小學(xué)數(shù)學(xué)“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元學(xué)習(xí)心理過程的建構(gòu)

徐文彬 陳韻嫻 潘禹辰

【摘 ??要】學(xué)生在幼兒園階段即開始接觸“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元的相關(guān)內(nèi)容，部分學(xué)生在小學(xué)入學(xué)時(shí)對(duì)數(shù)的認(rèn)知可能已經(jīng)達(dá)到一年級(jí)的部分目標(biāo)要求。通過編制包含九個(gè)操作性任務(wù)的一年級(jí)新生數(shù)感發(fā)展水平的測試卷，采用個(gè)別面試法，調(diào)查并分析了一年級(jí)新生的數(shù)感發(fā)展水平，確定其學(xué)習(xí)起點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)APOS理論，建構(gòu)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理過程，預(yù)設(shè)其在“程序”與“對(duì)象”的交替前進(jìn)中螺旋上升的環(huán)形進(jìn)程，最終整體化為單元概念圖式，并遷移應(yīng)用于解決實(shí)際問題的過程中。

【關(guān)鍵詞】0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)；單元整體教學(xué)；學(xué)習(xí)心理過程；概念圖式；數(shù)感

在幼兒園科學(xué)領(lǐng)域課程中，已經(jīng)涉及了“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元的相關(guān)內(nèi)容［1］。在小學(xué)入學(xué)前，部分學(xué)生甚至已經(jīng)認(rèn)識(shí)了較大數(shù)，并能進(jìn)行簡單運(yùn)算，如20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)與加減法。為防止教學(xué)“簡單重復(fù)”，筆者基于已經(jīng)確立的單元知識(shí)結(jié)構(gòu)［2-3］，組織一年級(jí)新生進(jìn)行了“數(shù)感發(fā)展水平”的測試，旨在了解學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，預(yù)設(shè)新知與舊識(shí)的聯(lián)系，建構(gòu)“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)心理過程。

一、一年級(jí)新生數(shù)感發(fā)展水平的測試

本測試以一年級(jí)新生為測試對(duì)象，診斷其數(shù)感發(fā)展水平。

（一）測試卷的編制

筆者借鑒已有實(shí)證研究成果，建構(gòu)了較為全面的一年級(jí)新生數(shù)感發(fā)展水平評(píng)價(jià)框架（如表1）。然后基于國內(nèi)外相關(guān)研究中已有的測試題［4-7］，結(jié)合教材內(nèi)容，以貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的情境為依據(jù)，按照評(píng)價(jià)框架編選題目。

本測試采用實(shí)物操作與問答相結(jié)合的形式。為控制測試時(shí)間，筆者通過挖掘各維度之間的關(guān)聯(lián)性（如“計(jì)數(shù)”和“基數(shù)”等），構(gòu)建了九個(gè)主題式情境任務(wù)（括號(hào)內(nèi)為主要測試維度）：快速計(jì)數(shù)小圓點(diǎn)個(gè)數(shù)（感數(shù)）、數(shù)數(shù)（計(jì)數(shù)—數(shù)詞）、統(tǒng)計(jì)小熊數(shù)量（計(jì)數(shù)—可數(shù)實(shí)體、基數(shù)）、比較積木數(shù)量（比較）、解決圍棋子排序問題（數(shù)序與序數(shù)）、估計(jì)圍棋子數(shù)量（估計(jì)）、分一分圍棋子（分與合）、解決與鉛筆相關(guān)的運(yùn)算問題（加減法、非正式乘除法）、提交答案（比較、估計(jì)、分與合、加減法）。各任務(wù)下又由易到難設(shè)置了1～4題，采取一題多測、多題一測的方式進(jìn)行設(shè)計(jì)。一題多測，即一道題可測同一維度的多個(gè)連續(xù)性水平或不同維度的平行性水平；多題一測，即通過不同任務(wù)中的交錯(cuò)題共同驗(yàn)證同一維度同一水平。在此基礎(chǔ)上，對(duì)各題進(jìn)行變式，生成多套平行卷。經(jīng)預(yù)測試對(duì)試題進(jìn)行優(yōu)化，最終形成正式版測試卷。同時(shí)制訂評(píng)價(jià)表和記錄表，以辨明學(xué)生表現(xiàn)所處的水平，盡可能完整記錄測試過程。

本測試卷在編制過程中，全程參考相關(guān)文件和教材，并采用專家咨詢法進(jìn)行評(píng)估和校正，具備較好的內(nèi)容效度。需要說明的是，本測驗(yàn)卷還需檢驗(yàn)復(fù)本信度，即通過兩個(gè)平行測驗(yàn)卷測量同一組被試所得結(jié)果的一致性程度。但受工作量和時(shí)間限制，暫無法實(shí)施檢驗(yàn)，留待后續(xù)進(jìn)行。

（二）測試程序的組織

本研究選取N市3所小學(xué)及F市1所小學(xué)，共計(jì)152名一年級(jí)小學(xué)生作為研究對(duì)象（如表2）。其中，D小學(xué)為農(nóng)村小學(xué)，整體教育教學(xué)水平相對(duì)較低，盡管該校學(xué)生在測試時(shí)已經(jīng)正式學(xué)習(xí)過相關(guān)內(nèi)容，但其數(shù)感發(fā)展的平均水平仍未超過其他3所小學(xué)。由此可見，雖然本次測試由于某些客觀原因，在施測時(shí)間和地點(diǎn)上有一定的局限性，但測試結(jié)果并未受到較大的影響。

（三）測試數(shù)據(jù)的處理

在全面評(píng)估同維度各項(xiàng)相關(guān)任務(wù)的基礎(chǔ)上，以主要任務(wù)數(shù)據(jù)為準(zhǔn)則、輔助任務(wù)數(shù)據(jù)為參照，根據(jù)評(píng)價(jià)框架，對(duì)被試在各維度所能達(dá)到的最高水平進(jìn)行評(píng)定。達(dá)到水平n的被試，記為n分。將評(píng)定的被試各維度的水平情況錄入Excel軟件，并利用SPSS 26.0軟件對(duì)信度與效度進(jìn)行分析。結(jié)果顯示：Cronbachs a 值為0.747，其信度可以接受；KMO值為0.719，結(jié)構(gòu)效度較好，表明因素分析的適切性較為適中。

二、一年級(jí)新生數(shù)感發(fā)展水平的分析

結(jié)合描述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，從質(zhì)的層面作進(jìn)一步分析。

（一）一年級(jí)新生“數(shù)與數(shù)量”的發(fā)展水平

在“感數(shù)”維度，被試的發(fā)展水平總體集中于水平3和水平4。其中，0.66%的被試僅達(dá)到水平1，無法具體回答看到了“幾個(gè)”小圓點(diǎn)，只能感知“多”與“少”；6.58%的被試達(dá)到水平2，只能識(shí)別數(shù)量為3個(gè)的小圓點(diǎn)集合；39.48%的被試達(dá)到水平3，能直觀感知并識(shí)別數(shù)量為5個(gè)左右的小圓點(diǎn)集合；33.55%的被試達(dá)到水平4，能采用簡單的分組策略，識(shí)別數(shù)量為20個(gè)以內(nèi)的小圓點(diǎn)集合，如將7個(gè)小圓點(diǎn)分成“5個(gè)”和“2個(gè)”或“4個(gè)”和“3個(gè)”兩部分；17.76%的被試達(dá)到水平5，能采用跳數(shù)策略識(shí)別數(shù)量超過20個(gè)的點(diǎn)集；1.97%的被試達(dá)到水平6，能采用分組策略快速識(shí)別，知道“5個(gè)10是50”。

在“計(jì)數(shù)—數(shù)詞”維度，所有被試都能從數(shù)詞序列中分化出單個(gè)數(shù)詞。其中，13.16%的被試達(dá)到水平2，無法從指定起點(diǎn)開始數(shù)或只能停于指定終點(diǎn)；44.74%的被試達(dá)到水平3，能較好地把握數(shù)鏈的起點(diǎn)與終點(diǎn)；15.79%的被試達(dá)到水平4，對(duì)自己數(shù)了多少個(gè)數(shù)詞有一定的意識(shí)；26.31%的被試達(dá)到水平5，能自動(dòng)轉(zhuǎn)變數(shù)數(shù)方向，有意識(shí)地、熟練地正數(shù)與倒數(shù)。

在“計(jì)數(shù)—可數(shù)實(shí)體”維度，被試的發(fā)展水平主要集中于水平5，部分被試的最高水平為水平1或水平4，無被試的最高水平為水平2或水平3。其中，6.72%的被試達(dá)到水平1，只能數(shù)具體（感知）的物體，故無法作答或不能數(shù)出被遮擋的小熊；其余被試能擺脫感知單元的依賴，以數(shù)詞本身為數(shù)數(shù)實(shí)體，但在回答集合總數(shù)時(shí)存在一定的偏差，故將其判定為水平4，占9.25%。

在“基數(shù)”維度，達(dá)到水平6的被試最多，占83.55%，說明被試已能從集合元素個(gè)數(shù)的意義上來理解基數(shù)的含義；達(dá)到水平5的被試占1.32%，達(dá)到水平4的被試占15.13%，這些被試分別使用最大的數(shù)詞和最后一個(gè)數(shù)詞作為總數(shù)。

（二）一年級(jí)新生“數(shù)量關(guān)系”的發(fā)展水平

在“比較”維度，1.32%的被試達(dá)到水平1，僅能比較同類積木的相等小集合；6.58%的被試達(dá)到水平2，能比較數(shù)量較少且尺寸相近的兩個(gè)積木集合，多數(shù)能采用計(jì)數(shù)的方式，但由于他們的數(shù)量守恒觀念尚未發(fā)展，所以無法準(zhǔn)確比較尺寸相差較多的兩個(gè)積木集合，如誤認(rèn)為“大的多”或“顏色占得多的就多”；17.76%的被試達(dá)到水平3，具備數(shù)量守恒觀念，且多數(shù)能采用計(jì)數(shù)方式進(jìn)行比較。在實(shí)物集合比較的基礎(chǔ)上，12.50%的被試達(dá)到水平4，能比較兩個(gè)數(shù)字的大小，但僅限于一位數(shù)；61.84%的被試達(dá)到水平5，能準(zhǔn)確比較兩位數(shù)的大小。需要注意的是，水平1至水平3的被試表現(xiàn)出較強(qiáng)的過渡發(fā)展趨勢，部分被試雖不能比較實(shí)物集合的數(shù)量，但能準(zhǔn)確比較一位數(shù)和兩位數(shù)，這可能與家庭和幼兒園的數(shù)學(xué)幼小銜接教育有關(guān)。

在“數(shù)序與序數(shù)”維度，5.92%的被試達(dá)到水平1，無法對(duì)不同大小的圍棋子集合進(jìn)行排序；15.79%的被試達(dá)到水平2，能對(duì)不同大小的圍棋子集合進(jìn)行排序，但無法區(qū)分諸如“3顆棋子”和“第3顆棋子”哪個(gè)是基數(shù)哪個(gè)是序數(shù)；20.40%的被試達(dá)到水平3，能準(zhǔn)確指出某一圍棋子是一排圍棋子中的第幾顆，但無法準(zhǔn)確地將一顆圍棋子插入其中某一特定位置；5.26%的被試達(dá)到水平4，能很好地完成序數(shù)放置任務(wù)；超過半數(shù)的被試達(dá)到水平5，能理解數(shù)量序列關(guān)系中的傳遞性和可逆性。

在“估計(jì)”維度，3.29%的被試達(dá)到水平1，能大膽猜測數(shù)量，雖出現(xiàn)空間范圍估計(jì)傾向，但常使用不切實(shí)際的大數(shù)或小數(shù)進(jìn)行估計(jì)，且無法說明理由，如看見一整盤圍棋子（60顆）就認(rèn)為“這么多應(yīng)該有100顆”，看見比前一盤多時(shí)只多估1顆（實(shí)際多10顆、15顆、30顆不等）；28.29%的被試達(dá)到水平2，能根據(jù)圍棋子所占空間大小匹配較為合適的數(shù)量，但仍超出既定范圍；47.37%的被試達(dá)到水平3，其估計(jì)結(jié)果較為合理，且能將估計(jì)值與心理數(shù)線上的一定范圍建立聯(lián)系；21.05%的被試達(dá)到水平4，能運(yùn)用基準(zhǔn)或分組策略進(jìn)行估計(jì)，如“感覺比30多2個(gè)10”。

（三）一年級(jí)新生“數(shù)的運(yùn)算”的發(fā)展水平

在“分與合”維度，約半數(shù)的被試達(dá)到水平2，能在“分圍棋子”的任務(wù)中理解圍棋子集合之間數(shù)量的等量、互補(bǔ)、互換等關(guān)系，但無法給出恰當(dāng)?shù)慕忉?，也無法全面呈現(xiàn)“8顆圍棋子”的所有分解形式。22.37%的被試達(dá)到水平3，能全面呈現(xiàn)所有分法。25.00%的被試達(dá)到水平4，能從抽象層面全面呈現(xiàn)一個(gè)數(shù)的所有分解形式。在該水平對(duì)應(yīng)任務(wù)的測試中，能明顯觀察到被試“受訓(xùn)練”的痕跡。據(jù)不完全了解，部分被試在幼兒園或幼小銜接階段接觸過這類題目。一些學(xué)生在填寫時(shí)會(huì)默念如“7可以分成1和6”的口訣；有的學(xué)生知道“7的分合有6種（比7少1）”的規(guī)律，但解釋不清；有的學(xué)生能規(guī)范有序地依次填入“1、6”“2、5”“3、4”“4、3”“5、2”“6、1”；有的學(xué)生雖能準(zhǔn)確填寫，但不知道為什么這樣填。因此，筆者一方面為學(xué)生超前的表現(xiàn)感到驚喜，另一方面也反思這樣的銜接是否過于重視知識(shí)點(diǎn)本身，而忽略了知識(shí)背后的道理。

在“加減法”維度，少數(shù)被試達(dá)到水平1，不理解加減運(yùn)算的情境而隨意作答；25%的被試達(dá)到水平2，基本采用數(shù)全部的方式得到加減計(jì)算的結(jié)果；45.39%的被試達(dá)到水平3，能通過任意數(shù)的方式進(jìn)行計(jì)算；28.29%的被試達(dá)到水平4，能較為熟練地運(yùn)用諸如“湊十法”、根據(jù)已知算式推算、交換加數(shù)位置等推論性策略展開計(jì)算，如由“13+14=27”推算得到“14+13=27”。

在“非正式乘除法”維度，被試的發(fā)展水平主要集中在水平2，尚無被試達(dá)到水平4。其中，24.34%的被試達(dá)到水平1，無法理解乘除運(yùn)算的情境而隨意作答；71.05%的被試達(dá)到水平2，能通過在情境圖上進(jìn)行圈畫或?qū)嵨锊僮鞯贸鼋Y(jié)果，如“將每3支鉛筆分為一組，共4組”；4.61%的被試達(dá)到水平3，采用同數(shù)加減的策略進(jìn)行計(jì)算，如通過“3+3+3+3=12，加了4個(gè)3”，知道“共需4個(gè)筆筒”；暫無被試直接依據(jù)“4個(gè)3是12”得出結(jié)果，故無人達(dá)到水平4。

根據(jù)上述分析，一年級(jí)新生具有超出預(yù)期的認(rèn)知起點(diǎn)，因此本單元知識(shí)可以也應(yīng)當(dāng)作為培養(yǎng)數(shù)感的載體，以避免知識(shí)的簡單重復(fù)，使學(xué)生在了解、理解、掌握甚至運(yùn)用部分知識(shí)的基礎(chǔ)上，根據(jù)各自原有的認(rèn)知水平，實(shí)現(xiàn)更大程度的發(fā)展。同時(shí)，測試中表現(xiàn)出的薄弱點(diǎn)可以確定為本單元學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，如難以區(qū)分基數(shù)和序數(shù)等。

三、“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元學(xué)習(xí)心理過程的建構(gòu)

在一年級(jí)新生數(shù)感發(fā)展已有水平的基礎(chǔ)上，預(yù)設(shè)其學(xué)習(xí)心理過程的階段及具體表現(xiàn)。

（一）“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元學(xué)習(xí)心理過程建構(gòu)的基礎(chǔ)

首先，根據(jù)皮亞杰兒童認(rèn)知發(fā)展階段理論，新知的學(xué)習(xí)應(yīng)以學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平為起點(diǎn)，即以數(shù)感發(fā)展水平的測試結(jié)果為基準(zhǔn)。其次，單元知識(shí)結(jié)構(gòu)決定了學(xué)習(xí)內(nèi)容及其教學(xué)方式，為開展學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了方向。最后，以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的APOS理論適用于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，探討數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理結(jié)構(gòu)與心理機(jī)制。其中，心理結(jié)構(gòu)由低到高分為活動(dòng)（Action）、程序（Process）、對(duì)象（Object）、圖式（Schema）四個(gè)層次；心理機(jī)制則是促進(jìn)心理結(jié)構(gòu)形成的方法，包括內(nèi)化、壓縮、解壓、協(xié)調(diào)、逆轉(zhuǎn)等。［8］74

值得注意的是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理結(jié)構(gòu)的建立并非簡單的線性過程，而是在“程序”與“對(duì)象”的交替前進(jìn)中螺旋上升的環(huán)形進(jìn)程。當(dāng)“程序”被壓縮成“對(duì)象”時(shí)，存在反向解壓的潛在過程，即還原為先前的“程序”，并協(xié)調(diào)其他“程序”形成新“對(duì)象”，或逆轉(zhuǎn)為具有相反意義的新“對(duì)象”。綜上所述，APOS理論提供了三種學(xué)習(xí)新知的方式，即“活動(dòng)—程序—對(duì)象”“兩對(duì)象—兩程序—相互協(xié)調(diào)的程序—新對(duì)象”和“對(duì)象—程序—逆轉(zhuǎn)后的程序—新對(duì)象”（如圖1）。［8］76

（二）“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元的學(xué)習(xí)心理過程

APOS理論只是提供了數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的一般心理過程，下面將結(jié)合“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元的具體學(xué)習(xí)內(nèi)容以及學(xué)生實(shí)際情況，將知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為心理結(jié)構(gòu)，并預(yù)設(shè)相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，從而將知識(shí)邏輯轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)邏輯（如表3）。

上述學(xué)習(xí)心理過程預(yù)設(shè)為教學(xué)設(shè)計(jì)提供了參考：階段1為課前學(xué)生的準(zhǔn)備狀態(tài)；階段2到階段3的重點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)背景中抽象出數(shù)，初步理解數(shù)0～9的基數(shù)、序數(shù)的含義；階段4重點(diǎn)掌握0～9數(shù)的順序；階段5到階段6重點(diǎn)掌握0～9數(shù)的大小比較；階段7到階段8重點(diǎn)掌握0～9數(shù)的分解與組成；階段9到階段11重點(diǎn)掌握0～9數(shù)的加減運(yùn)算；階段12回顧并整體建構(gòu)“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元知識(shí)結(jié)構(gòu)；階段13則強(qiáng)調(diào)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。由于這一學(xué)習(xí)心理過程預(yù)設(shè)并未涵蓋數(shù)的讀寫、階段性練習(xí)與復(fù)習(xí)，因此在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)添加相關(guān)活動(dòng)，將其穿插于各階段之間。

通過對(duì)一年級(jí)新生的數(shù)感發(fā)展水平進(jìn)行診斷，并據(jù)此預(yù)設(shè)“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元的學(xué)習(xí)心理過程，為設(shè)計(jì)單元整體教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

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*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度國家一般項(xiàng)目“中小學(xué)STEM教育基本理論與本土實(shí)踐問題研究”（項(xiàng)目編號(hào)：BHA180126）的研究成果。