反比例函數(shù)的奇妙世界

反比例函數(shù)，用簡潔而優(yōu)美的形式表達(dá)著兩個變量之間的反比例關(guān)系。它告訴我們，在某些情況下，當(dāng)一個量增加時，另一個量則會相應(yīng)地減少，兩者之間存在一種微妙的平衡。它的圖像，是一條雙曲線，無限延伸卻永不相交，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱之美，也讓我們感受到了規(guī)律的嚴(yán)謹(jǐn)與奇妙。

今天我給大家分享一下反比例函數(shù)的三條常用性質(zhì)和六個模型，簡稱“三頭六臂”。

“三頭”包括反比例函數(shù)的不變性，即一“乘”不變，xy=k，|k|越大，函數(shù)圖像離原點越遠(yuǎn)；增減性，即同一象限用增減，不同象限看符號；對稱性，即關(guān)于原點中心對稱，關(guān)于直線y=±x對稱。

“六臂”，即有6種模型，具體如下：

模型1：一點兩垂直（如圖1）

其中S矩形OABC=[k]；

S△OAB=S△OBC

=[12]S矩形OABC=[12][k]。

模型2：三角化梯（1）（如圖2）

S△OCD=S梯形ABCD。

證明：∵S△OCD=S四邊形OBCD-S△OBC，

S梯形ABCD=S四邊形OBCD-S△OAD，

又∵S△OBC=S△OAD，

∴S△OCD=S梯形ABCD。

模型3：三角化梯（2）（如圖3）

S△OAB=S梯形ACDE。

證明：利用反比例函數(shù)的幾何意

義，得S△OAB=S△OAE-S△OBE=S△OAE-S△OCD

=S梯形ACDE。

模型4：對稱點垂直三角形（如圖4）

S△ABC=[k]。

證明：S△ABC=S△OAB+S△OBC

=[12][k]+[12][k]=[k]。

模型5：平行模型（如圖5）

CE∥BD。

證明：∵S△BCE=S△BCO=[12][k]，

S△DEC=S△DEO=[12][k]，

∴S△BCE=S△DEC。

∴CE∥BD。

模型6：線段相等（如圖6）

AB=CD。

證明：∵S△BEF=S△BFO=[12][k]，

S△CEF=S△CEO=[12][k]，

∴S△BEF=S△CEF，得EF∥AD。

∴四邊形ABFE和四邊形CDFE為平行四邊形。

∴AB=EF，CD=EF。

∴AB=CD。

利用反比例函數(shù)的幾何意義和一些模型，結(jié)合幾何圖形和反比例函數(shù)的常用性質(zhì)，解題過程會很簡便，解題速度也會得到提升。

教師點評

王瑞琦同學(xué)在解決反比例函數(shù)問題后總結(jié)了三條常用性質(zhì)和六個模型。模型是對某類題系統(tǒng)地簡化和概括得到的，可見該同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中滲透了模型思想?？偨Y(jié)模型是對解題的進(jìn)一步深化，是透過現(xiàn)象看到本質(zhì)的過程。

（指導(dǎo)教師：崔建平）