雙轉(zhuǎn)臺五軸數(shù)控機床旋轉(zhuǎn)軸位置無關(guān)幾何誤差辨識

張文斌 劉煥牢 王宇林 周恒宇

摘要：

針對雙轉(zhuǎn)臺五軸數(shù)控機床旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識精度問題，提出一種在機床坐標系下的旋轉(zhuǎn)軸位置無關(guān)幾何誤差（PIGEs）辨識模型。建立了刀具球與工件球在機床坐標系下的實際初始坐標，通過逆矩陣得到工件球在所測軸的實際初始位置，基于4種測量模式建立了包含球桿儀安裝誤差與旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的桿長變化量數(shù)學(xué)模型。仿真分析了PIGEs對測量模式的影響，結(jié)果表明刀具球在兩旋轉(zhuǎn)軸軸線交點位置時，平行度誤差不影響球桿儀桿長變化量。最后，通過實驗辨識出旋轉(zhuǎn)軸8項PIGEs，并對旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的4項位置誤差進行補償。實驗結(jié)果表明，補償后的位置誤差最大絕對值由203.5 μm減小至5.1 μm，所提出的辨識模型可以有效提高五軸機床精度。

關(guān)鍵詞：五軸數(shù)控機床；旋轉(zhuǎn)軸；位置無關(guān)幾何誤差；機床坐標系；球桿儀

中圖分類號：TH161

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.06.008

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標識碼（OSID）：

Identification of Rotary Axes PIGEs of Five-axis CNC Machines with

Double Rotary Tables

ZHANG Wenbin? LIU Huanlao? WANG Yulin? ZHOU Hengyu

School of Mechanical Engineering，Guangdong Ocean University，Zhanjiang，Guangdong，524088

Abstract： Aiming at the problems of the accuracy in identifying geometric errors of rotation axis of five-axis CNC machines with double rotary tables， an identification model of PIGEs of rotation axis on absolute coordinate system was proposed. The actual initial coordinates of the tool ball and the workpiece ball in the machine coordinate system were established， and the actual initial position of the workpiece ball in the measured axis was obtained by the inverse matrix. The mathematical model of the double ball bar length changing included installation errors and the PIGEs of the rotation axis was established based on the four measurement patterns. The effects of PIGEs on the measurement pattern were analyzed by simulation. The results show that the parallelism error may not affect double ball bar length changing when the tool ball is at the intersection of the two rotation axis. Finally， 8 PIGEs of the rotary axis were identified through experiments， and 4 positional deviations of the rotary axis PIGEs were compensated. The experimental results show that the maximum absolute value of the compensated positional error is reduced from 203.5 μm to 5.1 μm， and the proposed identification model may effectively improve the accuracy of five-axis CNC machines.

Key words： five-axis CNC machine； rotation axis； position-independent geometric error（PIGE）； machine coordinate system； double ball bar

收稿日期：20230915

基金項目：國家自然科學(xué)基金（52175458）；廣東省自然科學(xué)基金（2021A15150110591）；廣東省教育廳項目（2022ZDZX3006）

0? 引言

五軸機床在加工形狀復(fù)雜的零部件時有獨特的優(yōu)勢，提高五軸機床的精度是提高加工精度的關(guān)鍵［1］。在加工過程中，影響加工精度的因素包括幾何誤差［2］、熱誤差［3］、伺服誤差［4］和切削力［5］引起的誤差。根據(jù)標準ISO 230-1［6］、ISO 230-7［7］和ISO 10791-1［8］中的定義，機床幾何誤差是加工過程中影響加工精度的主要來源。目前已知五軸機床的幾何誤差多達41項，其中旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差成為加工過程中的主要誤差源，包括12項位置相關(guān)幾何誤差（position-dependent geometric errors ，PDGEs）以及8項位置無關(guān)幾何誤差（position-independent geometric errors， PIGEs）［9］。PDGEs與旋轉(zhuǎn)軸本身的制造缺陷有關(guān)，而PIGEs主要是旋轉(zhuǎn)軸組裝時引起的裝配誤差［10］。在零件加工過程中，PDGEs與運動軸的空間位置有關(guān)，因此其大小隨著被控軸的控制命令改變而改變。而PIGEs具有恒定的特性，即不會隨被控軸的控制命令改變而發(fā)生變化。所以對于五軸機床，PIGEs是決定機床精度的關(guān)鍵因素［11］，因此針對旋轉(zhuǎn)軸的PIGEs開展測量與辨識研究尤為重要。

為了測量和辨識PIGEs，學(xué)者們做了很多工作，提出了各種識別PIGEs的數(shù)學(xué)模型和測量方法，如基于激光跟蹤儀的測量方法［12-14］、球桿儀測量方法［10，15-17］、R-test裝置測量方法［18-19］、觸控觸發(fā)探頭［20-21］和試件加工測試［22-23］等測量方法。與其他方法相比，球桿儀的測量方法更加容易建立機床PIGEs與球桿儀桿長變化量之間的數(shù)學(xué)模型，因此球桿儀被廣泛應(yīng)用于五軸機床旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差的測量。

目前，針對旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的定義有“絕對表示”和“相對表示”這兩種定義方法。IBARAKI等［24］總結(jié)了“相對表示”的定義方法在簡化運動學(xué)的描述方面具有優(yōu)勢，但不利于找到最小的定位誤差集。用“相對表示”誤差定義法建立每個旋轉(zhuǎn)軸的數(shù)學(xué)模型時，兩旋轉(zhuǎn)軸之間的誤差耦合影響測量的難度，且誤差測量上的精確度取決于刀具球與工件球能否放入理想位置。項四通［25］通過控制平動軸靜止和兩旋轉(zhuǎn)軸同時運動的方法建立了球桿儀與機床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的數(shù)學(xué)模型，最終得到8項PIGEs的解析解，但其精確度取決于刀具球球心能否精確放置在兩旋轉(zhuǎn)軸軸心位置。 TSUTSUMI等［16］利用球桿儀測量時由多軸同時控制，使它在每個旋轉(zhuǎn)軸的軸向、切向和徑向敏感方向上保持不變，最后成功識別出旋轉(zhuǎn)軸8項PIGEs，但多軸控制會增加平動軸與旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差之間的耦合影響，對準確辨識旋轉(zhuǎn)軸PIGEs會產(chǎn)生一定影響。

雙轉(zhuǎn)臺五軸數(shù)控機床旋轉(zhuǎn)軸位置無關(guān)幾何誤差辨識——張文斌? 劉煥牢? 王宇林等

中國機械工程 第35卷 第6期 2024年6月

相對于“相對表示”的定義方法，“絕對表示”法可以輕松找到最小的定位誤差集，通過控制單一旋轉(zhuǎn)軸運動可以在模型的建立上分離出機床拓撲結(jié)構(gòu)中末端運動體對前一級運動體的影響。LEE等［10］通過控制單旋轉(zhuǎn)軸運動的方法建立了PIGEs數(shù)學(xué)模型，測量結(jié)果的標準不確定度分析驗證了模型的有效性，該方法在提高辨識精度的同時增加了測量的難度，須使球桿儀安裝誤差最小化，且該方法在C軸辨識模型上沒有考慮A軸幾何誤差的影響，認為C軸的幾何誤差不受A軸影響。 OSEI等［26］通過控制單一旋轉(zhuǎn)軸和采取三種不同的測量方法建立了球桿儀桿長變化量的數(shù)學(xué)模型，通過實驗驗證了該模型對PIGEs識別精度高，能有效地提高五軸機床的精度。在模型的建立上，該方法在A軸辨識模型中考慮了Ｃ軸幾何誤差的影響，以及球桿儀桿長計算沒有保證工件球與刀具球的坐標一致性（一個是真實坐標，另一個是理想坐標），這會對PIGEs的識別精度有影響。LEE等［15］考慮了A軸與C軸建模時兩者間的耦合關(guān)系，在A軸模型的建立上分離了C軸誤差的影響，同時在桿長變化量上保證了工件球與刀具球的坐標計算一致性，提高了辨識精度，但忽略了工件球端在所測軸的實際位置上的測量難度。綜上所述，無論是“相對表示”還是“絕對表示”誤差定義的方法建模，在計算球桿儀桿長變化量時會存在刀具球與工件球的坐標參考系不一致問題，以及引入平動軸幾何誤差的問題，這些問題會影響機床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的辨識精度。除此之外，在實驗測量上還要考慮操作的簡便性，以便顯著縮減測量的時間。

針對以上問題，本文提出了一種雙轉(zhuǎn)臺五軸機床在機床坐標系下的旋轉(zhuǎn)軸位置無關(guān)誤差（PIGEs）辨識模型。在機床坐標系下建立刀具球與工件球的實際初始坐標，通過逆矩陣反求工件球在所測軸的實際初始位置，保證刀具球與工件球的坐標計算在同一個坐標系中。然后控制單一旋轉(zhuǎn)軸運動，采用齊次坐標變換理論基于4種測量模式建立了包含球桿儀安裝誤差與旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的桿長變化量數(shù)學(xué)模型。在A軸測量模式的數(shù)學(xué)模型中分離出C軸幾何誤差的影響，在C軸測量模式的數(shù)學(xué)模型中考慮A軸幾何誤差的影響，并對4種數(shù)學(xué)模型進行仿真，分析了PIGEs對各個測量模式的影響。最后通過實驗數(shù)據(jù)對比文獻［14］中建模方法的擬合效果，得出旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的大小后對PIGEs的4個位置偏差進行補償實驗驗證，并與不同文獻的誤差補償效果進行了對比。

1? 機床結(jié)構(gòu)及誤差定義

本文實驗采用球桿儀測量五軸機床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs。在建立旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識模型之前需要分析機床的結(jié)構(gòu)，設(shè)定坐標系及定義誤差類型。

1.1? 機床結(jié)構(gòu)和旋轉(zhuǎn)軸PIGEs定義

本文研究的雙轉(zhuǎn)臺五軸數(shù)控機床結(jié)構(gòu)如圖1a所示，由三個平動軸X、Y、Z和兩個旋轉(zhuǎn)軸A、C組成。運動鏈結(jié)構(gòu)為TZXYMACW。圖1b中，在理想情況下，將機床坐標系（MCS）{SM } （OMXMYMZM）定義為原點位于A軸和C軸交點的參考系統(tǒng)，A軸坐標系（ACS）{SA}（OAXAYAZA）原點對應(yīng)于MCS的坐標原點，C軸坐標系（CCS）{SC}（OCXCYCZC）在轉(zhuǎn)盤中心上，令工件坐標系（WCS）{SW}（OWXWYWZW）與C軸坐標系{SC}重合，其中ZCM為機床到C軸之間的距離（即A軸到工作臺之間的距離）。當機床處于機床零點時，所有線性軸坐標系定義為與機床坐標系{SM }共軸且原點相同。

旋轉(zhuǎn)軸PIGEs是由機床在組裝時旋轉(zhuǎn)軸發(fā)生微小偏差產(chǎn)生的。每個旋轉(zhuǎn)軸有4個PIGEs，包括2個位置誤差和2個平行度誤差，如圖2所示，其中，δYA、δZA分別為A軸軸線在機床坐標系{SM }的YM和ZM方向上的位置誤差，SYA、SZA分別為A軸軸線依次繞著

YM軸和ZM軸的平行度誤差，δXC、δYC分別為C軸軸線在A軸坐標系{SA}的XA和YA方向上的位置誤差，SXC、SYC分別為C軸軸線依次繞著XA軸和YA軸的平行度誤差。

1.2? 球桿儀安裝誤差定義

球桿儀的安裝誤差主要集中在主軸端刀具球［27］。主軸一端的刀具杯經(jīng)過刀柄夾緊時偏離主軸軸線，使得球桿儀的刀具球中心分別在絕對坐標系{SM }的X和Y方向上產(chǎn)生安裝誤差eX和eY。工件球端的中心座經(jīng)過校準球校準鎖緊后，所產(chǎn)生的誤差可以忽略不計［28］。如圖3所示，安裝球桿儀時使主軸側(cè)刀具球球心在Z方向與坐標系{SM }原點在同一高度。

2? 旋轉(zhuǎn)軸PIGEs辨識及仿真分析

2.1? 測量模式

本文在旋轉(zhuǎn)軸PIGEs測量的過程中采用的是控制1個旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)且其他4個軸保持不動的方法，減少了機床其他運動軸幾何誤差對此旋轉(zhuǎn)軸測量結(jié)果的影響，提高了測量結(jié)果的精確度。

測量模式如圖4所示，4種測量模式與文獻［15］中方法相同，每個旋轉(zhuǎn)軸有2種測量模式，分別測量了1個旋轉(zhuǎn)軸的2個位置誤差和2個平行度誤差。測量每個旋轉(zhuǎn)軸的2個位置誤差時，安裝在主軸側(cè)的刀具球球心與2個旋轉(zhuǎn)軸軸心理想相交點重合且固定不動，此外安裝在工作臺側(cè)的工件球隨著旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，如圖4a、圖4c所示。測量每個旋轉(zhuǎn)軸的2個平行度誤差時，安裝在主軸側(cè)的刀具球球心與所測旋轉(zhuǎn)軸理想軸心重合且固定不動，刀具球球心B1到C軸軸線和A軸軸線的距離分別為ZB1C=100 mm和ZB1A=100 mm，此外安裝在工作臺側(cè)的工件球隨著旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，如圖4b、圖4d所示。4種路徑可以測量出2個旋轉(zhuǎn)軸的8項PIGEs。

2.2? 誤差建模

本文研究的雙轉(zhuǎn)臺五軸機床的結(jié)構(gòu)如圖1a所示，基于齊次變換矩陣（HTM）理論建立了包含球桿儀安裝誤差與旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的球桿儀桿長變化量（ΔL）的數(shù)學(xué)模型。首先，在建立模型時，以理想情況下AC軸軸線相交點OM為機床坐標系{SM }原點，如圖1b所示。在球桿儀安裝誤差與旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的影響下，建立刀具球球心B1和工件球球心B2在{SM }坐標系下的實際初始坐標，通過逆矩陣反求工件球在所測軸的實際初始位置。然后控制單一旋轉(zhuǎn)軸運動，通過齊次坐標變換求出工件球旋轉(zhuǎn)后在機床坐標系下的實際坐標。最后根據(jù)實驗數(shù)據(jù)擬合可得出PIGEs的大小。用這種方式建模，使刀具球與工件球的坐標計算保證在同一個坐標系中，同時在測量時不用反復(fù)尋找C軸的準確位置，減少了測量時間。

在機床坐標系下，由于C旋轉(zhuǎn)軸和工作臺合為一體并安裝在A旋轉(zhuǎn)軸上，C軸的姿態(tài)坐標受A軸誤差的影響，A軸姿態(tài)不受C軸誤差的影響，因此在A軸建模時不受C軸幾何誤差的影響。相反，在C軸建模時受A軸幾何誤差的影響。在這種建模方法下，可以明確2個旋轉(zhuǎn)軸PIGEs之間的影響。

球桿儀的測量原理是利用傳感器將刀具球與工件球之間的長度變化實時傳送出來。在球桿儀測量時，工具杯固定在主軸一端，磁力中心座固定在工作臺上。刀具球安裝在工具杯上不動，且安裝在中心座上隨著旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。由1.2節(jié)可知球桿儀在工具杯端存在安裝誤差，使工具杯分別在{SM }坐標系的X、Y方向偏移eX、eY和工件端的安裝誤差忽略不計。在{SM }坐標系下，B1的坐標不變，B2的坐標隨著旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動而改變。

模式一測量時，使B1位置與{SM }坐標系原點位置在Z方向位于同一高度上。理想情況下B2繞著B1做圓周運動，實際測量過程中B2是繞著A軸做圓周運動的，桿長B1B2的變化量隨著B2繞A軸旋轉(zhuǎn)而變化。球桿儀的實際測量路徑如圖5所示。

模式一下B2在{SM }坐標系下的初始坐標為

MP（1）B2_orgin=X1_orginY1_orginZ1_orgin1=eXeY-L01（1）

式中，L為球桿儀的公稱長度。

{SA}與{SM }的坐標系變換矩陣為

MAT=1－SZASYA0SZA10δYA－SYA01δZA0001·

10000cos αA－sin αA00sin αAcos αA00001（2）

式中，αA為A軸旋轉(zhuǎn)的角度。

模式一下B2在{SA}坐標系下的初始坐標為

AP（1）B2_orgin=MAT-1MP（1）B2_orgin（3）

由于 SYA 、SZA 、δZA、δYA 、eX、 eY等的值都是微小量，所以去掉二階微小量可得 B2在{SM }參考坐標系下的坐標約為

MP（1）B2=X1Y1Z11=MATAP（1）B2_orgin≈

eX－LSZA+L（SYAsin αA－SZAcos αA）

（eY－L－δYA）cos αA+δZAsin αA+δYA

（eY－L－δYA）sin αA-δZAcos αA+δZA

1（4）

刀具球是固定不變的，因此模式一下B1在{SM }參考坐標系下的坐標為

MP（1）B1=eXeY01（5）

球桿儀工具球與工件球的坐標都在{SM }坐標系下，這樣可以提高模型的辨識精度。

球桿儀的讀數(shù)對應(yīng)于B1與B2之間的實際距離，則球桿儀的長度可以通過下式確定：

L1=L+ΔL1=PB1PB2=MP（1）B2-MP（1）B1=

{L2（SZA+SYAsin αA-SZAcos αA）2+

［（eY-L-δYA）cos αA+δZAsin αA+δYA-eY］2+

［（eY-L-δYA）sin αA-δZAcos αA+δZA］2}12（6）

式中，L1為模式一下的球桿儀桿長；ΔL1為模式一下的球桿儀桿長變化量。

同理，在模式二下只改變B1在{SA}坐標系下X方向上的距離（即B1到C軸的距離）ZB1C=100 mm，其他條件皆同模式一，因此B2在{SM }坐標系下的初始位置坐標為

MP（2）B2_orgin=X2_orginY2_orginZ2_orgin1=ZB1C+eXeY－L01（7）

B1在{SM }坐標系下的坐標為

MP（2）B1=ZB1C+eXeY01（8）

模式二下球桿儀的長度可以由下式確定：

L2=L+ΔL2=PB1PB2=MP（2）B2-MP（2）B1≈

{L2（SZA+SYAsin αA-SZAcos αA）2+

［（eY-L-δYA-ZB1CSZA）cos αA+ZB1CSZA-

（ZB1CSYA-δZA）sin αA+δYA-eY］2+

［（eY-L-δYA-ZB1CSZA）sin αA+

（ZB1CSYA-δZA）cos αA-ZB1CSYA+δZA］2}12（9）

式中，ΔL2為模式二下的球桿儀桿長變化量。

在模式三下測量C軸時，刀具球球心位置與模式一中刀具球球心的位置相同。由于存在機床旋轉(zhuǎn)軸裝配誤差及球桿儀安裝誤差，因此實際測量過程中B2繞著C軸中心做圓周運動。桿長B1B2的變化量隨著球B2繞C軸旋轉(zhuǎn)而變化。C軸實際測量路徑如圖6所示。

由于C軸受到A軸的影響，因此在模型的建立上要考慮A軸幾何誤差。模式三下B2在{SM }坐標系下的初始坐標為

MP（3）B2_orgin=X3_orginY3_orginZ3_orgin1=L+eXeY01（10）

{SC}與｛SA｝的坐標系變換矩陣為

ACT=10SYCδXC01－SXCδYC－SYCSXC100001·

cos αC－sin αC00sin αCcos αC00001－ZCM0001（11）

式中，αC為C軸旋轉(zhuǎn)的角度。

模式三下B2在{SC}坐標系下的初始坐標為

CP（3）B2_orgin=（MATACT）-1MP（3）B2_orgin（12）

模式三下B1在{SM }坐標系下的坐標為

MP（3）B1=eXeY01（13）

C軸旋轉(zhuǎn)后，模式三下B2在{SM }坐標系下的坐標為

MP（3）B2=X3Y3Z31=MATACTCP（3）B2_orgin（14）

所以在模式三中，球桿儀的長度可以由下式求出：

L3=L+ΔL3=PB1PB2=MP（3）B2-MP（3）B1≈

{［（L+eX-δXC）cos αC+（δYA+δYC+eY）sin αC+

δXC-eX］2+［（L+eX-δXC）sin αC-

（δYA+δYC-eY）cos αC+δYA+δYC-eY］+

L2［（SYA+SYC）（1-cos αC）+SXCsin αC］2}12（15）

式中，ΔL3為模式三下的球桿儀桿長變化量。

同理，在模式四中只改變B1在{SC}坐標系下Z軸方向上的距離（即B1到A軸的距離）ZB1A =100 mm，其他條件皆同模式三，則B2在{SM }坐標系下的初始坐標為

MP（4）B2_orgin=X4_orginY4_orginZ4_orgin1=L+eXeYZB1A1（16）

模式四下B1在{SM }坐標系下的坐標為

MP（4）B1=eXeYZB1A1（17）

因此，C軸旋轉(zhuǎn)后，模式四下球桿儀的長度可由下式求出：

L4=L+ΔL4=PB1PB2=MP（4）B2-MP（4）B1≈

（{［L+eX-δXC-ZB1A（SYA+SYC）］cos αC+

（δYA+δYC-eY-ZB1ASXC）sin αC+

ZB1A（SYA+SYC）+δXC-eX}2+{［L+eX-

δXC-ZB1A（SYA+SYC）］sin αC-

（δYA+δYC-eY-ZB1ASXC）cos αC-

ZB1ASXC+δYA+δYC-eY}2+

L2［SYA+SYC+

SXCsin αC-（SYA+SYC）cos αC］2）12（18）

式中，ΔL4為模式四下的球桿儀桿長變化量。

綜上，式（6）、式（9）、式（15）、式（18）給出了球桿儀的桿長計算數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上辨識旋轉(zhuǎn)軸PIGEs。

2.3? 各誤差對不同測量模式球桿儀變化量的影響

為了研究8項PIGEs誤差對4種測量模式中ΔL的影響，本文進行了仿真分析。表1列出了用于仿真的機床基本結(jié)構(gòu)參數(shù)和誤差數(shù)值，所有的PIGEs位置誤差設(shè)為±10 μm，而所有的平行度誤差設(shè)為±0.005°。

仿真結(jié)果如表2所示，經(jīng)過PIGEs的影響，將ΔL的變化和旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的角度關(guān)系用極坐標圖表示出來，由此可知每個誤差對測量模式的影響。

由于C旋轉(zhuǎn)軸和工作臺合為一體并安裝在A旋轉(zhuǎn)軸上，C軸的姿態(tài)坐標受A軸幾何誤差的影響，A軸姿態(tài)不受C軸幾何誤差的影響，因此表2中模式一和模式二的仿真沒有C軸的幾何誤差。

模式一中C軸PIGEs及SYA、SZA對ΔL無影響，δYA、δZA對ΔL有影響，因此可以用模式一辨識出A軸PIGEs的兩個位置誤差δYA和δZA。

模式二中C軸PIGEs對ΔL無影響，SYA、SZA和δYA、δZA對ΔL都有影響。結(jié)合模式一，模式二可以辨識出A軸PIGEs的兩個平行度誤差SYA和SZA。

模式三中空白處表示該誤差對ΔL無影響，SYA、SXC、SYC對ΔL無影響，δYA、δXC、δYC對ΔL有影響，且δYA、δYC兩者的影響是一致的，因此可以利用模式一辨識出δYA以及利用模式三可以辨識出C軸PIGEs的兩個位置誤差δXC和δYC。

模式四中空白處表示該誤差對ΔL無影響，SYA、δYA、SXC、SYC和δXC、δYC對ΔL都有影響。結(jié)合模式一、模式二、模式三，模式四可以辨識出C軸PIGEs的兩個平行度誤差SXC和SYC。

仿真結(jié)果表明，刀具球在兩旋轉(zhuǎn)軸軸線交點位置時，平行度誤差不會影響球桿儀的桿長變化量，以此可辨析出旋轉(zhuǎn)軸PIGEs中的位置誤差。

2.4? 幾何誤差的識別

分別對4個測量路徑進行實驗，每次實驗時旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動5°記錄一次球桿儀的桿長LA/C。由于不可能完全補償平動軸誤差，而在主軸運動100 mm時難免會出現(xiàn)一點小誤差，因此球桿儀的公稱長度L為0°初始值示數(shù)。

對式（6）等號兩邊平方，去掉二階以上的誤差值可得

ΔL1=（eY－δYA）cos αA－δZAsin αA+δYA－eY=

［cos αA? sin αA? 1］eY－δYA－δZAδYA－eY（19）

由表2可知，模式一中只有δYA、δZA對ΔL有影響，根據(jù)路徑一實驗數(shù)據(jù)結(jié)合式（6）、式（19），運用最小二乘算法通過MATLAB自定義擬合函數(shù)Fittype求出δYA、δZA。

由式（9）可得

ΔL2=（δYA－eY+ZB1CSZA）+（eY－δYA－

ZB1CSZA）cos αA+（ZB1CSYA－δZA）sin αA=

［cos αA? sin αA? 1］eY－δYA－ZB1CSZAZB1CSYA－δZAδYA－eY+ZB1CSZA（20）

模式二中SYA、SZA、δYA、δZA對ΔL都有影響，根據(jù)路徑二實驗數(shù)據(jù)結(jié)合式（9）、式（20），將模式一求出的δYA、δZA代入式（9），運用最小二乘算法通過MATLAB自定義擬合函數(shù)Fittype求出SYA、SZA。

由式（15）可得

ΔL3=（eX－δXC）+（δXC－eX）cos αC+

（δYA+δYC－eY）sin αC=

［cos αC? sin αC? 1］δXC－eXδYA+δYC－eYeX－δXC（21）

模式三中只有δXC、δYA、δYC對ΔL都有影響，根據(jù)路徑三實驗數(shù)據(jù)結(jié)合式（15）、式（21），將模式一求出的δYA代入式（15），運用最小二乘算法通過MATLAB自定義擬合函數(shù)Fittype求出δXC、δYC。

由式（18）可得

ΔL4=［eX－δXC－ZB1A（SYA+SYC）］+

［δXC－eX+ZB1A（SYA+SYC）］cos αC+

（δYA+δYC－eY－ZB1ASXC）sin αC=

［cos αC? sin αC? 1］δXC－eX+ZB1A（SYA+SYC）δYA+δYC－eY－ZB1ASXCeX－δXC－ZB1A（SYA+SYC）（22）

模式四中SXC、SYA、SYC、δXC、δYA、δYC對ΔL都有影響，根據(jù)路徑四實驗數(shù)據(jù)結(jié)合式（18）、式（22），將模式一求出的δYA、SYA及模式三求出的δXC、δYC代入式（18），運用最小二乘算法通過MATLAB自定義擬合函數(shù)Fittype求出SXC、SYC。

使用Fittype函數(shù)自定義擬合函數(shù)，可以滿足線性擬合和非線性擬合。Fittype函數(shù)具有很靈活的配置，基本滿足各種復(fù)雜場景，在復(fù)雜函數(shù)中可以簡單快速求得問題答案。

3? 實驗驗證與補償

3.1? 球桿儀的安裝誤差測量

本實驗在捷甬達V545Ⅲ五軸數(shù)控機床上進行了旋轉(zhuǎn)軸PIGEs測量，機床結(jié)構(gòu)如圖1a所示，實驗驗證模式如圖4中4種測量模式所示。在測量旋轉(zhuǎn)軸之前，通過絲桿螺距補償將五軸機床3個平動軸方向的定位誤差補償進去。表3給出了測試所用的球桿儀規(guī)格，實驗參數(shù)與表1中仿真參數(shù)一致。

本次實驗測試前，機床要按照標準預(yù)熱程序達到熱穩(wěn)定性，實驗室溫度應(yīng)調(diào)至20 ℃。安裝完球桿儀后，利用千分表和球桿儀來測量球桿儀安裝誤差，如圖7所示。

刀具球B1置于主軸端，工件球B2距刀具球B1在X方向上的距離為100 mm。通過千分表測量工具杯的高度Zt，使B1球心置于絕對坐標系Z軸原點上，轉(zhuǎn)動主軸使B1繞主軸軸線旋轉(zhuǎn)，記錄球桿儀B1B2在主軸旋轉(zhuǎn)角度為0°時的長度示數(shù)L和主軸轉(zhuǎn)動過程中最大值Lmax、最小值Lmin及其對應(yīng)主軸旋轉(zhuǎn)的角度θ1、θ2（θ1和θ2的大小相差180°），重復(fù)測量兩次，數(shù)值取平均值。安裝誤差的計算原理如圖8所示，根據(jù)下式可計算得出球桿儀的安裝誤差eX、eY：

R＝Lmax－Lmin2（23）

cos（∠OB1B2）=R2+L2－（Lmin+R）22RL（24）

eX=－Rcos（∠OB1B2）（25）

eY=Rsin（∠OB1B2）? 0°＜θ2≤180°

－Rsin（∠OB1B2）180°＜θ2＜360°（26）

通過球桿儀和千分表測量球桿儀安裝誤差，操作簡單方便，縮短了實驗測量時間。

根據(jù)測量所得，主軸側(cè)工具杯的高度為Zt=205.257 mm，工具杯的安裝誤差eX、eY分別為-0.0403 mm、-0.0765 mm。

3.2? ?PIGEs實驗測量與補償驗證

以C軸為例，不補償主軸側(cè)工具杯安裝誤差而直接測量旋轉(zhuǎn)軸。 控制A軸靜止， C軸從0°旋轉(zhuǎn)到360°，重復(fù)兩次。記錄C軸每旋轉(zhuǎn)5°時球桿儀長度的讀數(shù)LC，最后數(shù)據(jù)處理時取平均值。測量過程如圖9所示。

由2.4節(jié)可知，將所測得的C軸旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動角度和LC數(shù)據(jù)根據(jù)式（18）、式（23）編程出來，通過使用MATLAB中Fittype函數(shù)擬合可得未知量。

對比文獻［15］，當工件球端安裝誤差忽略不計時，此時實驗數(shù)據(jù)擬合如圖10所示，可以看出，當工件球端安裝誤差忽略不計時，文獻［15］的數(shù)據(jù)擬合效果不佳，說明文獻［15］在建模的過程中不能忽略工件球端的安裝誤差，會影響機床旋轉(zhuǎn)軸PIGEs的辨識精度。而本文在建模時，忽略工件球端的安裝誤差，結(jié)果表明模型函數(shù)擬合效果與實驗數(shù)據(jù)相吻合，模型

函數(shù)擬合效果優(yōu)于文獻［15］。

通過對機床旋轉(zhuǎn)軸進行實驗， 補償前和補償后測得的數(shù)據(jù)如表4所示。由于機床PIGEs平行度誤差比較難補償，因此本文實驗只補償4個PIGEs位置偏差量。

對比補償前和補償后的球桿儀桿長變化量ΔL變化，結(jié)果如圖11所示。

對比表2與圖11a、圖11c，平行度誤差SYA、SZA對模式一無影響， 平行度誤差SXC、SYC對模式三無影響，補償后的ΔL變化和理想狀態(tài)下的ΔL變化一致，驗證了誤差模型構(gòu)建的正確性及誤差補償?shù)目尚行?。由圖11d和表4可知，由于補償前SYC較大，本實驗只補償了旋轉(zhuǎn)軸的位置誤差，因此補償后的曲線與理想狀態(tài)的曲線不一致。由圖11b可知，由于補償前平行度誤差SYA、SZA較小，當補償完A軸位置誤差后，補償后的曲線與理想狀態(tài)的曲線一致。實驗數(shù)據(jù)表明本文誤差建模方法可行，有利于提高機床旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差的辨識精度。

與其他建模方法對比誤差補償前后的改善情況（只對比“絕對表示”類建模方法中PIGEs的位置誤差），如表5所示。

通過與現(xiàn)有“絕對表示”方法的辨識模型進行對比，本文模型在補償后的誤差辨識結(jié)果上整體提升比明顯高于其他兩種方法的整體提升比，位置誤差補償后精度得到更好的改善，補償后的位置誤差最大絕對值由203.5 μm減小至5.1 μm，所提出的誤差辨識模型可以有效提高五軸機床幾何誤差辨識精度。

4? 結(jié)論

（1）本文在機床坐標系下建立刀具球與工件球的實際初始坐標，利用逆矩陣反求工件球在所測軸的實際初始坐標，基于齊次坐標變換理論建立了球桿儀桿長變化量的數(shù)學(xué)模型，解決了坐標計算不一致性問題，同時在實驗上避免了反復(fù)尋找旋轉(zhuǎn)軸軸線準確位置的問題。

（2）通過仿真分析位置無關(guān)幾何誤差（PIGEs）對測量模式中球桿儀桿長變化量的影響，研究結(jié)果表明刀具球在兩旋轉(zhuǎn)軸軸線交點位置時平行度誤差不影響桿長變化量，以此辨識出PIGEs的位置誤差。

（3）通過對比實驗數(shù)據(jù)擬合及不同建模方法的誤差補償效果，補償后的位置誤差最大絕對值由203.5 μm減小至5.1 μm，本文的建模方法可以有效提高五軸機床旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識精度。

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（編輯? 胡佳慧）

作者簡介：

張文斌，男，1995年生，碩士研究生。研究方向為數(shù)控裝備技術(shù)及其動力學(xué)。E-mail：1272399767@qq.com。

劉煥牢（通信作者），男，1966年生，教授、博士研究生導(dǎo)師。研究方向為數(shù)控裝備技術(shù)、智能制造。發(fā)表論文70余篇。E-mail：HL66@163.com。