基于高考題分析高中數(shù)學解題的審題技巧

摘要：通過對湘教版高中數(shù)學教材中的典型高考題的分析，總結(jié)出了一些有效的審題技巧，幫助學生在解題過程中更加準確地理解和應用所學知識.

關(guān)鍵詞：高考；題目分析；高中數(shù)學；解題；審題技巧

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）28-0076-03

審題技巧作為數(shù)學解題的首要環(huán)節(jié)，在高考中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，它是指考生在解題前，通過閱讀和理解題目，分析題目中的關(guān)鍵信息，從而確定解題思路和方法的能力.對于數(shù)學而言，審題不僅要求考生準確捕捉題目中的數(shù)學概念和模型，還需要他們通過邏輯推理和分析，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并運用所學的數(shù)學知識進行解答.然而，在實際的教學和學習過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，許多學生在數(shù)學解題時常常因為審題不清或誤解題意而導致解題方向錯誤或無法得出正確答案，這不僅影響了學生的考試成績，更在一定程度上阻礙了他們數(shù)學思維和解題能力的提升[1].因此，本研究旨在通過分析高考數(shù)學題目的特點，結(jié)合實際案例，探討數(shù)學解題過程中的審題技巧.

1準確捕捉題目中的核心信息

解高中數(shù)學題時，準確捕捉題目中的核心信息是解題的基石.要仔細閱讀題目，逐句分析，理解每個條件和要求；標記出關(guān)鍵詞和關(guān)鍵信息，這有助于快速定位和回顧重要內(nèi)容；注意識別題目類型和隱含條件，這能夠指導解題方向和策略；通過驗證答案和回顧解題過程，確保沒有遺漏關(guān)鍵信息[2].

例1已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，則雙曲線C的漸近線方程為.

分析從題目中可以識別出關(guān)鍵詞：雙曲線、離心率和漸近線方程.我們知道雙曲線的離心率公式為e=ca.題目給出離心率為2，所以我們可以得到c=2a.又因為雙曲線的性質(zhì)有c2=a2+b2，通過這兩個信息，我們可以找到b與a的關(guān)系.雙曲線的漸近線方程的一般形式是y=±bxa.因此，我們需要找到b和a的具體值或它們之間的關(guān)系.

解析由于e=ca=2，得到c=2a.

又因為c2=a2+b2，代入c=2a得到4a2=a2+b2，解得b2=3a2，即b=3a.

因此，雙曲線C的漸近線方程為y=±3x.

2理解題目背后的數(shù)學概念或模型

審題時，我們需要識別題目中涉及的核心數(shù)學概念，例如函數(shù)、幾何圖形、概率等.根據(jù)這些概念的定義和性質(zhì)，思考它們可能形成的數(shù)學模型或結(jié)構(gòu).通過分析題目中的條件和要求，確定適用的數(shù)學定理、公式或方法.最后，將這些數(shù)學概念和模型整合起來，形成解題的整體思路[3].

例2（2021年全國Ⅰ卷）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個焦點，P為雙曲線上一點，且∠F1PF2=90°，若△PF1F2的面積為2ab，則雙曲線的離心率為.

分析要明確雙曲線的焦點到曲線上任意一點的距離之差的絕對值是常數(shù)，這個常數(shù)是2a.題目中給出∠F1PF2=90°，以及△PF1F2的面積為2ab，這提示我們可以使用三角形的面積公式來求解.

解析設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由于∠F1PF2=90°，根據(jù)勾股定理，有

m2+n2=4c2.①

又因為△PF1F2的面積為2ab，根據(jù)三角形面積公式，有12mn=2ab，即

mn=4ab.②

由于|m-n|=2a，所以（m-n）2=4a2.

即m2+n2-2mn=4a2.③

將①②代入③，得到4c2-2×4ab=4a2.

化簡，得c2-2ab=a2.

由雙曲線的性質(zhì)，得c2=a2+b2，代入上式，得a2+b2-2ab=a2，化簡，得b2=2ab.

進一步得到b=2a.

代入離心率的公式e=ca，得到

e=b2+a2a2=a2+4a2a2=5.

3分析題目中的邏輯關(guān)系

分析題目中的邏輯關(guān)系是高中數(shù)學解題中的核心技巧.審題時，先仔細閱讀題目，明確題目的已知條件和需要求解的結(jié)論.通過邏輯推理，分析條件與結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，理解它們是如何相互作用的，這通常涉及識別條件之間的等價關(guān)系、因果關(guān)系、充要條件等.還要注意挖掘題目中隱含的條件和信息，這些往往對解題起到關(guān)鍵作用.

例3（2022年全國Ⅱ卷）已知f（x）=|x-1|+|x-3|，若不等式f（x）≥|m-1|的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是（）.

A.[2，4] B.（2，4）C.[1，5] D.（1，5）

分析題目要求不等式f（x）≥|m-1|的解集為全體實數(shù)集R，這意味著對于所有x∈R，都有

f（x）≥|m-1|.因此，我們需要分析f（x）的性質(zhì)，特別是它的最小值，因為當f（x）取得最小值時，|m-1|的最大可能值就是f（x）的最小值.

解析由絕對值的性質(zhì)可知，|x-1|表示點x到點1的距離，|x-3|表示點x到點3的距離.因此，f（x）表示點x到點1和點3的距離之和.這個距離之和的最小值出現(xiàn)在x位于點1和點3之間時，即x=2，此時f（x）min=|2-1|+|2-3|=2，接下來，我們利用這個最小值來分析不等式f（x）≥|m-1|.

由于f（x）的最小值為2，所以|m-1|≤2.

解得-2≤m-1≤2，即-1≤m≤3.

4識別題目中的陷阱和誤區(qū)

在高中數(shù)學解題過程中，識別題目中的陷阱和誤區(qū)是確保準確解答的關(guān)鍵步驟.這要求學生在審題時不僅要理解表面的文字信息，還要深入挖掘題目背后的隱藏條件和潛在要求.陷阱和誤區(qū)通常隱藏在復雜的數(shù)學表達、相似的概念或容易混淆的術(shù)語中.為了避免陷入這些陷阱，學生需要細心觀察、仔細分析，并善于運用已有的知識和經(jīng)驗進行推理和判斷.

例4已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（φ∈（0，π）），若f（x）≤|f（π6）|對x∈R恒成立，則φ的取值范圍是.

分析這道題目看似簡單，但隱藏著陷阱.學生容易誤以為f（π6）是函數(shù)f（x）的最大值或最小值，從而得出錯誤的結(jié)論.實際上，題目中的條件是f（x）≤|f（π6）|，這意味著f（π6）可能是函數(shù)的最大值、最小值或零點.因此，我們需要分別考慮這三種情況，并找出滿足條件的φ的取值范圍.

解析（1）當f（π6）是最大值時，有sin（2×π6+φ）=-1，即cosφ=1.

由于φ∈（0，π），所以φ=0（不符合題意，舍去）.

（2）當f（π6）是最小值時，有sin（2x×π6+φ）=1，即cosφ=-1.

由于φ∈（0，π），所以φ=π（不符合題意）.

（3）當f（π6）是零點時，有sin（2x×π6+φ）=0.

即2×π6+φ=kπ（k∈Z），

解得φ=kπ-π3（k∈Z）.

由于φ∈（0，π），所以φ的取值范圍是（2π3，π）.

綜上，φ的取值范圍是[2π3，π）.

5利用題目中的特殊性質(zhì)簡化問題

學生需要敏銳地捕捉到題目中可能存在的特殊性質(zhì)，如特定的數(shù)值、圖形特征、函數(shù)特性等.這些特殊性質(zhì)往往可以作為解題的突破口，幫助我們找到更簡潔、更高效的解題方法.一旦識別出這些特殊性質(zhì)，學生就可以利用它們來簡化復雜的運算過程、減少不必要的步驟，甚至直接得出答案.例如，在求解函數(shù)問題時，如果函數(shù)具有周期性或?qū)ΨQ性，就可以利用這些性質(zhì)簡化計算；在幾何問題中，如果圖形具有某種特殊性質(zhì)（如等腰、等邊、直角等），就可以利用這些性質(zhì)快速找到解題思路.因此，學會利用題目中的特殊性質(zhì)是高中數(shù)學解題中不可或缺的一種能力.

例5已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>

b>0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為.

分析（1）根據(jù)橢圓的定義，任意一點P到兩焦點的距離之和為常數(shù)，|PF1|+|PF2|=2a；

題目中給出PF1⊥PF2，這意味著△PF1F2是一個直角三角形；

（2）在直角三角形中，可以利用勾股定理，得

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2；

（3）橢圓的焦距c和長短軸a，b之間的關(guān)系是c2=a2-b2；

（4）可以將|PF1|+|PF2|=2a和|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2結(jié)合，通過代數(shù)運算求出|PF1|.|PF2|；

（5）利用直角三角形的面積公式S=12|PF1|×|PF2|，求出△PF1F2的面積.

解析因為C是橢圓，所以|PF1|+|PF2|=2a.

又因為PF1⊥PF2，所以△PF1F2是一個直角三角形.由勾股定理，得

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.④

將|PF1|+|PF2|=2a兩邊平方，得到

|PF1|2+2|PF1|×|PF2|+|PF2|2=4a2.⑤

⑤-④，得到2|PF1|×|PF2|=4a2-4c2.

即|PF1|×[PF2|=2a2-2c2.

所以S=12|PF1|×|PF2|=a2-c2=b2.

6結(jié)束語

綜上所述，建議學生在學習和備考過程中注重培養(yǎng)審題技巧，不斷提升解題能力，從而取得更好的成績.審題技巧的掌握不僅在高考中具有重要意義，也對學生今后的學習和工作有著積極的影響.

參考文獻：

［1］

楊宗敏.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學解題教學策略探究[J].數(shù)理天地（高中版），2024，12（03）：42-44.

［2］ 李瑞奎.基于高考題分析高中數(shù)學解題的審題技巧[J].數(shù)理天地（高中版），2024，10（01）：56-57.

［3］ 羅賢龍.以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向的高中數(shù)學解題教學研究[J].數(shù)理天地（高中版），2023，21（23）：84-86.

［責任編輯：李璟］