摘要:新定義題是新高考中??嫉念}型,往往以高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容作為背景,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、學(xué)習(xí)新知識的能力與邏輯思維能力.文章主要介紹以高等數(shù)學(xué)中的行列式、矩陣、初等數(shù)論、集合論等內(nèi)容為背景的新定義題,并給出試題的破解策略.
關(guān)鍵詞:新高考;壓軸題;新定義題;解題策略
中圖分類號:G632文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2024)28-0067-03
2024年1月,九省聯(lián)考的壓軸題釋放了一個信號:新高考改革卷的壓軸題很有可能考查以高等數(shù)學(xué)知識作為背景的新定義題.下面筆者以高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常以新定義形式考查的內(nèi)容(行列式、矩陣、初等數(shù)論、等)為例作介紹,旨在為廣大讀者提供對應(yīng)新定義題型的思路與策略.
1以行列式為背景
例1定義二階行列式abcd=ad-bc.已知α,λ是實常數(shù),f(x)=λcosxsin(x-α)sin(x+α)cosx.
(1)當(dāng)α=π3,λ=1時,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)是否存在λ,使得f(x)是與α有關(guān)的常數(shù)函數(shù),求出所有滿足條件的λ,若不存在,說明理由.
解析(1)由題意知
f(x)=λcosxsin(x-α)sin(x+α)cosx
=λcos2x-sin(x-α)sin(x+α)
=λcos2x-(cos2αsin2x-sin2αcos2x)
=(λ+sin2α)cos2x-cos2αsin2x
=λ+12cos2x+λ-cos2α2,
所以當(dāng)α=π3,λ=1時,f(x)=cos2x+34.
令2x∈[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),則x∈[-π2+kπ,kπ],即f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[-π2+kπ,kπ]
(k∈Z).
(2)由上可知f(x)=λ+12cos2x+λ-cos2α2,顯然當(dāng)λ+12=0時,f(x)的值與x的取值無關(guān),所以存在λ=-1,使得f(x)是與α有關(guān)的常數(shù)函數(shù).
點評根據(jù)二階行列式的定義,利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可.行列式雖然是線性代數(shù)里面的內(nèi)容,但在高中數(shù)學(xué)的選修課本里面卻有詳細介紹.建議高中師生多閱讀高中數(shù)學(xué)的選修課本,對大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容有個初步的認識.
2以矩陣為背景
例2(多選題)設(shè)a,b,c,d∈R,稱M=abcd為二階方陣,全體二階方陣構(gòu)成的集合記為S,定義S中的兩種運算:
①M=abcd,Nxyzw,
M*N=ax+bzay+bwcx+dzcy+dw;
②設(shè)M=abcd,det(M)=ad-bc,
則下列說法正確的有().
A.M,N∈S,有M*N=N*M
B.M∈S,N∈S,使得(M*N)*N=M
C.M,N∈S,有det(M*N)=det(M)*det(N)
D.M,N∈S,若M*N=0000,則M=0000或N=0000
解析對于選項A,M,N∈S,取
M=abcd,N=xyzw,
則M*N=ax+bzay+bwcx+dzcy+dw,
N*M=ax+cybx+dyaz+cwbz+dw.
所以M*N≠N*M.選項A錯誤.
對于選項B,M∈S,取M=abcd,取N=1001,
則M*N=abcd=M.
則(M*N)*N=M*N=M.選項B正確.
對于選項C,M,N∈S,M=abcd,N=xyzw,則
M*N=ax+bzay+bwcx+dzcy+dw,
則det(M*N)=(ax+bz)(cy+dw)-(ay+bw)(cx+dz)
=adxw+bcyz-adyz-bcxw
=ad(xw-yz)-bc(xw-yz)=(ad-bc)(xw-yz)
=det(M)*det(N).
選項C正確.
對于選項D,M,N∈S,取M=1000,N=0011,則M*N=0000.選項D錯誤.
綜上,答案是BC.
點評利用二階方陣的運算可判斷選項A錯誤.取N=1001,結(jié)合二階方陣的運算可判斷選項B正確.利用②中的運算可判斷選項C正確.取M=1000,N=0011,結(jié)合二階方陣的運算可判斷選項D錯誤.本題以線性代數(shù)中的二階矩陣為背景,以新定義題的形式,考查二階矩陣和二階行列式的基本運算.
3以初等數(shù)論為背景
例3(2024年九省聯(lián)考第19題)離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)p是素數(shù),集合X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,記uv為uv除以p的余數(shù),um,為um除以p的余數(shù);設(shè)a∈X,1,a,a2,,…,ap-2,兩兩不同,若an,=b(n∈{0,1,…,p-2}),則稱n是以a為底b的離散對數(shù),記為n=log(p)ab.
(1)若p=11,a=2,求ap-1,;
(2)對m1,m2∈0,1,…,p-2,記m1m2為m1+m2除以p-1的余數(shù)(當(dāng)m1+m2能被p-1整除時,m1m2=0).
證明:log(p)a(bc)=log(p)ablog(p)ac,其中b,c∈X;
(3)已知n=log(p)ab.對x∈X,k∈1,2,…,p-2,令y1=ak,,y2=xbk,.證明:x=y2yn(p-2),1.
解析(1)若p=11,a=2,注意到210=1 024=93×11+1,
所以ap-1,=210,=1.
(2) 記an1=an1,+m1p,an2=an2,+m2p,an1,×an2,=an1,an2,+kp,其中m1,m2,k是整數(shù),則
an1·n2=an1.an2,+(m1an2.+m2an1.+m1m2p+k)p.
可知an1,an2,=an1·n2,.
因為1,a,a2,,…,ap-2,兩兩不同,所以存在i∈{0,1,…,p-2},使得ap-1,=ai,.
即ap-1-ai=ai(ap-1-i-1)可以被p整除.
于是ap-1-i-1可以被p整除.
即ap-1-i,=1.
若i≠0,則p-1-i∈{1,2,…,p-2},ap-1-i,≠1,因此i=0,ap-1,=1.
記n=log(p)ab,m=log(p)ac,n+m=nm+l(p-1),其中l(wèi)是整數(shù),
則bc=an,am,=an·m,=anm+l(p-1),=anm,al(p-1),=anm,.
即log(p)a(bc)=log(p)ablog(p)ac.
(3)由題設(shè)和(2)的證明知
y2=xbk,
=x(bb…bk)
=xan,an,…an,k
=xaa…ank,
yn(p-2),1=y1y1…y1n(p-2)
=ak,ak,…ak,n(p-2)
=ap-2,ap-2,…ap-2,nk,
故y2yn(p-2),1=xaa…ankap-2,ap-2,…ap-2,nk
=xap-1,ap-1,…ap-1,nk.
由(2)的證明知ap-1,=1.
所以y2yn(p-2).1=x.
點評本題以離散數(shù)學(xué)中的離散對數(shù)為背景,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.本題的關(guān)鍵是充分理解新定義,然后結(jié)合帶余除法以及費馬小定理等初等數(shù)論知識即可順利得解.
4結(jié)束語
新高考中的新定義題,其背景不止上文的三種,也有可能涉及數(shù)學(xué)分析中的曲率、泰勒公式、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、拉格朗日中值定理,或者高等幾何中的極點與極線、調(diào)和點列,或者線性代數(shù)中的多項式、向量空間,甚至是抽象代數(shù)中的群、環(huán)、域等[1-2].對于新高考中的新定義題,試題的解題策略是:①仔細閱讀,認真審題,理解新定義的內(nèi)涵;②根據(jù)新定義,將對應(yīng)的知識進行再遷移[3];③如果學(xué)有余力,可適當(dāng)閱讀高中數(shù)學(xué)的選修課本,了解大學(xué)數(shù)學(xué)的先修課程.
參考文獻:
[1] 李鴻昌.“斜橢圓”面積的八種求解方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2023(09):43-46.
[2] 李鴻昌,徐章韜.關(guān)于對數(shù)平均的一個不等式的推廣[J].數(shù)學(xué)通報,2023,62(08):50-52.
[3] 郝變軍.“新定義”巧創(chuàng)設(shè),新高考妙創(chuàng)新[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2023(19):60-61.
[責(zé)任編輯:李璟]