基于修正雅可比旋量模型的C形閂機(jī)構(gòu)偏差分析及優(yōu)化

摘 要：使用基于修正雅可比旋量模型的容差分析方法，對(duì)引導(dǎo)鎖C形閂機(jī)構(gòu)中C形閂的安裝位置、運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行分析，與3DCS軟件結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證方法適用性。引用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)理論，將靜態(tài)容差分析拓展到動(dòng)態(tài)容差分析，對(duì)C形閂在運(yùn)動(dòng)過程中的位置精度進(jìn)行分析，使用基于Taguchi的容差貢獻(xiàn)度、靈敏度對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化分析及容差設(shè)計(jì)，得出影響較大的因子。

關(guān)鍵詞：飛機(jī)；修正雅可比旋量模型；引導(dǎo)鎖C形閂機(jī)構(gòu)；容差設(shè)計(jì)；3DCS；Taguchi

中圖分類號(hào)：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1671-5276（2024）04-0173-04

Deviation Analysis and Optimization of C-shaped Latch Mechanism Based on Modified Jacobian Screw Model

KONG Weilin¹， GAO Bin²， MA Xizhi¹

（1. National Key Laboratory of Helicopter Transmission Technology， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China； 2. AVIC Chengdu Aircraft Industrial （Group） Co.， Ltd.， Chengdu 610073， China）

Abstract：By the tolerance analysis method based on the modified Jacobian screw model， analyzes the installation position and motion accuracy of the C-shaped latch in the C-shaped latch mechanism of the guide lock， compares their results with the ones by 3DCS software to verify the applicability of the method. The kinematics theory of the robot is applied to extend the static tolerance analysis to the dynamic tolerance analysis， the position accuracy of the C-shaped latch in the process of motion is analyzed， and the Taguchi based tolerance contribution degree and sensitivity are used to optimize the analysis and tolerance design， obtaining the factors with greater influence.

Keywords：aircraft; modified Jacobian spinor model; guide lock C-bolt mechanism; tolerance design; 3DCS; Taguchi

0 引言

近年來，客運(yùn)市場(chǎng)增長(zhǎng)趨緩，貨運(yùn)市場(chǎng)飛速發(fā)展，航空貨運(yùn)不斷提高貨機(jī)運(yùn)輸能力，而客改貨飛機(jī)的費(fèi)用比購置全新貨機(jī)要低得多，這樣還可以大大減少貨運(yùn)公司的初期投入。而飛機(jī)制造準(zhǔn)確度問題涉及設(shè)計(jì)和制造的各個(gè)方面，過去多憑經(jīng)驗(yàn)處理，存在的問題很多。目前，大部分飛機(jī)容差設(shè)計(jì)依然采用傳統(tǒng)方法。傳統(tǒng)容差分析是以一維尺寸鏈為基礎(chǔ)，將尺寸鏈進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，從而推導(dǎo)出容差分析模型。這種方法主要適用于靜態(tài)容差分析。近年來國內(nèi)外在容差領(lǐng)域取得了一定的成果。LAPERRIERE等^[1]提出了一種計(jì)算機(jī)輔助公差模型——雅可比旋量模型，該方法結(jié)合了為計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)開發(fā)的雅可比矩陣和旋量模型的優(yōu)點(diǎn)，能夠在統(tǒng)計(jì)情況下進(jìn)行公差分析和公差綜合。DU等^[2]通過建立軌跡修正的單層優(yōu)化模型和一種新的嵌套雙層優(yōu)化模型，完成了艙門機(jī)構(gòu)的尺寸公差設(shè)計(jì)，有效提高了艙門機(jī)構(gòu)目標(biāo)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)行軌跡的精度。葛磊等^[3]通過建立容差仿真分析模型，借用VSA容差分析軟件，分析同類零件在不同定位裝配方式時(shí)零件制造誤差對(duì)裝配控制目標(biāo)的影響，得到公差庫文件，為工藝優(yōu)化提供依據(jù)。陳華^[4]將雅可比旋量模型引入到發(fā)動(dòng)機(jī)裝配體的公差分析中，建立特征旋量在組合公差限制下的矢量變動(dòng)及其相互間的約束方程，最終實(shí)現(xiàn)了對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)裝配體準(zhǔn)確可靠的三維公差分析。仇念堯^[5]對(duì)考慮了孔銷浮動(dòng)的汽車座椅升降機(jī)構(gòu)以及滑軌總成進(jìn)行容差分析，并引入多種成本模型，建立了多目標(biāo)公差優(yōu)化模型，從而實(shí)現(xiàn)了綜合考慮功能性和成本的汽車座椅骨架系統(tǒng)的容差設(shè)計(jì)。張曉丹^[6]以地鐵扶手機(jī)構(gòu)為例，將Taguchi方法應(yīng)用到地鐵扶手機(jī)構(gòu)的穩(wěn)健優(yōu)化中，同時(shí)建立兩種以成本-公差函數(shù)為目標(biāo)的公差穩(wěn)健優(yōu)化模型，使用遺傳算法進(jìn)行求解，將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)基于質(zhì)量損失模型的公差穩(wěn)健設(shè)計(jì)更加有效。

本文使用基于修正雅可比旋量模型^[7]的容差分析方法，對(duì)引導(dǎo)鎖C形閂機(jī)構(gòu)中C形閂的安裝位置、精度進(jìn)行分析。在飛機(jī)使用過程中，C形閂的安裝位置以及運(yùn)動(dòng)過程中位置的偏差都會(huì)給是否能正確上鎖產(chǎn)生影響，因此這里主要研究C形閂在運(yùn)動(dòng)過程中的位置偏差。第1節(jié)主要說明基于修正雅可比旋量模型的C形閂機(jī)構(gòu)容差模型建立過程及各機(jī)構(gòu)桿件參數(shù)。第2節(jié)說明具體容差累積函數(shù)的求解方法及容差設(shè)計(jì)。

1 C形閂機(jī)構(gòu)容差模型建立

文獻(xiàn)[8]中寫道，某機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)鏈即為其圍繞功能要求部位的容差鏈，但是在較為復(fù)雜的機(jī)構(gòu)中，單一的運(yùn)動(dòng)鏈?zhǔn)菦]有辦法兼顧容差累積方向和容差變動(dòng)方向，所以需要對(duì)容差鏈進(jìn)行分析。{（FE₁，F(xiàn)E₂，…，F(xiàn)E_n）：FR}可以用來表示某一裝配鏈，其中FE₁，F(xiàn)E₂，…，F(xiàn)E_n可以看成是功能元素對(duì)，F(xiàn)R看成是功能要求部位，那么容差鏈就是這一裝配鏈。

容差鏈建立的具體過程就是在容差鏈上的每個(gè)功能元素對(duì)內(nèi)建立局部方向坐標(biāo)系（在功能元素對(duì)和功能要求部位之間建立聯(lián)系，方向上是與全局坐標(biāo)系保持一致，用來表示容差變動(dòng)影響）和容差坐標(biāo)系（建立小位移旋量模型的坐標(biāo)系，用來表示容差變動(dòng)方向），解決單一運(yùn)動(dòng)鏈無法解決的問題，同時(shí)在功能要求部位建立全局坐標(biāo)系。

以一個(gè)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例，功能元素對(duì)應(yīng)容差坐標(biāo)系及局部方向坐標(biāo)系，功能要求部位的全局坐標(biāo)系建立如圖1所示。

圖1為曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖，運(yùn)動(dòng)副B處存在間隙容差，D處位置精度就是分析的目標(biāo)。容差鏈為AB—BC—CD—D，在A處建立全局坐標(biāo)系，在B、C、D處建立容差坐標(biāo)系和局部方向坐標(biāo)系，從而完成容差表達(dá)和容差傳遞的目標(biāo)。

在容差坐標(biāo)內(nèi)建立的小位移旋量模型需要轉(zhuǎn)換到局部方向坐標(biāo)系內(nèi)，而g_ab=（p_ab，R_ab）可用于表示兩個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，其中p_ab為坐標(biāo)系的原點(diǎn)在另一個(gè)坐標(biāo)系的位置向量，R_ab為坐標(biāo)系相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系的方向矩陣。而對(duì)于旋量來說，其坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，就需要求解g_ab的伴隨矩陣A_g，ab。

對(duì)于所有的功能元素對(duì)，因?yàn)槠渲兴⒌膬勺鴺?biāo)系的原點(diǎn)位置保持不變，所以p∧=0。則某小位移旋量模型的轉(zhuǎn)換過程可以用公式表示為

局部方向坐標(biāo)系建立在每一個(gè)功能元素對(duì)處，同時(shí)也解決了功能元素對(duì)內(nèi)6個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)的方向在全局坐標(biāo)系內(nèi)各不相同的問題。因此，可以用齊次坐標(biāo)系表示第i個(gè)局部方向坐標(biāo)系在全局方向坐標(biāo)系下的位置和方向：

對(duì)于第i個(gè)功能元素對(duì)的雅可比矩陣，主要是通過各功能元素對(duì)內(nèi)局部方向坐標(biāo)系在全局坐標(biāo)系內(nèi)的位置和方向確定的，具體為

同時(shí)，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的過程中，（dⁿ₀－dⁱ₀）是一直在變化的，這樣構(gòu)建的雅可比矩陣也會(huì)發(fā)生變化。假設(shè)輸入量為θ，則（dⁿ₀－dⁱ₀）=f_i（θ），進(jìn)而需要將雅可比矩陣內(nèi)關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的推導(dǎo)進(jìn)行修正。

那么對(duì)于含有n個(gè)功能元素對(duì)的容差鏈，其全局容差累計(jì)函數(shù)為

式中：δlδα^T為功能要求部位的小位移旋量，也就是所求的結(jié)果；J_η為全局雅可比矩陣；δ_FE1…δ_FEn^T為局部方向坐標(biāo)系上的小位移旋量。推導(dǎo)出容差累積函數(shù)后，還需要進(jìn)行靈敏度分析，可以使用基于Taguchi的容差貢獻(xiàn)度、靈敏度方法。

Taguchi方法中引入了二次質(zhì)量損失函數(shù)，其預(yù)期值表達(dá)式為

式中：L（f）為質(zhì)量損失函數(shù)；f為響應(yīng)函數(shù)；k為一常數(shù)；μ、σ分別為f的均值和方差；m為目標(biāo)值。對(duì)于式（7），若存在可以將μ調(diào)整到目標(biāo)值的比例因子，則式（7）可以推導(dǎo)為

式（8）為推導(dǎo)出的信噪比公式，而對(duì)于不同的設(shè)計(jì)目標(biāo)，對(duì)信噪比的要求也不一樣，想得到最小的目標(biāo)值，那么信噪比應(yīng)取最大，則此時(shí)信噪比表達(dá)式轉(zhuǎn)化為

為進(jìn)一步研究各容差的靈敏度問題，需要對(duì)式（6）進(jìn)行細(xì)化，得到通用容差累積關(guān)系式。

在穩(wěn)健設(shè)計(jì)中，可以對(duì)δ_ij的范圍取不同的水平值來進(jìn)行正交試驗(yàn)，對(duì)其進(jìn)行信噪比分析，降低噪聲因子的影響。從機(jī)構(gòu)位置偏差角度來說，機(jī)構(gòu)位置偏差應(yīng)越小越好，所以目標(biāo)值越小，則位置偏差的信噪比公式采用式（9）。通過對(duì)信噪比及其極差的分析，得到對(duì)偏差影響較大的因子，從而重新進(jìn)行容差設(shè)計(jì)，使得偏差趨于穩(wěn)定。

圖2為C形閂機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖，這里只建立了部分坐標(biāo)系，具體坐標(biāo)系建立過程參照?qǐng)D1，運(yùn)動(dòng)副A、B、C、D、E、F處均存在間隙容差，G處位置精度就是此次分析的目標(biāo)，并且做出以下假設(shè)：在運(yùn)動(dòng)副中，不存在因接觸碰撞而引起的變形并且全部為線接觸。分析整個(gè)機(jī)構(gòu)可得，兩個(gè)四桿機(jī)構(gòu)都與C形閂的位置精度有關(guān)，研究討論各組件容差及間隙容差對(duì)其位置精度的影響。

本節(jié)對(duì)于孔軸配合選用H8/f7，尺寸長(zhǎng)度公差采用6級(jí)公差，其中機(jī)構(gòu)各桿件參數(shù)、公差以及容差設(shè)計(jì)值如表1所示，尺寸、間隙容差均為不合格率為0.27%的正態(tài)分布。

2 C形閂機(jī)構(gòu)容差模型求解及優(yōu)化

使用所介紹的修正雅可比旋量模型對(duì)C形閂機(jī)構(gòu)進(jìn)行容差分析，建立容差鏈為AB—BC—CD—DE—EF—FG，確認(rèn)容差鏈中各功能元素對(duì)和功能要求部位，并在相應(yīng)位置建立容差坐標(biāo)系、局部方向坐標(biāo)系、全局方向坐標(biāo)系。功能要求部位的位置偏差只考慮x和z方向，對(duì)兩個(gè)方向的數(shù)據(jù)進(jìn)行平方和及再開根的處理，得到容差累積函數(shù)為：

考慮到引導(dǎo)鎖C形閂機(jī)構(gòu)的作動(dòng)器行程為120°，那么輸入變量θ從25°變化到-95°，每隔1°進(jìn)行一次計(jì)算。運(yùn)用蒙特卡洛法，采用數(shù)值模擬的方式抽取隨機(jī)數(shù)，同時(shí)按照正態(tài)分布規(guī)律，抽取隨機(jī)數(shù)的不合格率設(shè)置為0.27%，得到各角度的平均偏差量，并將該機(jī)構(gòu)模型導(dǎo)入3DCS中進(jìn)行仿真，按照蒙特卡洛抽樣的方式進(jìn)行抽樣裝配并得出結(jié)果，將其與基于修正雅可比旋量模型得出的平均偏差數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3所示。

由圖3可得，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，其平均偏差量隨著輸入角度的變化會(huì)有不同程度的波動(dòng)，在前一段行程中，平均偏差量不斷減小，但是在后一段中，有慢慢變大的傾向，可以適當(dāng)減小運(yùn)動(dòng)過程中的偏差，提高運(yùn)動(dòng)精度。修正雅可比旋量模型和商業(yè)容差軟件所得曲線以及變化趨勢(shì)基本相同，雖然有點(diǎn)偏差，但誤差較小，且在可接受范圍之內(nèi)。因此該方法可用于分析此機(jī)構(gòu)。

對(duì)得到的容差累積函數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，將優(yōu)化前后的平均偏差量進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖4所示。

從圖4可知，使用基于Taguchi的容差貢獻(xiàn)度、靈敏度分析方法，對(duì)各桿件容差重新設(shè)計(jì)以后，目標(biāo)的平均偏差減小約50%，同時(shí)在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中波動(dòng)明顯變小，穩(wěn)定性提高。在推導(dǎo)出容差累積函數(shù)的前提下，使用基于Taguchi的容差貢獻(xiàn)度、靈敏度分析方法可以很好地改善初始容差不足導(dǎo)致的偏差過大的情況。

3 結(jié)語

1）使用修正雅可比旋量模型進(jìn)行容差分析，該方法同樣適用于空間機(jī)構(gòu)，將計(jì)算結(jié)果與基于一維尺寸鏈理論的商業(yè)容差分析軟件進(jìn)行對(duì)比，兩者所得曲線以及變化趨勢(shì)基本相同，誤差較小，且在可接受范圍之內(nèi)。因此該方法可用于分析此機(jī)構(gòu)。

2）以基于修正雅可比旋量模型的容差分析方法為前提，為后面對(duì)機(jī)構(gòu)各容差進(jìn)行靈敏度分析創(chuàng)造了條件，尤其是對(duì)運(yùn)動(dòng)副間隙容差。

3）采用基于Taguchi的容差貢獻(xiàn)度、靈敏度分析方法對(duì)C形閂機(jī)構(gòu)分析及容差設(shè)計(jì)，優(yōu)化效果明顯，有效地提高C形閂機(jī)構(gòu)的裝配精度和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)健性，目標(biāo)的平均偏差減小了約50%，穩(wěn)定性提高。

參考文獻(xiàn)：

[1] LAPERRIERE L， GHIE W， DESROCHERS A. Statistical and deterministic tolerance analysis and synthesis using a unified Jacobian-torsor model[J]. CIRP Annals， 2002， 51（1）： 417-420.

[2] DU J B，HUANG Z T，YANG R Z. Optimization of the motion control mechanism of the hatch door of airliner[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2015，51（5）：1173-1186.

[3] 葛磊，陳雙霽. 基于裝配關(guān)系的公差庫建立及在容差分析中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械制造與自動(dòng)化，2019，48（5）：67-70.

[4] 陳華. 基于雅克比旋量模型的三維公差分析方法研究及在發(fā)動(dòng)機(jī)裝配中的應(yīng)用[D]. 上海：上海交通大學(xué)，2015.

[5] 仇念堯. 汽車座椅骨架系統(tǒng)功能公差研究[D]. 長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2022.

[6] 張曉丹. 地鐵扶手的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)[D]. 大連：大連交通大學(xué)，2018.

[7] 張黎. 面向機(jī)構(gòu)精度穩(wěn)健性的起落架容差設(shè)計(jì)[D]. 南京：南京航空航天大學(xué)，2020.

[8] LAFOND P，LAPERRIERE L. Jacobian-based modeling of dispersions affecting pre-defined functional requirements of mechanical assemblies[C]//Proceedings of the 1999 IEEE International Symposium on Assembly and Task Planning （ISATP′99） （Cat. No. 99TH8470）. Porto，Portugal：IEEE，2002：20-25.

收稿日期：2022-12-05