把握數(shù)學本質(zhì) 構(gòu)建數(shù)學模型

摘要：2023年全國新高考Ⅰ卷第21題考查了高中數(shù)學課程主線內(nèi)容“概率與統(tǒng)計”的全概率公式的應用.針對該題求復雜事件概率的應用題，引導學生經(jīng)歷從現(xiàn)實問題中確定變量、探究變量關(guān)系、建立模型、解決模型和最終解決現(xiàn)實問題等完整的數(shù)學建模過程，感悟全概率公式的本質(zhì)和體驗數(shù)學建模活動的完整過程，形成和發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：全概率公式；數(shù)學本質(zhì)；數(shù)學建模；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0088-03

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）明確指出：數(shù)學建模是數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，是高考考查的重要素養(yǎng).提升學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，有助于增強學生的創(chuàng)新意識和科學精神.近年來新高考考查“概率與統(tǒng)計”的內(nèi)容基本上以應用問題的形式出現(xiàn)，注重數(shù)學本質(zhì)的回歸.《標準》明確指出：數(shù)學建?；顒邮腔跀?shù)學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，數(shù)學建?；顒又骶€貫穿于整個高中階段的數(shù)學教育教學的始終.解決實際問題的過程即為數(shù)學建?；顒拥倪^程，解決數(shù)學問題就是數(shù)學建模問題，所以數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)應落實到數(shù)學教學的各個環(huán)節(jié).

1試題呈現(xiàn)

題目 （2023年新高考Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量xi服從兩點分布，且P（xi=1）=1-P（xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（∑ni=1xi）=∑ni=1qi.

記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)Y，求E（Y）.

2解法探究

2.1解讀問題情境

《標準》說明：在命題中，選擇合適的問題情境是考查數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要載體.本題情境是一個具體的投籃游戲背景，是熟悉的現(xiàn)實情境.剖析問題情境是確定變量、尋求變量關(guān)系、建立數(shù)學模型、解決實際問題的關(guān)鍵.所以，解讀問題情境、理解題意是建立合理數(shù)學模型的第一步.

首先，解讀題目背景.題目背景設定在甲、乙兩人的投籃游戲中，根據(jù)不同的投籃結(jié)果，分析第i次投籃為甲或乙的概率，以及前n次投籃中甲投籃次數(shù)的期望值.這種題目旨在考查學生根據(jù)現(xiàn)實問題建立數(shù)學模型、對概率論和隨機變量期望的理解與應用能力.

其次，分析問題.如下：

（1）第2次投籃的人是乙的概率：考慮到甲、乙兩人投籃的命中率，以及每次投籃后更換投籃者的規(guī)則，可以計算出第2次投籃的人是乙的概率.

（2）第i次投籃的人是甲的概率：這是一個遞推VV02/+c+Fwkprg9Joccz88w/Rd0PgNkqDre0z6Lb6gk=問題，需要根據(jù)前一次投籃的結(jié)果來推斷下一次投籃的可能性.考慮到甲、乙的投籃命中率和規(guī)則，可以逐步推導出第i次投籃的人是甲的概率.

（3）前n次投籃中甲投籃次數(shù)的期望值：這個問題涉及到隨機變量的期望.首先，需要確定甲投籃次數(shù)的隨機變量，然后根據(jù)概率和期望值的定義，計算出這個隨機變量的期望值.

2.2探究建模思路

試題第（1）問：求第2次投籃的人是乙的概率.根據(jù)投籃規(guī)則，第1次、第2次投籃情況，見圖1.

為了簡化探究過程，將題目的相關(guān)信息用圖1直觀表示.數(shù)學語言是數(shù)學思維的直觀表象，合理的語言轉(zhuǎn)化有助于對問題的簡化和理解.面對較為復雜的應用題，學生不能及時確定題目的核心要素，找不到變量間的關(guān)系就不能建立合適的數(shù)學模型.因此，可以引導學生嘗試利用圖、數(shù)學符號、表進行分析，這樣可以直觀地找出變量、確定變量關(guān)系、建立模型、解決模型.

解法1根據(jù)圖1，由互斥事件、條件概率的概率公式和概率乘法公式容易得到第2次投籃的人是乙的概率為p=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

解法2設Ai=“第i次投籃的人是甲”；Bi=“第i次投籃的人是乙”，其中i=1，2，…，n.則P（A1）=P（B1）=0.5，P（B2|A1）=0.4，P（B2|B1）=0.8.

事件A1B2與B1B2互斥，根據(jù)全概率公式，有

P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）

=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）

=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

故第2次投籃的人是乙的概率為0.6.

經(jīng)過對第（1）問的解題探索，建模思路已初步形成.

（1）第i次投籃的人是誰僅取決于第i-1次投籃的人是否命中，與歷史狀態(tài)無關(guān).

（2）求事件“第i次投籃的人是甲（或乙）的概率”，是求復雜事件的概率，其數(shù)學本質(zhì)是將一個復雜事件分解為若干個兩兩互斥且完備的子事件，然后分別求出每個子事件發(fā)生的概率及其在該子事件下復雜事件發(fā)生的條件概率，最后將這些結(jié)果相加，得到復雜事件發(fā)生的總概率.本題的實質(zhì)是考查全概率公式的應用，建立概率論中的“全概率”模型即可解決問題.

2.3建立模型 解決問題

類比第（1）問的建模思路，完成第（2）問的建模.根據(jù)投籃規(guī)則，第i-1次、第i次投籃情況如圖2.

第i-1次、i次投籃情況

依題意知，事件Ai-1Ai，Bi-1Ai是互斥事件，其中i=2，3，…，n.

根據(jù)圖2易得Ai=Ai-1Ai+Bi-1Ai，

P（Ai|Ai-1）=0.6，

P（Ai|Bi-1）=0.2，

P（Ai-1）+P（Bi-1）=1.

根據(jù)全概率公式的本質(zhì)容易得

P（Ai）=P（Ai-1Ai）+P（Bi-1Ai）

=P（Ai-1）P（Ai|Ai-1）+P（Bi-1）P（Ai|Bi-1）

=0.6P（Ai-1）+0.2P（Bi-1）

=0.6P（Ai-1）+0.2［1-P（Ai-1）］.

令Pi=P（Ai），則

Pi=35Pi-1+15（1-Pi-1）=25Pi-1+15.

構(gòu)造等比數(shù)列得Pi-13=25（Pi-1-13），

且P1-13=12-13=16.

所以數(shù)列Pi-13是首項為16 ，公比為25 的等比數(shù)列.

所以Pi=16×（25）i-1+13，i∈N*.

故第i次投籃的人是甲的概率為

Pi=16×（25）i-1+13，i∈N*.

根據(jù)第（2）問的結(jié)論容易得出第（3）問：

因為E（∑ni=1xi）=∑ni=1qi，qi=pi，其中i=1，2，…，n，

∑ni=1qi=∑ni=1pi=16·1-（2/5）n1-2/5+n3=518·［1-（25）n］+n3，所以E（Y）=518［1-（25）n］+n3.

通過以上探索建模的過程，不難發(fā)現(xiàn)建立合適的數(shù)學模型解決實際問題的要素有：理解題意、領(lǐng)悟數(shù)學本質(zhì)、熟悉各類數(shù)學模型等.

3教學啟示

一道典型的高考數(shù)學題目往往蘊含著豐富的教育價值，既體現(xiàn)出教學的重點，又能夠反映出教育改革的方向.這樣的題目有助于指導中學數(shù)學，引導教師和學生明確教學重點和學習方向.基于這道概率應用題的命題和建模分析，總結(jié)出兩點教學建議.

3.1回歸教材，強調(diào)基礎性、綜合性

通過對該高考題的探析，我們發(fā)現(xiàn)該題與人教A版

教材數(shù)學選擇性必修第三冊第91頁第10題的考查方向相同，這更讓我們明確了高考題目往往源自教材，或者是對教材內(nèi)容的深化和拓展.由此可見，高考與教材之間是緊密聯(lián)系的，教材是學生學習的基礎，也是高考命題的重要依據(jù).回歸教材，可以幫助學生鞏固基礎知識，為后續(xù)學習打下堅實的基礎[1].

3.2注重數(shù)學本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)

在平時的數(shù)學教學中，教師應引導學生深入理解數(shù)學的本質(zhì)，挖掘數(shù)學概念和定理背后的深層內(nèi)涵.這需要教師首先具備深厚的數(shù)學素養(yǎng)，能夠引導學生從數(shù)學的本質(zhì)出發(fā)，理解數(shù)學概念、定理和公式的形成過程，掌握數(shù)學的思維方式和方法.教師可以通過引入實際問題、設計實驗、組織數(shù)學建?；顒雍蛿?shù)學探究活動等方式，讓學生在解決實際問題的過程中學習數(shù)學、運用數(shù)學.這樣不僅可以激發(fā)學生的學習興趣和動力，還可以幫助他們更好地理解數(shù)學的本質(zhì)和應用價值，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)和實踐能力.4結(jié)束語

由此可見，構(gòu)建數(shù)學模型并非易事.我們需要具備扎實的數(shù)學基礎知識和良好的數(shù)學素養(yǎng)，還需要具備善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、建立數(shù)學模型解決問題的能力和豐富的實踐經(jīng)驗.只有這樣，我們才能在面對復雜問題時，準確把握問題的本質(zhì)，構(gòu)建出有效的數(shù)學模型.同時，我們還需要注重數(shù)學模型的應用和實踐，師生積極開展、參與數(shù)學建?；顒樱瑢?shù)學模型與實際問題緊密結(jié)合起來，不斷地進行實踐和驗證，以檢驗模型的準確性和可靠性.總之，把握數(shù)學本質(zhì)、構(gòu)建數(shù)學模型是我們應對現(xiàn)實問題的關(guān)鍵所在.

參考文獻：

［1］ 孔繁晶.創(chuàng)新應用巧建模 回歸基礎探本質(zhì)：2021年全國新高考Ⅰ卷第16題探析[J].中國數(shù)學教育，2022（6）：55-58.

［責任編輯：李璟］