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    多視角探討圓錐曲線中的面積最值問題

    2024-11-06 00:00:00賀鳳梅李昌成
    數(shù)理化解題研究·高中版 2024年10期

    摘要:以圓錐曲線為背景的最值問題是近幾年高考及??嫉臒狳c(diǎn),其內(nèi)容豐富,涵蓋了代數(shù)、幾何及三角、向量等章節(jié)中的眾多知識(shí),還涉及到許多解題技巧.容量大、綜合性強(qiáng)、相互滲透是最值問題的基本特征,往往考查考生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

    關(guān)鍵詞:圓錐曲線;面積;最值

    中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2024)28-0002-04

    圓錐曲線中含參的三角形面積最值的求解是高考及??嫉某?碱}型.它有效考查圓錐曲線的性質(zhì),解析幾何中設(shè)而不求、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想,符合課程標(biāo)準(zhǔn)中“對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和方法為基礎(chǔ)”的要求[1].下文以橢圓為載體例析圓錐曲線中三角形面積的最值求法.

    1試題呈現(xiàn)

    題目已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,離心率e=22,過點(diǎn)F2作不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),且△ABF1的周長(zhǎng)為42.

    (1)求橢圓E的方程;

    (2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,求△F1BC的面積的最大值.

    2總體分析

    本題是2023年11月中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷測(cè)試第21題,是圓錐曲線壓軸題.此題入口寬,可以設(shè)直線BC方程為切入點(diǎn),結(jié)合A,F(xiàn)2,B三點(diǎn)共線,找到m,k之間的關(guān)系,得出直線BC過定點(diǎn);可以選擇設(shè)直線AB方程為切入點(diǎn),結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,推導(dǎo)直線BC的解析式,得出過定點(diǎn);可以設(shè)直線的斜截式、點(diǎn)斜式、橫截式,再得出面積的解析式,最終求出面積的最大值.當(dāng)然,不同的處理方式,思維量不同,運(yùn)算量不同.

    3試題解答

    3.1第(1)問解析

    解析橢圓E的方程為x22+y2=1.

    3.2第(2)問解析

    解法1以直線BC的斜截式方程為切入點(diǎn).

    設(shè)直線BC的方程為y=kx+m,B(x1,y1),

    C(x2,y2),A(x2,-y2),

    聯(lián)立y=kx+m,x2+2y2-2=0, 整理,得

    (2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0 ,且△>0.

    即2k2-2m2+1>0.①

    由根與系數(shù)的關(guān)系,得

    x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-22k2+1.②

    因?yàn)锳,F(xiàn)2,B三點(diǎn)共線,所以AF2∥BF2.

    而AF2=(1-x2,y2),BF2=(1-x1,-y1),

    所以(1-x2)(-y1)-(1-x1)y2=0,

    且y1=kx1+m,y2=kx2+m.

    代入整理,得

    2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0.

    結(jié)合②,得

    2k·2m2-22k2+1+(m-k)(-4k22k2+1)-2m=0,

    解得m=-2k.

    代入①易得k2<12.

    此時(shí)直線BC方程為y=k(x-2).

    即直線BC過定點(diǎn)(2,0).

    弦長(zhǎng)|BC|=1+k2|x1-x2|,

    點(diǎn)F1到BC距離為d=3|k|k2+1.

    所以△F1BC的面積為

    S=12|BC|·d

    =32|k|(x1+x2)2-4x1x2

    =3k2(2-4k2)(2k2+1)2.

    設(shè)2k2+1=t>1,

    則S=3(t-1)(2-t)t2

    =3-2(1t-34)2+18

    ≤324,

    當(dāng)1t=34,即k2=16(滿足k2<12)時(shí),面積取最大值324.

    評(píng)注此解法從直線BC方程的斜截式入手,結(jié)合A,F(xiàn)2,B三點(diǎn)共線,得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)的聯(lián)系,再借助于根與系數(shù)的關(guān)系,找到m,k之間的關(guān)系式,得出直線BC過定點(diǎn),最后建立三角形面積的目標(biāo)函數(shù),合理轉(zhuǎn)化及換元,得出面積的最大值.

    解法2以直線AB的點(diǎn)斜式方程為切入點(diǎn).

    設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),

    B(x2,y2),C(x1,-y1),

    聯(lián)立y=k(x-1),x2+2y2-2=0, 整理,得

    (2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0 ,且△>0.

    由根與系數(shù)的關(guān)系,得

    x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.

    通過觀察及計(jì)算易得

    2x1x2=3(x1+x2)-4.③

    BC的方程為y=y2+y1x2-x1(x-x1)-y1.

    又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),

    化簡(jiǎn)可得

    y=kx2-x1[(x1+x2-2)x+x1+x2-2x1x2].④

    同時(shí)結(jié)合③繼續(xù)化簡(jiǎn)整理,得

    y=k(x1+x2-2)x2-x1(x-2).

    所以直線BC過定點(diǎn)(2,0).

    下同解法1,面積的最大值為324.

    評(píng)注此種設(shè)直線的方法是學(xué)生最容易想到的,但此解法計(jì)算量很大,尤其是借助于相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線BC的方程,進(jìn)一步化簡(jiǎn)得出解析式④后,再結(jié)合③式得出直線BC過定點(diǎn)(2,0)是非常困難的.

    解法3以直線AB的橫截式方程為切入點(diǎn).

    設(shè)直線AB的方程為x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),

    聯(lián)立x=ty+1,x2+2y2-2=0, 整理,得

    (t2+2)y2+2ty-1=0 ,且△>0.

    由根與系數(shù)的關(guān)系,得

    y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-1t2+2.

    通過觀察及計(jì)算易得

    y1+y2=2ty1y2.⑤

    BC的方程為y=y2+y1x2-x1(x-x1)-y1,

    又x1=ty1+1,x2=ty2+1,

    同時(shí)結(jié)合⑤化簡(jiǎn)整理,得

    y=y1+y2t(y2-y1)(x-2).

    所以直線BC過定點(diǎn)(2,0).

    不妨設(shè)BC的方程為x=my+2,

    聯(lián)立x=my+2,x2+2y2-2=0,整理,得

    (m2+2)y2+4my+2=0.

    所以yB+yC=-4mm2+2,yByC=2m2+2.

    點(diǎn)F1到BC距離為d=3m2+1,

    所以△F1BC的面積為

    S=12|BC|·d

    =121+m2|yB-yC|·d

    =32(yB+yC)2-4yByC

    =32m2-2(m2+2)2.

    設(shè)m2+2=λ>2,

    則S=32λ-4λ2

    =32-4(1λ-18)2+116

    ≤324,

    當(dāng)1t=18,即m2=6時(shí),面積取最大值324.

    評(píng)注受到解法2的啟發(fā),設(shè)直線AB的橫截式方程,發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)關(guān)系中的y1y2與y1+y2更直觀簡(jiǎn)潔,直線BC的處理方法與解法2異曲同工,簡(jiǎn)化解析式后代入相應(yīng)的根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,不再贅述.

    解法4以直線BC的橫截式方程為切入點(diǎn).

    設(shè)直線BC的方程為x=ty+n,B(x1,y1),

    C(x2,y2),A(x2,-y2),

    聯(lián)立x=ty+n,x2+2y2-2=0, 整理,得

    (t2+2)y2+2tny+n2-2=0 ,且△>0.

    由根與系數(shù)的關(guān)系,得

    y1+y2=-2tnt2+2,y1y2=n2-2t2+2.⑥

    因?yàn)锳,F(xiàn)2,B三點(diǎn)共線,所以AF2∥BF2.

    而AF2=(1-x2,y2),BF2=(1-x1,-y1),

    所以(1-x2)(-y1)-(1-x1)y2=0,

    且x1=ty1+n,x2=ty2+n.

    代入整理,得2ty1y2+(n-1)(y1+y2)=0.

    結(jié)合⑥,得

    2t·n2-2t2+2+(n-1)(-2tnt2+2)=0,

    解得n=2.

    所以直線BC過定點(diǎn)(2,0).

    下同解法1或解法2,面積的最大值為324.

    評(píng)注此法從設(shè)直線BC的橫截式

    方程入手,結(jié)合A,F(xiàn)2,B三點(diǎn)共線,與解法1處理方式相似,但計(jì)算量明顯減少很多.

    解法5以直線AB的點(diǎn)斜式方程和平面向量為突破口.

    設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),

    結(jié)合解法2得x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.

    所以BF1=(-1-x2,-y2),CF1=(-1-x1,y1),

    △BCF1的面積

    S=12|(-1-x2)y1-(-1-x1)(-y2)|

    =12|(1+x2)y1+(1+x1)y2|

    =12|(1+x2)·k(x1-1)+(1+x1)·k(x2-1)|

    =|k(x1x2-2)|

    =|3k2k2+1|

    =32|k|+1/|k|

    ≤322=324.

    故面積的最大值為324.

    評(píng)注此法需要用到向量坐標(biāo)表示時(shí)的面積公式,簡(jiǎn)述如下:△ABC中,已知AB=(x1,y1),AC=(x2,y2),則△ABC的面積為S=12|x1y2-x2y1|.具體證明思路為:利用向量的數(shù)量積求出cos∠BAC,轉(zhuǎn)化為正弦后代入面積公式,進(jìn)一步化簡(jiǎn)整理可得.感興趣的同仁們不妨一試!此公式在2022年新高考Ⅰ卷解析幾何大題中也可以使用.

    4試題鏈接

    (哈師大附中2021年高三期末試題20)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離為2,若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)也為F,離心率為12.

    (1)求拋物線方程和橢圓方程;

    (2)若不經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且OA·OB=-3(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn),求△CDF面積的最大值.

    簡(jiǎn)析(1) 拋物線方程為y2=4x,橢圓方程為x24+y23=1.

    (2)設(shè)直線l的方程為my=x+n,與拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合OA·OB=-3可求出n,再聯(lián)立直線與橢圓,即可求出弦長(zhǎng)表示出△CDF的面積,合理換元,最終求出最值233.

    5結(jié)束語

    圓錐曲線中的最值問題類型較多,方法靈活多變.基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系,關(guān)鍵是選一個(gè)合適的變量,原則是該變量可以表達(dá)要解決的問題,可以是直線的斜率、截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等,同時(shí)需要借助二次函數(shù)求最值、判別式、基本不等式或?qū)?shù)法來解決,要根據(jù)不同的實(shí)際情況靈活處理.解析幾何變換多,思維量大,需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中不斷積累經(jīng)驗(yàn),還要多一些細(xì)心、耐心,才能學(xué)好解析幾何[2].

    參考文獻(xiàn):

    [1]

    陳崇榮.圓錐曲線中三角形面積的最值求法探析[J].高中數(shù)理化,2014(21):23-24.

    [2]王國松.橢圓中面積最值問題的解題策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2015(14):41-43.

    [責(zé)任編輯:李璟]

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