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    一道2023年高考題的深入探討

    2024-11-06 00:00:00林國(guó)紅
    數(shù)理化解題研究·高中版 2024年10期

    摘要:文章對(duì)2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷的第9題進(jìn)行探究,給出兩種解法,并對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行深入探討,得到一個(gè)相關(guān)推廣命題的兩種嚴(yán)格證明.

    關(guān)鍵詞:新高考;樣本的數(shù)字特征;平移不變性;情境

    中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2024)28-0095-04

    2023年新高考Ⅰ卷第9題是多項(xiàng)選擇題,試題考查樣本數(shù)據(jù)的基本數(shù)字特征:樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、極差概念的理解.不僅注重試題的基礎(chǔ)性,而且使基礎(chǔ)知識(shí)的考查和能力的考查有機(jī)結(jié)合,較好地體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)中數(shù)字特征的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查,對(duì)于考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí),尋找合理的解題策略有較高的要求.筆者對(duì)此題進(jìn)行解答,對(duì)并選項(xiàng)C進(jìn)行深入探討,與大家分享.

    1試題的呈現(xiàn)與解答

    題目有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則().

    A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)

    B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)

    C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差

    D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差

    解法1對(duì)于選項(xiàng)A:設(shè)x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為m,x1,x2,…,x6的平均數(shù)為n,則

    n-m=x1+x2+…+x66

    -x2+x3+x4+x54

    =2(x1+x6)-(x2+x3+x4+x5)12.

    因?yàn)椴荒艽_定2(x1+x6)與x2+x3+x4+x5的大小關(guān)系,所以無法判斷m,n的大小,故A錯(cuò)誤.

    對(duì)于選項(xiàng)B:不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,可知x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù),均為x3+x42,故B正確.

    對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的離散程度和波動(dòng)程度,直觀上看,去掉數(shù)據(jù)的最小值x1,最大值 x6,標(biāo)準(zhǔn)差不會(huì)變大.特別地,當(dāng)x1<x6,且x2=

    x3=x4=x5時(shí),x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差大于零,x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差等于零,此時(shí)x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差,故C錯(cuò)誤.

    對(duì)于選項(xiàng)D:不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,則x6-x1≥x5-x2,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2,x5=x6時(shí),等號(hào)成立,故D正確.

    故選BD.

    解法2本題作為多項(xiàng)選擇題也可以用排除法作答:取x1,x2,…,x6為1,1,1,1,1,7,則x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為1,x1,x2,…,x6的平均數(shù)為2,故A錯(cuò)誤;

    x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差為0,x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差顯然大于0,故C錯(cuò)誤.

    故選BD.

    2選項(xiàng)C的深入探究

    選項(xiàng)C表明:樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6去掉最大值和最小值后,標(biāo)準(zhǔn)差不大于原來的標(biāo)準(zhǔn)差.這個(gè)事實(shí)看起來自然,但應(yīng)如何嚴(yán)格證明呢?

    《高考試題分析》第150頁(yè)至151頁(yè)提供了一種證法,為了比較不同證法之間的差異,將其證明過程摘錄如下(作為證法1)[1].

    證法1(1)若x1,x2,…,x6全相等,則x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差等于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差,都為0.

    (2)若x1,x2,…,x6不全相等,不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,且x-=16(x1+x2+…+x6)=0(否則可把數(shù)據(jù)整體向左平移x-).此時(shí)必有x1<0,x6>0.記x1,x2,…,x6標(biāo)準(zhǔn)差為s1,x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差為s2.

    (?。┤魓1<0≤x2≤x3≤…≤x6,則

    x6=-(x1+x2+…+x5)≤-x1=|x1|,

    且當(dāng)2≤i≤5時(shí),有0≤xi≤x6.

    故x2≤15(x2+…+x6)=-15x1<-x1=|x1|.

    故∑5i=2x2i<2(x26+x21).

    (ⅱ)若x1≤x2≤0≤x3≤…≤x6,則

    當(dāng)3≤i≤5時(shí),有0≤xi≤x6,且

    x3≤14(x3+…+x6)=-14(x1+x2)

    ≤-12x1<-x1=|x1|.

    故∑5i=2x2i<2(x26+x21).

    (ⅲ)若x1≤…≤x5≤0≤x6,與(?。╊愃瓶傻谩?i=2x2i<2(x26+x21).

    (ⅳ)若x1≤…≤x4≤0≤x5≤x6,與(ⅱ)類似可得∑5i=2x2i<2(x26+x21).

    綜上,在(?。?(ⅳ)的情況下,有∑5i=2x2i<2(x26+x21)成立,從而

    s22=14∑5i=2x2i-(-x1+x64)2=16∑5i=1x2i+112[∑5i=2x2i-2(x21+x26)]-(x1+x64)2<16∑5i=1x2i=s21.

    因此在(ⅰ)-(ⅳ)的情況下,x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差.

    (ⅴ)若x1≤x2≤x3≤0≤x4≤x5≤x6,則

    x23≤x22≤x21,x24≤x25≤x26.

    從而s22≤14∑5i=2x2i≤16∑5i=1x2i=s21,

    二者相等當(dāng)且僅當(dāng)s22=14∑5i=2x2i=16∑5i=1x2i,也即x1=x2=x3=-x4=-x5=-x6.

    因此在(ⅴ)情況下,x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=-x4

    =-x5=-x6時(shí),x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差等于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差.

    綜合上述討論,x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差小于或等于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差.

    評(píng)注證法1有幾個(gè)難點(diǎn):①為什么可取x-=16(x1+x2+…+x6)=0?②“否則可把數(shù)據(jù)整體向左平移x-”是什么意思?③等式s22=14∑5i=2x2i-(-x1+x64)2省略較多的步驟,較難看懂.④證明過程要分多種情況進(jìn)行討論,思維難度大.

    有沒有更易理解的證法呢?下面考慮

    x1≤x2≤…≤xn(n≥3)個(gè)數(shù)據(jù)的情形:

    命題設(shè)x1≤x2≤…≤xn(n≥3),記x=x1+x2+…+xnn,x-=x2+x3+…+xn-1n-2,s21=

    1n∑nk=1(xk-x)2,s22=1n-2∑n-1k=2(xk-x-)2,則s22≤s21.

    為了更好地證明上述命題,先給出三個(gè)引理:

    引理1設(shè)x1,x2,…,xn的方差為s2x,y1,y2,…,yn的方差為s2y,其中yi=xi+b(i=1,2,…,n),b為非零常數(shù),則s2x=s2y.

    引理1的證明設(shè)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x-,則x-=1n∑ni=1xi,s2x=1n∑ni=1(xi-x-)2.

    因?yàn)閥i=xi+b(i=1,2,…,n),

    所以y1,y2,…,yn的平均數(shù)為

    y-=1n∑ni=1(xi+b)=1n∑ni=1xi+b=x-+b.

    從而s2y=1n∑ni=1[(xi+b)-(x-+b)]2

    =1n∑ni=1(xi-x-)2=s2x.

    評(píng)注引理1實(shí)際上是教材(人教A版2019年版)必修第二冊(cè)213頁(yè)練習(xí)題的第2題,此性質(zhì)稱為方差的平移不變性.

    引理2設(shè)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x-,方差為s2,x21,x22,…,x2n的平均數(shù)為m,則s2=m-x-2.

    引理2的證明因?yàn)閙=1n(∑nk=1x2k),所以

    s2=1n∑nk=1(xk-x-)2=1n[(∑nk=1x2k)-nx-2]=1n(∑nk=1x2k)-x-2=m-x-2.

    引理3對(duì)于x1≤x2≤…≤xn(n≥3),且x1+x2+…+xn=0,則∑nk=1x2k≤n2(x21+x2n).

    引理3的證明因?yàn)閤1≤x2≤…≤xn,且x1+x2+…+xn=0,當(dāng)x1=xn時(shí),則x1=x2=…=xn=0,引理顯然成立.

    當(dāng)x1≠xn時(shí),則必有x1<0<xn.

    設(shè)A(x1,x21),B(xn,x2n),則直線AB的斜率為

    k=x2n-x21xn-x1=xn+x1,

    直線AB方程為y=(xn+x1)x-x1xn.

    由于函數(shù)y=x2是下凸函數(shù),可知點(diǎn)(xk,x2k)

    (k=1,2,…,n)在割線AB的下方或在割線上,于是

    x2k≤(xn+x1)xk-x1xn.

    所以∑nk=1x2k≤(xn+x1)∑nk=1xk-nx1xn=-nx1xn≤n×x21+x2n2=n2(x21+x2n),等號(hào)當(dāng)xk∈{x1,xn},且x1+xn=0時(shí)取得.

    下面證明命題.

    證法2由x1≤x2≤…≤xn(n≥3),根據(jù)方差的平移不變性(引理1),不妨設(shè)最大值xn=A,最小值x1=-A(A≥0).

    記x-=x2+x3+…+xn-1n-2,

    y-=x22+x23+…+x2n-1n-2,

    s22=1n-2∑n-1k=2(xk-x-)2,

    由引理2,得s22=y--x-2.

    因?yàn)閤1,x2,…,xn的平均數(shù)為

    (n-2)x-+A+(-A)n=(n-2)x-n,

    x21,x22,…,x2n的平均數(shù)為(n-2)y-+2A2n.

    由引理2,可得x1,x2,…,xn的方差

    s21=(n-2)y-+2A2n-[(n-2)x-n]2.

    因?yàn)锳是最大值,所以A2≥y-,且n≥3.

    于是s21-s22=(n-2)y-+2A2n-[(n-2)x-n]2-(y--x-2)=2(A2-y-)n+4(n-1)x-2n2≥0.

    所以s22≤s21,命題得證.

    證法3由x1≤x2≤…≤xn(n≥3),則

    x=x1+x2+…+xnn=1n∑nk=1xk.

    設(shè)yi=xi-x=xi-1n∑nk=1xk(i=1,2,…,n),

    則有y1≤y2≤…≤yn(n≥3),且

    y1+y2+…+yn=∑nk=1yk=∑nk=1xk-nx=∑nk=1xk-n×1n∑nk=1xk=0.

    記y=y1+y2+…+ynn=1n∑nk=1yk=0,

    y-=y2+y3+…+yn-1n-2,

    s2y1=1n∑nk=1(yk-y)2,

    s2y2=1n-2∑n-1k=2(yk-y-)2.

    由引理3,可得y21+y2n≥2n∑nk=1y2k.

    由引理2,得

    s2y2=1n-2∑n-1k=2(yk-y-)2=1n-2∑n-1k=2y2k-y-2.

    所以s2y2=1n-2∑n-1k=2(yk-y-)2=1n-2∑n-1k=2y2k-y-2

    ≤1n-2∑n-1k=2y2k

    =1n-2

    [(∑nk=1y2k)-(y21+y2n)]

    ≤1n-2·[(∑nk=1y2k)-2n∑nk=1y2k]

    =1n-2×n-2n∑nk=1y2k

    =1n∑nk=1y2k=1n∑nk=1(yk-y)2=s2y1.

    又根據(jù)方差的平移不變性(引理1),可得

    s21=s2y1,s22=s2y2.

    所以s22≤s21.

    當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),取等條件為所有數(shù)均相等;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),取等條件為一半數(shù)為最大數(shù)且另一半數(shù)為最小數(shù).

    綜上所述,命題得證.

    評(píng)注①當(dāng)x1≤x2≤…≤x6時(shí),由命題可知,x2,x3,x4,x5的方差不大于x1,x2,…,x6的方差,即x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差(取等條件是一半數(shù)為最大數(shù)且另一半數(shù)為最小數(shù)),所以原試題的選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的.②對(duì)比三種證法,證法2與證法3不需要分類討論,證明更具一般性,證法2的證明過程直觀、簡(jiǎn)潔;證法3所用的引理3,結(jié)合下凸函數(shù)、直線方程與均值不等式等相關(guān)知識(shí),證法新穎獨(dú)到,別具一格.此外,證法3還說明了證法1中“且x-=16(x1+x2+…+x6)=0(否則可把數(shù)據(jù)整體向左平移x-)”的原因.

    3結(jié)束語(yǔ)

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中多次出現(xiàn)“情境”一詞,《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》也規(guī)定了高考的考查載體——情境,并以此承載考查內(nèi)容,實(shí)現(xiàn)考查要求.數(shù)學(xué)情境是高考評(píng)價(jià)體系中最重要的創(chuàng)新之一,是實(shí)現(xiàn)“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的考查目標(biāo)的載體.數(shù)學(xué)試題情境一般取材于學(xué)生生活中的真實(shí)問題,貼近學(xué)生實(shí)際,具有現(xiàn)實(shí)意義,具備研究?jī)r(jià)值.本題的情境是學(xué)生所熟悉的,源于比賽或評(píng)比中常用的“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分”的計(jì)分方式,引導(dǎo)考生從數(shù)學(xué)上思考這種計(jì)分方式的合理性.對(duì)于選項(xiàng)C,去掉最高分和最低分后,新樣本的標(biāo)準(zhǔn)差總是不大于原標(biāo)本的標(biāo)準(zhǔn)差,且在很多情形下,小于原樣本的標(biāo)準(zhǔn)差,這符合考生的直觀判斷,也說明了在比賽去掉最高分和最低分后,總的來說可能降低數(shù)據(jù)的分散程度和波動(dòng)性,從而提高評(píng)分的合理性.

    參考文獻(xiàn):

    [1]

    教育部教育考試院.高考試題分析:數(shù)學(xué)(2024年版)[M].北京:語(yǔ)文出版社,2023.

    [責(zé)任編輯:李璟]

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