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    淺析高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)卷中的構(gòu)造函數(shù)問題

    2024-11-06 00:00:00榮宇音
    數(shù)理化解題研究·高中版 2024年10期

    摘要:函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,它要求學(xué)生具備較強的綜合能力,考查了學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).文章針對高中數(shù)學(xué)解題中如何有效應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法作探討, 并羅列部分實例, 便于學(xué)生靈活應(yīng)對新高考中的函數(shù)問題.

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);構(gòu)造函數(shù);解題應(yīng)用

    中圖分類號:G632文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2024)28-0079-03

    2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷首次采用19題的新題型試卷, 新結(jié)構(gòu)卷進一步加大解答題比重, 增加思維量, 第19題涉及數(shù)論、競賽等高等數(shù)學(xué)背景, 從而增加區(qū)分度, 更好地服務(wù)于選才.原先的導(dǎo)數(shù)壓軸題前置, 這也意味著以導(dǎo)數(shù)為基點的函數(shù)問題更需要引起一線教師和學(xué)生的注意, 它將不再是高不可攀的難題, 而是能檢測學(xué)生知識掌握情況的中檔題甚至是基礎(chǔ)題.

    1以切線為背景的構(gòu)造函數(shù)問題

    例1已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=ax2, 若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=f(x), y=g(x)圖象均相切, 則實數(shù)a的取值范圍是.

    解析由題意可知:a≠0.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1圖象上的切點坐標(biāo)為(x1,ex1-1), 函數(shù)g(x)=ax2圖象上的切點坐標(biāo)為(x2,ax22), 且f ′(x)=ex-1, g′(x)=2ax, 則公切線的斜率ex1-1=2ax2, 可得x2=ex1-12a.

    則公切線方程為y-ex1-1=ex1-1(x-x1).

    代入(x2,ax22),得ax22-ex1-1=ex1-1(x2-x1).

    代入x2=ex1-12a可得

    a(ex1-12a)2-ex1-1=ex1-1(ex1-12a-x1).

    skddsyjf8bJIiMDOA8qg1w==整理,得14a=x1-1ex1-1.令t=x1-1, 則14a=tet.

    若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=f(x), y=g(x)圖象均相切, 則方程14a=tet有兩個不同的實根, 設(shè)h(x)=xex, 則h′(x)=1-xex.

    令h′(x)>0, 解得x<1;令h′(x)<0, 解得x>1.則h(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增, 在(1,+∞)單調(diào)遞減, 可得h(x)≤h(1)=1e, 且當(dāng)x趨近于-∞時, h(x)趨近于-∞;當(dāng)x趨近于+∞時, h(x)趨近于0, 可得0<14a<1e, 解得a>e4.

    故實數(shù)a的取值范圍為(e4,+∞).

    反思涉及公切線問題一般先設(shè)切點坐標(biāo), 根據(jù)切線相同得到方程組, 將雙變量方程轉(zhuǎn)化為單變量方程, 再參變分離, 構(gòu)造新函數(shù), 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點問題, 即可求出參數(shù)的取值范圍.

    2構(gòu)造函數(shù)處理不等關(guān)系

    例2設(shè)a=ln1.01,b=1101,c=tan0.01,則().

    A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

    解析令f(x)=tanx-x(0<x<π2), 則f ′(x)=1cos2x-1=1-cos2xcos2x=tan2x>0在區(qū)間(0,π2)上恒成立.即f(x)=tanx-x在區(qū)間(0,π2)上單調(diào)遞增.故f(x)>f(0)=0.即tanx>x.

    故c=tan0.01>0.01=1100>1101=b.

    令g(x)=x-ln(1+x)(x>0), 則g′(x)=1-11+x=x1+x>0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,即g(x)=x-ln(1+x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.故g(x)>g(0)=0.即x>ln(x+1)(x>0).故0.01>ln(0.01+1)=ln1.01=a.故c>a.

    令h(x)=lnx+1x-1(x>1), 則h′(x)=1x-1x2=x-1x2>0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.即h(x)=lnx+1x-1在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.故h(x)>h(1)=0.即lnx>1-1x.故a=ln1.01>1-11.01=1101=b.故c>a>b.故選D.

    反思通過構(gòu)造函數(shù)比較大小, 利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系, 分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 利用單調(diào)性即可比較出函數(shù)值的大小, 從而求出結(jié)果.注意常見切線放縮不等式和泰勒展開公式的運用可以加快判斷[1].

    3構(gòu)造函數(shù)解決最值問題

    例3已知正四棱錐P-ABCD的頂點均在球O的表面上.若正四棱錐的體積為1, 則球O體積的最小值為.

    解析設(shè)球O的半徑為R, 正四棱錐的高、底面外接圓的半徑分別為h, r.如圖1, 球心在正四棱錐內(nèi)時, 由OO21+O1B2=OB2, 可得(h-R)2+r2=R2.

    即h2-2Rh+r2=0.①

    球心在正四棱錐外時, 亦能得到①式.

    又正四棱錐的體積為13(2r2)h=1, 則r2=32h.

    代入①式可得R=h2+34h2.

    通過對關(guān)于h的函數(shù)R(h)求導(dǎo),即R′(h)=12-32h3,易得函數(shù)R(h)在(0,33)單調(diào)遞減, 在(33,+∞)單調(diào)遞增, 則R(h)min=R(33)=3334.

    從而, 球O的體積的最小值為43πR3=2716π.

    反思處理導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是分析實際問題中各個量之間的關(guān)系, 正確設(shè)定所求最大值或最小值的變量y與自變量x, 把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題, 列出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);從問題的實際意義去考慮, 舍去沒有實際意義的自變量的取值范圍;從而使用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最值;根據(jù)問題的實際意義給出正確的答案.

    4構(gòu)造函數(shù)處理恒成立與能成立問題

    例4當(dāng)x>0時, ae2x≥lnxaex恒成立, 則a的取值范圍為.

    解析由題意, 當(dāng)x>0時, ae2x≥lnxaex恒成立.

    故ae2x≥lnx-lna-x在(0,+∞)上恒成立, 即elna+2x+lna+2x≥elnx+lnx在(0,+∞)上恒成立.

    令f(x)=ex+x, 可得f ′(x)=ex+1>0.

    故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    故lna+2x≥lnx在(0,+∞)上恒成立.

    即lna≥lnx-2x在(0,+∞)上恒成立.

    令g(x)=lnx-2x, 可得g′(x)=1x-2=1-2xx.

    當(dāng)x∈(0,12)時, g′(x)>0, g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(12,+∞)時, g′(x)<0, g(x)單調(diào)遞減, 故g(x)≤g(12)=ln12-1=ln12e,故lna≥ln12e,解得a≥12e.

    對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略:①通常要構(gòu)造新函數(shù), 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性, 求出最值, 從而求出參數(shù)的取值范圍; ②利用可分離變量, 構(gòu)造新函數(shù), 直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時, 一般涉及分離參數(shù)法, 但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況, 若參變分離不易求解問題, 就要考慮利用分類討論法和放縮法, 注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.5構(gòu)造函數(shù)解決零點問題

    利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點, 主要是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù), 此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件.根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)取值范圍的核心思想是“數(shù)形結(jié)合”, 即通過函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù), 或者兩個相關(guān)函數(shù)圖象的交點個數(shù)確定參數(shù)滿足的條件, 進而求得參數(shù)的取值范圍, 解決問題的步驟是“先形后數(shù)”.

    例5若函數(shù)f(x)=ex-ax2-x有兩個不同的極值點, 則實數(shù)a的取值范圍為.

    解析由題意得f ′(x)=ex-2ax-1有兩個變號零O8nszsPVzmEvaJv8PKRurN9e+VO6VnRKJDYVCDUbHI8=點, 令h(x)=ex-2ax-1, 定義域為R, 則h′(x)=ex-2a.

    當(dāng)a≤0時, h′(x)>0恒成立, h(x)在R上單調(diào)遞增, 不會有兩個零點, 舍去.

    當(dāng)a>0時, 令h′(x)>0,得x>ln2a, 令h′(x)<0,得x<ln2a, 故h(x)在(-∞,ln2a)上單調(diào)遞減, 在(ln2a,+∞)上單調(diào)遞增, 故h(x)在x=ln2a處取得極小值, 也是最小值.

    則h(ln2a)<0, 即2a-2aln2a-1<0.

    令g(a)=2a-2aln2a-1, a>0, 則

    g′(a)=2-2ln2a-2=-2ln2a.

    令g′(a)>0得0<a<12, 令g′(a)<0得a>12,則g(a)在(0,12)上單調(diào)遞增, 在(12,+∞)上單調(diào)遞減, 故g(a)=2a-2aln2a-1在a=12處取得極大值, 也是最大值.

    又g(12)=0, 故2a-2aln2a-1<0的解集為(0,12)∪(12,+∞).

    此時當(dāng)x趨向于負無窮時, h(x)趨向于正無窮, 當(dāng)x趨向于正無窮時, h(x)趨向于正無窮,滿足h(x)=ex-2ax-1有2個變號零點.

    6結(jié)束語

    由此可見, 雖然新結(jié)構(gòu)試卷對試題進行較大的調(diào)整, 但構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決與最值和單調(diào)性的相關(guān)問題依然是高考中的重點和難點.只有在平時訓(xùn)練中不斷積累總結(jié), 才能更快地適應(yīng)新高考模式.

    參考文獻:

    [1]

    王勇.高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造函數(shù)的有效應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究,2023(31):50-52.

    [責(zé)任編輯:李璟]

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