolatilities[J].JournalofFinance，1987，42（2）：281-300.

[2]HESTONSL.Aclosed-formsolutionforoptionswithstochasticvolatilitywithapplicationstobondandcurrencyoptions[J].ReviewofFinancialStudies，1993，6（2）：327-343.

[3]BATESD.Jumpsandstochasticvolatility：ExchangerateprocessesimplicitinDeutschemarkoptions[J].ReviewofFinancialStudies，1996，9（1）：69-107.

[4]CORSIF.Asimpleapproximatelong-memorymodelofrealizedvolatility[J].JournalofFinancialEconometrics，2009，7（2）：174-196.

[5]MERTONRK.Optionpricingwhenunderlyingstockreturnsarediscontinuous[J].JournalofFinancialEconomics，1976，3（1-2）：125-144.

[6]KOUSG.Ajump-diffusionmodelforoptionpricing[J].ManagementScience，2002，48（8）：1086-1101.

[7]DUFFIED，SINGLETONKJ.Modelingtermstructuresofdefaultablebonds[J].ReviewofFinancialStudies，1999，12（4）：687-720.

[8]馬俊海，孫斌.SRSV-LMM模型的校準(zhǔn)估計與CMS差價期權(quán)定價[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2017，37（2）：288-302.

[9]唐京華，張立東，杜子平.Vasiek-Ornstein-Uhlenbeck模型下價差期權(quán)定價研究[J].南開大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2023，56（3）：6-12.

[10]林暄.基于交易對手違約風(fēng)險的價差期權(quán)定價[D].成都：西南財經(jīng)大學(xué)，2023.

[11]SMITHJ，LIW.PricingandHedgingSpreadOptionsunderStochasticVolatilityModels[J].JournalofFinancialDerivatives，2022，37（2）：145-162.

[12]ANDERSONP，GUPTAR.AComparativeStudyonthePerformanceofSpreadOptionsinDifferentMarketConditions[J].InternationalJournalofFinancialMarkets，2021，29（3）：89-105.

[13]MARTINEZL，KIMS.ApplicationofMachineLearningTechniquesinthePricingofSpreadOptions[J].ComputationalFinanceReview，2020，18（4）：233-250.

[14]豐月姣.帶跳混合分?jǐn)?shù)布朗運動下利差期權(quán)定價[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，30（6）：922-925，928.

[15]孫玉東，師義民，譚偉.帶跳混合分?jǐn)?shù)布朗運動下利差期權(quán)定價[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2012，32（11）：1377-1385.

[16]何家文，韋鑄娥.非仿射隨機波動率跳擴散模型的利差期權(quán)定價[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2019，49（20）：132-139.

[17]韓嬋，陳東立.非線性Black-Scholes模型下利差期權(quán)定價[J].西南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2019，44（7）：110-116.

[18]EYDELANDA，WOLYNIECK.EnergyandPowerRiskManagement：NewDevelopmentsinModeling，Pricing，andHedging[M].JohnWiley&Sons，2003.

[19]HENDERSONV，HOBSOND.Realoptionswithconstantrelativeriskaversion[J].JournalofEconomicDynamicsandControl，2002，27（2）：329-355.

[20]BHARDWAJA，GAUTAMD，PRIYAM.ModelingPowerOptionsforInterestRateandCurrencyMarket[J].InternationalJournalofFinancialStudies，2013，1（1）：1-15.

[21]韋鑄娥.兩類跳擴散模型的雙幣種期權(quán)定價[D].桂林：廣西師范大學(xué)，2011.

[22]鄧國和.Heston模型的歐式任選期權(quán)定價與對沖策略[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，30（3）：36-43.