黏彈性地基上雙模量梁受迫振動的時域微分求積法求解

黃春林 彭建設

收稿日期：2023-01-19

基金項目：四川省自然科學基金（2022NSFSC1968）

作者簡介：黃春林（1996—），男，碩士，從事計算固體力學研究.Email： huangchunlin2023@163.com

摘要：以歐拉—伯努利梁模型和黏彈性地基模型為基礎，說明了黏彈性地基上雙模量梁在振動過程中有效抗彎剛度不變，推導出中性層在梁內部時，雙模量梁在地基上的受迫振動控制方程.利用其中性層跳變時位移和速度沒有突變，用時域微分求積法求解了控制方程，并分別探討了地基的線性剛度和剪切參數(shù)，以及雙模量特性對簡支雙模量梁受迫振動的影響.結果表明，地基的2個參數(shù)越大，受迫振動到達穩(wěn)定的時間越短；雙模量比值越大，受迫振動幅值越小.

關鍵詞：雙模量梁；地基梁；受迫振動；微分求積法

中圖分類號：O302;O321

文獻標志碼：A

0引言

一些多晶石墨、高聚合物和復合材料具有拉壓彈性模量不同的特性，但是在工程應用中一般不考慮材料的雙模量特性，這可能導致某些結構設計存在安全隱患［1］.這類雙模量力學問題的求解依賴于中性層位置.基于Ambartsumyan的雙線性本構模型，在梁振動問題方面已有相關研究.Lucchesi等［1］證明了除無張力材料外，雙模量桿的縱向振動存在唯一解.Yang等［2］用光滑函數(shù)法避免本構關系不連續(xù)，研究了雙模量桿的縱向振動.劉相斌等［3］和王銘慧等［4］用不同方法研究了雙模量梁的自由振動.吳曉等［5］在文獻［3］的基礎上考慮剪切效應研究了雙模量梁的自由振動.楊洋等［6］推導出了鐵木辛科梁模型下的雙模量梁，求解并模擬了雙模量梁的前幾階固有頻率.文獻［7］用微分求積法（DQ法）研究了雙參數(shù)地基上的雙模量梁的頻率響應.文獻［8］基于雙模量梁向上彎曲和向下彎曲時彎矩表達式不變，簡單求解了雙模量梁的受迫振動.本研究考慮材料的雙模量特性，從應變能角度說明矩形等截面的雙模量梁在受迫振動過程中有效抗彎剛度不變.基于此，本研究推導了雙參數(shù)地基上雙模量梁的受迫振動控制方程，用時域DQ法求解，并討論了雙參數(shù)地基的參數(shù)和雙模量特性對受迫振動的影響.

1黏彈性地基上雙模量梁的控制方程

1.1幾何方程

雙模量梁長L，橫截面寬b，高h（見圖1），其材料的拉伸彈性模量和壓縮彈性模量分別記為Et和Ec.定義梁幾何中面位移為（u0，w0）時，則截面上任意一點的位移可表示為（u，w），小變形時，幾何關系為，

u，w=u0－ydwdx，w0（1）

式中，y為橫截面上軸向纖維的縱坐標.

那么靜態(tài)小變形時，應變可表示為，

ε=dudx=ε0－yd2wdx2（2）

式中，ε0=du0dx，為幾何中面的應變.需注意雙模量梁的中性層不在幾何中面.

由彈性力學可知，在圖1坐標系下，向下彎曲時，梁的近似曲率為－1ρ0=d2wdx2（ρ0為梁彎曲變形后幾何中面的曲率半徑）.設中性層到幾何中面距離為y0，則由式（2）可得向下彎曲時修正的應變表達式為，

ε=ε0+yρ0=y+y0ρ0（3）

同理，當梁向上彎曲時，近似曲率為1ρ0=d2wdx2，此時向上彎曲時修正的應變表達式為，

ε=ε0－yρ0=y0－yρ0（4）

式（3）和式（4）分別對應圖1坐標系下雙模量梁向下彎曲和向上彎曲時的應變表達式.其中，式（3）滿足當y=-y0時，應變?yōu)?；式（4）滿足當y=y0時，應變?yōu)?.但是中性層的位置y0未知，需要確定.

1.2本構方程

根據(jù)文獻［2］的廣義胡克定律.由式（3）和式（4）結合壓縮彈性模量和拉伸彈性模量分別滿足下列應力應變關系：

橫截面受壓縮區(qū)域為，

σc=Ecε（5）

橫截面受拉伸區(qū)域為，

σt=Etε（6）

式中，σt和σc分別為受拉和受壓區(qū)域的正應力.

1.3地基上雙模量梁的應變能

靜態(tài)小變形時，橫截面上的軸力為零，即，

∫AtσtdAt+∫AcσcdAc=0（7）

式中，At和Ac分別表示橫截面上的受拉和受壓區(qū)域的面積.

將式（3）、式（5）和（6）代入式（7），或將式（4）、式（5）和式（6）代入式（7），均可得中性層到幾何中面的距離為，

y0=h2Ec－EtEc+Et（8）

由上述確定中性層位置的過程可知，雙模量梁向上彎曲和向下彎曲時，幾何中面到中性層的距離不變.考慮通常材料的壓縮彈性模量大于拉伸彈性模量，此時，梁橫截面的應力分布及中性層位置如圖2所示.

同理，靜態(tài)彎曲時橫截面上的彎矩可表示為，

∫AtσtydAt+∫AcσcydAc=M（9）

將式（3）、式（5）與式（6）代入式（9），或將式（4）、式（5）和式（6）代入式（9）可得相同的彎矩表達式為，

M = D*d2wdx2 = b24

h + y0 h-2y0 2Ec ?+ h-y0 h + 2y0 2Et d2wdx2（10）

當y0=0，E=Et=Ec時，上式彎矩表達式可退化為經(jīng)典歐拉梁的彎矩表達式.由上述確定彎矩的過程可知，雙模量梁在振動過程中，隨著彎曲方向的變化，中性層位置會跳變［3］，但是彎矩的表達式不變.

因為軸力為0且雙模量梁的彎矩可以用1個公式描述，所以振動過程中梁的形變勢能可表示為，

Ub=12∫LM2wx2dx=12∫LD*2wx22dx（11）

式（11）經(jīng)一階變分處理后得到的常系數(shù)，即為梁的有效抗彎剛度.因為彎矩表達式在振動過程中不變，所以有效抗彎剛度D*也不變.由此簡化控制方程的推導和求解過程.

1.4受迫振動控制方程

黏彈性地基對雙模量梁的反力為，

P=－k1w+k22wx2－cwt（12）

式中，P為地基反力，k1為地基線性剛度系數(shù)，k2為地基土剪切系數(shù)，c為黏性系數(shù).那么，地基的形變勢能為，

Us=12∫Lk1w2+k2wx2+cwtwdx（13）

均布外加載荷q的外力勢能為，

Uq=∫Lqwdx（14）

雙模量梁的動能為，

K=ρbh∫Lwt2dx（15）

式中，ρ為材料密度.基于哈密頓原理，考慮模量粱的動能、勢能和外力做功滿足以下關系：

δ∫t0∫LK－Ub+Us－Uqdxdt=0（16）

將式（11）、式（13）、式（14）和式（15）代入式（16）即可推導出雙模量梁在黏彈性地基上的橫向受迫振動控制方程為，

D*4wx4+k1w－k22wx2+cwt+m2wt2=q（17）

式中，D*是雙模量梁的有效抗彎剛度，x是梁沿軸向的自變量，t是時間，w是梁的振動小撓度，m=ρbh是梁單位長度的質量，k1為地基線性剛度，k2為地基剪切參數(shù)，c為黏性系數(shù)，q為均布動載荷.

式（17）與黏彈性地基上的單模量梁控制方程的主要區(qū)別在于有效抗彎剛度不同，當y0=0，E=Et=Ec時，該控制方程可退化為經(jīng)典地基梁模型.

值得注意的是，由于雙模量梁在振動過程中，中性層位置會隨著彎曲方向的變化而跳變［3］，所以本模型選擇在幾何中面建立x坐標軸來避免描述動態(tài)位移時撓度函數(shù)不連續(xù).從歐拉梁模型來看，小變形受迫振動時只關注中性層的動撓度，而橫截面上任一點的動撓度看作與中性層的動撓度相等，因此，選擇在雙模量梁的幾何中面建立x軸來描述動撓度是可行的；從地基上雙模量梁的中性層跳變瞬間來看，梁的位移和速度都是連續(xù)的，沒有突變.綜上所述，本研究的黏彈性地基上的雙模量梁模型在經(jīng)典彈性地基梁的基礎上，修正了有效抗彎剛度，通過求解控制方程可以近似地求解其受迫振動.

2時域DQ法求解

令ζ=x/L，Γ=t/T，對式（17）無量綱化得：

D4wζ4+k1w－G2wζ2+H1wΓ+H22wΓ2=q（18）

式中，D=D*L4，G=k2L2，H1=cT，H2=mT2.

取未變形時黏彈性地基梁的軸線為ζ空間域，在空間域取Nζ個節(jié)點，在Γ時間域取NΓ個節(jié)點，則全域有Nζ×NΓ個節(jié)點.根據(jù)DQ法基本原理，用各節(jié)點的加權和表示，可得到全域的DQ線性方程為，

D∑Nζk=1C4ikwk，j+k1wi，j－G∑Nζk=1C2ikwk，j+H1∑NΓl=1C1jlwi，l+H2∑NΓl=1C2jlwi，l=qi，k（19）

式中，i=1，2，···，Nζ;j=1，2，···，NΓ.式中簡寫的動撓度和動載荷具體形式為α，β=（ζα，Γβ）（=w，q）.由式（19）可得，在全域內有Nζ×NΓ個線性方程組，將式（19）改寫為成矩陣形式：

C=F（20）

式中，C是Nζ×NΓ行，列的權系數(shù)矩陣；是待定動撓度組成的Nζ×NΓ行的列陣；F是Nζ×NΓ行的廣義載荷列陣.以簡支邊界條件為例，利用黏彈性地基梁在任意時間節(jié)點Γj（j=1，2，···，NΓ）都有的4個邊界條件和2個初始條件.可將簡支梁的邊界條件表示為，

ζ=0∶w=0，2wζ2=0（21）

ζ=1∶w=0，2wζ2=0（22）

用DQ法離散為，

w0，Γj=0，∑Nζk=1C21k·wζk，Γj=0w1，Γj=0，∑Nζk=1C2Nζk·wζk，Γj=0 （23）

式中，j=1，2，...，NΓ.

將初始條件設為，

Γ=0∶w=w0，wΓ=v0（24）

用DQ法離散為，

wζi ，0 = w0 ζi ∑Nζ k = 1C（1）1k·wζi ，Γ k ?= v0 ζi （25）

式中，i=1，2，…，Nζ.

由式（23）和式（25）得到的4NΓ個邊界條件和2Nζ個初始條件，分別取代式（19）中i=1，2，Nζ－1，Nζ表示的線性方程，j=1，2表示的線性方程，得到可解線性方程組，進而得到式（20）的系數(shù)矩陣C，從而在全域內求解出撓度列陣，得到已知節(jié)點在每個時間節(jié)點的函數(shù)值.至此，ζ域內所有節(jié)點的時程響應已得到.可通過對已得到的ζ域節(jié)點在任意時間節(jié)點的位移，對時間求一階偏導，可分別得到Γ域內各節(jié)點對應時刻的速度作為下一時間段的初始條件，即可求得下一個時間段的動撓度.

3數(shù)值結果與分析

為驗證算法和編程，首先將控制方程退化為經(jīng)典的單模量地基梁情況.以文獻［9］的例1為例：兩端簡支梁，長50 cm，橫截面寬1 cm，高2 cm，彈性模量E=1.5×107 N/cm2，質量密度ρ=0.008 kg/cm3，線性剛度k1=3.5×103 N/cm2，剪切參數(shù)k2=5.92×104 N，初速度和初位移均為0，在該地基梁上作用以均布載荷q=10sin（500t） N/cm，求該地基梁中點處的位移響應.

驗證結果如圖3所示，在該梁的1個振動周期0.016 s內該算例的時域DQ法數(shù)值解和Galerkin法求得的近似解對比，結果吻合良好.其中，時域DQ法的空間域節(jié)點13個，時間域節(jié)點21個.

現(xiàn)考慮黏彈性地基上的雙模量梁問題：一兩端簡支的雙模量梁，長50 cm，寬1 cm，高2 cm，其拉伸彈性模量Et=2.55×106 N/cm2，壓縮彈性模量Ec=5.7×106 N/cm2，質量密度ρ=0.01 kg/cm3，黏性系數(shù)c=1.732 5 N·s·cm-2.

算例1上述簡支雙模量梁位于一黏彈性地基上，在簡支梁上作用q=10sin（500t） N/cm均布交變載荷，初始位移和初始速度均為0.地基的剪切參數(shù)k2=0，分別求出線性剛度k1為1×103、2×103和4×103 N/cm2時，該梁x=25 cm處的動撓度.

算例2上述簡支雙模量梁位于一黏彈性地基上，在簡支梁上作用q=10sin（500t） N/cm均布交變載荷，初始位移和初始速度均為0.地基的線性剛度k1=1×103 N/cm2，分別求出剪切參數(shù)k2為0、6×104和6×105 N時，該梁x=25 cm處的動撓度.

算例3地基的參數(shù)同算例1，當上述簡支雙模量梁位于該地基上時，在簡支梁上作用q=1 N/cm的均布突加載荷，求出該梁x=25 cm處的動撓度.

算例4當上述簡支雙模量梁位于黏彈性地基上，梁上作用q=1 N/cm的均布突加載荷，地基的線性剛度k1=1×103 N/cm2，分別求出剪切參數(shù)k2為0、5×104和1×105 N時，該梁x=25 cm處的動撓度.

算例5為探討雙模量特性對黏彈性地基梁的影響，簡支梁的幾何參數(shù)、密度與黏性系數(shù)同上，地基的線性剛度k1=3×103 N/cm2，剪切系數(shù)k2=5×104 N，突加載荷q=1 N.材料的拉伸彈性模量Et=2.55×106 N/cm2，試探討壓縮彈性模量與拉伸彈性模量的比值r=0.5、1和2時該梁的受迫振動.

算例1～算例4均按空間域節(jié)點13個，時間域節(jié)點51個，求解0.1 s內的振動情況.算例結果分別如圖4～圖7所示.

將圖4和圖5對比分析可知，黏彈性地基上簡支雙模量梁在均布的交變載荷作用下，線性剛度k1對受迫振動的影響強于剪切參數(shù)k2；但是線性剛度或剪切參數(shù)越大，梁中點處的受迫振動到達穩(wěn)定的時間越短，且到達穩(wěn)定時的振動幅值越大.其中，剪切參數(shù)按數(shù)量級增大才會產(chǎn)生明顯的影響.而通過圖6和圖7對比分析，也驗證了地基線性剛度對受迫振動的影響更明顯.原因是彈性地基增加了雙模量梁的有效剛度，導致系統(tǒng)的頻率增大，從而導致振動響應周期減小.

由圖8可知，當簡支雙模量梁在相同突加的均布載荷作用下，地基參數(shù)一定時，隨著壓縮彈性模量Ec與拉伸彈性模量Et的比值增大，振動幅值減小，

且到達穩(wěn)態(tài)的時間縮短.其中Ec∶Et=1時，即為經(jīng)典單模量時地基梁的受迫振動.該現(xiàn)象是材料的壓拉彈性模量比值r越大，雙模量梁的有效抗彎剛度越大所導致.

4結論

本研究推導了黏彈性地基上的簡支雙模量梁的受迫振動控制方程，并基于其中性層跳變時有效抗彎剛度不變，位移和速度無突變的實際現(xiàn)象，用時域DQ法近似求解，并討論了地基參數(shù)和梁材料的壓縮與拉伸彈性模量比值對黏彈性地基梁受迫振動的影響，得到以下結論：

1）黏彈性地基的線性剛度對雙模量梁受迫振動的影響強于剪切參數(shù)，線性剛度的影響起主要作用；而且地基參數(shù)越大，雙模量梁的剛度就越大，最終使振動到達穩(wěn)態(tài)的時間越短.

2）黏彈性地基上的簡支雙模量梁受到突加載荷后，其受迫振動的幅值隨著雙模量的比值增大而減小.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是材料的雙模量比值越大，梁的有效抗彎剛度越大，從而導致振幅越小.

參考文獻：

［1］Lucchesi M，Pagni A.Longitudinal oscillations of bimodular rods［J］.Int J Struct Stab Dy，2005，5（1）：37-54.

［2］Yang H，Wang B.An analysis of longitudinal vibration of bimodular rod via smoothing function approach［J］.J Sound Vib，2008，317（3/5）：419-431.

［3］劉相斌，宋宏偉.不同模量彎曲梁的自由振動［J］.大連民族大學學報，2007，9（5）：104-107.

［4］王銘慧，趙永剛，王康建，等.拉壓彈性模量不等材料簡支梁的線性振動問題［J］.甘肅科學學報，2014，26（5）：10-13.

［5］吳曉，黃志剛，楊立軍.考慮剪切效應時雙模量梁的自由振動［J］.振動與沖擊，2015，34（24）：160-163.

［6］楊洋，姚文娟.不同模量鐵木辛柯梁的自由振動特性分析［J］.上海大學學報（自然科學版），2019，25（6）：978-989.

［7］黃春林，彭建設.雙參數(shù)彈性地基上雙模量梁的頻率響應分析［J］.成都大學學報（自然科學版），2020，39（2）：204-208.

［8］黃春林，彭建設.雙模量梁動力響應的時域GD法求解［J］.武漢理工大學學報（交通科學與工程版），2021，45（5）：945-949.

［9］陳廷兵，彭建設，林凡.解黏彈性地基梁受迫振動的時域DQ法［J］.成都大學學報（自然科學版），2018，37（1）：96-99.

（實習編輯：羅媛）