探索圖形認識教學的基本路徑

顏壽春

［摘? 要］ “圖形認識”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，是研究圖形相關(guān)知識的基礎(chǔ)。教師通過深入分析教材、學情，聯(lián)結(jié)學生知識斷層處、探明學習障礙處，探索“圖形認識”教學的基本路徑：以知識內(nèi)在聯(lián)系為主線，以概念理解為支撐，以邏輯推理為手段，以空間觀念培養(yǎng)為核心。

［關(guān)鍵詞］ 圖形認識；三角形的認識；教學策略

2022年12月底，一名有八年教齡的青年教師借鑒某特級教師成功的教案執(zhí)教“三角形的認識”，雖然教案非常詳盡，操作性也很強，但是教學效果不理想。該青年教師兩次教學均以失敗告終：學生參與的積極性不高，思維明顯跟不上教學節(jié)奏。那么這樣教學的問題在哪里？除了教師課堂駕馭能力不夠強、部分學生基礎(chǔ)差等因素，更為本質(zhì)的原因是什么？

于是，筆者求教于那位特級教師，他的反問讓人深思：“你們有沒有深入了解學情？有沒有認真解讀教材？有沒有細細體會教學設計中的每個環(huán)節(jié)是如何落實教學目標的？”“一語驚醒夢中人”，筆者決定結(jié)合教材研究、學情分析，追本溯源去探尋“圖形認識”教學的基本路徑。

■ 一、教材縱橫分析，聯(lián)結(jié)知識斷層處

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：“圖形認識主要是對圖形的抽象。學生經(jīng)歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關(guān)系?！苯滩淖裱菪仙?、由淺入深的原則，將相關(guān)內(nèi)容分散編排在十二冊教材中，學習時間跨度大，導致學生思維容易出現(xiàn)斷層。

1. 縱向梳理

縱觀人教版十二冊教材，筆者發(fā)現(xiàn)教材對“圖形認識”的編排遵循以下路線：

（1）由“辨認”到“認識”

第一學段的要求是讓學生“辨認”圖形，積累感性經(jīng)驗；第二學段的要求是讓學生“認識”圖形，系統(tǒng)地認識圖形的特征；第三學段的要求是對圖形的性質(zhì)、定理的證明。因此每一課的圖形認識教學教師都要合理把握教學目標，為下一階段的學習奠定基礎(chǔ)。

（2）由“一維”到“三維”

根據(jù)學生認知特點，圖形的認識從一維到二維、再到三維，從三個維度理解：首先，縱向認識路線是“線—角—多邊形—立體圖形”，既體現(xiàn)了要求的層次性，又體現(xiàn)了局部到整體的認識過程；其次，橫向比較發(fā)現(xiàn)教材都從“點—線—面”三個維度去研究某類圖形的特征，主要指圖形的頂點、邊（或棱）、角（或面）三個要素，以及要素之間的關(guān)系的研究；最后縱向梳理，有意識地引導學生理解“線—面—體”之間的關(guān)系，理解“點動成線、線動成面、面動成體”，從全局角度理解圖形間的相互聯(lián)系。

（３）由“一般”到“特殊”

根據(jù)知識點的內(nèi)在聯(lián)系和學生的認知規(guī)律，教材都是先認識某類圖形的特征，再將關(guān)鍵特征特殊化得出特殊的圖形。比如先認識四邊形的特征，再將邊和角的特征特殊化，引出平行四邊形、長方形、正方形的認識。

（４）由“表”及“里”

教材基本遵照從生活實物引入—抽象出幾何圖形—研究特征—引出定義—內(nèi)涵延伸（如各部分的關(guān)系、特性、高等知識）的順序，逐漸從外部特征認識到內(nèi)涵研究，再到豐富特征的認識，這就是由表及里的學習路徑。

２. 橫向比較

筆者選取了現(xiàn)行的人教版、蘇教版、北師大版、浙教版四個版本的教材進行對比分析（如表１），探尋其共性和個性，以引發(fā)深思、改進教學。四種版本教材都將這一內(nèi)容安排在四年級下冊，主要知識點基本相同，但在整體架構(gòu)及細節(jié)呈現(xiàn)處各具特色。

（１）蘇教版教材更加注重與生活的聯(lián)系

教材將三角形的“高”與生活聯(lián)系，從具體物體中抽象出高的模型，將抽象的“高”具體化、生活化。

（２）北師大版教材更加強調(diào)與四邊形的聯(lián)系

教材將“三角形的認識”放在圖形認識的知識體系中，與“四邊形的認識”安排在同一單元：先認識三角形，再認識四邊形；“高”的認識則后移到五年級下冊，安排在“多邊形的面積”這一單元，這樣的編排有利于學生整體感知，方便進行知識聯(lián)系、遷移。

（３）浙教版教材更突出圖形知識的系統(tǒng)性

教材將角、圖形的運動與變換、三角形、平行四邊形、梯形的認識安排于同一單元——“幾何小天地”，先讓學生認識各種多邊形圖形的邊與角，再安排學生進行各類圖形高的學習。將三角形的認識置于整個“圖形認識”的知識體系中，有利于學生學會遷移、積累關(guān)于圖形認識的學習經(jīng)驗，為進一步學習其他圖形打下基礎(chǔ)。

■ 二、學情細致剖析，探明學習障礙處

兒童認識圖形遵循一定的認知規(guī)律，需要經(jīng)歷從對具體直觀圖形的認識過渡到對一類圖形共同特征理解的過程［１］。學者李曉東博士認為：初入學兒童通過對外界的觀察與接觸，對幾何圖形及其概念已經(jīng)有了初步的了解，但是前科學概念（日常生活概念）多于科學概念。教師教學時要基于學生的心理特征和認知規(guī)律幫助學生順利過渡、減少障礙。

教材內(nèi)容雖然看似簡單，但是學生學起來不輕松。學生的學習障礙是什么？筆者針對本節(jié)課的三個知識重點，設計了三個問題來了解學情。

問題１：請你畫幾個不同的三角形，并說一說什么是三角形？

問題２：欣賞生活中的三角形（由教師提供），說一說為什么這些物體外形都做成三角形？

問題３：請選1個三角形，畫出高。

通過分析，筆者發(fā)現(xiàn)了學生的學習障礙處。

１. “定義”難以概括

因為有第一學段的感性認知，大多數(shù)學生都知道三角形的特征是3條邊、3個角、3個頂點，也有部分學生提到三角形是“封閉”圖形，可見學生能初步從點、線、面三個維度去研究平面圖形的基本特征，但是學生要概括出與課本完全一致的定義則非常困難。因此三角形的定義不適合也沒必要讓學生去探究，教師要引導學生通過觀察、自學、解讀，產(chǎn)生認同即可。

２. “特性”理解局限

學生受平行四邊形特性的遷移影響，認為三角形的穩(wěn)定性是指“拉不開”，其深層的本質(zhì)——三角形3條邊的長度確定，形狀是唯一的，學生對這一點無法自行領(lǐng)會。這不僅需要學生動手操作，還需要學生與四邊形進行對比、分析才能理解。因此人教版教材安排的實驗操作很有必要。

３. “畫高”操作困難

“畫高”一直都是教學的難點。學生對“高”的理解會受到豎直經(jīng)驗的干擾，要突破這一點，就要從它的“根”——畫垂線段抓起。學生已經(jīng)學習了平行四邊形的高，這些經(jīng)驗對學生認識三角形的高有很大的幫助，因此教師要讓學生先回憶畫平行四邊形的高，緊扣“頂點”“對邊”“垂線段”等關(guān)鍵詞，然后從操作、比較中進一步感悟其本質(zhì)特征。

三、“教”“學”深刻反思，尋找有效突破處

基于以上分析，筆者回顧這名青年教師的兩次執(zhí)教過程，不難發(fā)現(xiàn)其失敗的主要原因。

１. 忽視聯(lián)系

該教師沒有深入分析教材，認為有特級教師“高大上”的教學設計，不需要重新思考，只要照本宣科就行。這說明，該教師對教材體系不熟悉，對知識前后聯(lián)系不了解；學生被教師牽著走，缺乏主動探究的欲望，不知道為什么而學，也不知道怎么學，更不知道學了有什么用。教師“為了教而教”，學生“為了學而學”，這其實是部分教師課堂教學中存在的通病。

２. 不顧學情

“三角形的認識”知識點多而抽象，教師沒有分析學生在學習上的困難之處，想當然地認為只要按照教學預設上課，學生就一定能掌握相關(guān)知識；課堂上當學生出現(xiàn)思維障礙時，教師沒有停下來思考原因、調(diào)整方案。預設和生成脫節(jié)，這樣的課堂依然是“師本課堂”。因此，無論教師的教學設計如何新穎、高端，如果沒有樹立正確的學生觀，就會使課堂效果不盡如人意。

針對上述問題，筆者重新調(diào)整了教學設計，對課堂教學有了充足的信心。

（１）聯(lián)系與辨別：感受三角形的地位

師：（如圖１，逐個出示多邊形）你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生１：分別是三角形、四邊形、五邊形、六邊形、七邊形……

生２：都有角，都有邊，都有頂點。（教師板書：邊、角、頂點）

師：這些多邊形中邊數(shù)最多的有嗎？（學生搖頭）邊數(shù)最少的哪個圖形呢？（三角形）

師：我們繼續(xù)觀察。（播放課件）你們又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生３：這些多邊形都可以分成一個個不同的三角形。

師：所有的多邊形都能分成很多個三角形，看來三角形就是所有多邊形的基本單位。今天，我們就來進一步認識三角形。

（２）感悟與自學：理解三角形的定義

師：我們來判斷圖２中的圖形是不是三角形？為什么？

生４：第一個不是三角形，因為有1條邊不是直的。

生５：第二不是三角形，因為有４條邊、４個角。

生６：第三個不是三角形，因為這個不是封閉圖形。

師：到底什么叫作三角形？

生７：有３條邊、３個角、３個頂點的圖形叫三角形。

生８：還應該是封閉的。

師：到底什么是三角形呢？請大家翻開課本仔細讀三遍三角形的概念，想一想：這句話哪些詞語是非常重要的？

師：3條線段是什么意思？（給線段加著重號）其實就是三角形的什么？

生９：３條邊。

（３）操作與比較：理解三角形的穩(wěn)定性

師：只要你們留心觀察生活，其實三角形在我們生活中無處不在。那么在生活中，你們在哪些地方見過三角形呢？（略）

師：接下來，老師給你們看幾個三角形，（課件展示生活中的三角形，籃球架的支架、自行車的三角檔、電線桿的支架、斜拉索橋等）想想它們?yōu)槭裁匆龀扇切蔚男螤睿?/p>

生１０：三角形不容易變形，也就是具有穩(wěn)定性。

師：是不是真的具有穩(wěn)定性？想不想驗證？請大家按操作要求動手驗證：①每組左邊同學的信封里裝著2根長棒、2根短棒，每個同學的小棒都是一樣的，請你們用小棒拼成1個四邊形；②每組右邊同學的信封里裝著3根小棒，并且每個同學信封里的小棒都是一樣長，請你們拼成1個三角形。

師：拼好后，請把你們的圖形貼到黑板上。你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生１１：所有的三角形形狀一樣、大小一樣。

師：像這樣，給你3根小棒，并且它們的長度都定了，拼出來的三角形肯定是形狀一樣、大小一樣，我們就說三角形具有穩(wěn)定性。

師：再來看四邊形，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生１２：四邊形的形狀都不一樣。

生１３：四邊形容易變形。

師：想想看，五邊形會不會變形？六邊形、七邊形、八邊形呢？由此我們可以得出什么結(jié)論？

生１４：只有三角形具有穩(wěn)定性。

（４）遷移與延伸：學會畫三角形的高

師：我們學習了什么是平行四邊形、各部分的名稱、特點，還學會了畫高。三角形有沒有高呢？請你們試著畫一畫。

師：到底什么是三角形的高呢？請看大屏幕，我們一起來讀一讀。

師：（畫銳角三角形的高）想一想三角形有幾條高呢？為什么？（有３個頂點）

師：請你畫出三角形的３條高。（學生畫高，教師巡視）

教師展示反饋學生畫高的情況：觀察這3條高，你們發(fā)現(xiàn)了什么？（相交）

師：是的，只要我們這３條高畫準了，就會剛好相交于一點，如果你畫的高沒有相交于一點，說明你畫得不夠準確。

師：（畫直角三角形的高）現(xiàn)在，請你們畫高。（學生畫，教師巡視）

教師展示反饋學生畫高的情況：直角三角形有幾條高？你們能指出三角板的高分別在哪里嗎？（教師指定學生指高）看來，直角三角形的2條直角邊就是其中的2條高。

師：（畫鈍角三角形的高）再來看△ＤＥＦ，請畫出它的高。

生１５：展示圖３。

師：鈍角三角形還有2條高在哪里呢？我們只要把ＦＥ延長出去，從頂點Ｄ向ＦＥ畫垂線段……（教師在黑板上畫另外兩條高）

師：同學們學得真好！現(xiàn)在，請看圖４（動態(tài)演示課件）。你們發(fā)現(xiàn)了什么？

師：像這樣，高一樣長，底也一樣，在數(shù)學上就叫同底等高。

（５）反思與沉淀：感受圖形認識的研究路徑

師：我們從哪些方面認識三角形？學到了什么知識？用了哪些方法去研究？

同樣的教學設計，因為有了思考，就有了靈魂，才有了靈動的課堂！

四、“點”“面”結(jié)合，探尋“圖形認識”教學基本路徑

反思這節(jié)課的磨課歷程，教師從一開始純粹模仿，到結(jié)合學情開展教學，兩次參考的雖是同一份教學設計，教學效果卻大不一樣。

１. 以知識內(nèi)在聯(lián)系為主線

一些教師將每一節(jié)“圖形認識”課作為獨立的知識點來教學，因此忽視了知識的前后聯(lián)系，這樣的教學顯然是片面的。教師要用聯(lián)系的觀點，把單個圖形放在整個知識體系大背景下，讓學生學會用聯(lián)系的眼光看問題，做到活學活用、舉一反三。

知識求“聯(lián)”不求“全”，教師要讓學生從聯(lián)系中構(gòu)建起對圖形的整體認知。這里的“聯(lián)”有三層含義：一是指圖形各知識點之間的聯(lián)系，如面與面、線與線的關(guān)系；二是指圖形各要素之間的聯(lián)系，如面、棱、頂點之間關(guān)系；三是指不同種類圖形之間的聯(lián)系，各類三角形之間、三角形和其他圖形、平面圖形和立體圖形之間的聯(lián)系。

２. 以概念理解為支撐

圖形的概念理解是學習圖形的特征、特性、關(guān)系的基礎(chǔ)。在傳統(tǒng)教學中教師往往只關(guān)注圖形各部分的名稱和特征這些外顯的知識，教學要求也僅停留于此，這樣就忽視了學生自主探究和經(jīng)歷概念的形成過程，導致其在后續(xù)的學習中難以理解其他相關(guān)知識。教師要引導學生對三角形的概念進行深入解讀與仔細體會，從聯(lián)系概念本身入手（如圖５），抽絲剝繭、層層遞進、步步深入進行探究。基于這樣的前提，學生在探究圖形相關(guān)知識時的學習才是深刻的。

３. 以邏輯推理為手段

圖形的特征和各要素之間存在著相互依存、不可分割的聯(lián)系，如果學生忽視了邏輯推理這一重要手段，對圖形的認識將是膚淺而平面的［２］。

比如特級教師任敏龍執(zhí)教“長方體和正方體的認識”一課時，先通過操作、觀察得出面、棱、頂點的特征；然后，通過比較、刪選，提取長方體的關(guān)鍵特征，由關(guān)鍵特征推理論證其他特征；再次，借助特殊化的方法推導出兩類特殊的長方體，其中一類是正方體；最后，借助點、線、面的運動變化推導出長方體的特征。整個認識過程以推理為主要手段，拓展了學生認識圖形的途徑，加深了學生對圖形本質(zhì)的理解。

４. 以空間觀念培養(yǎng)為核心

“圖形與幾何”的課程內(nèi)容是以發(fā)展學生的空間觀念為核心。教師要以知識與技能的教學為載體，將培養(yǎng)學生空間觀念貫穿教學始終。

（１）操作中思考

操作是幫助學生認知的手段，學生動手操作的過程其實是多種感官協(xié)同的活動，是促進知識內(nèi)化的過程。操作的目的是在豐富學生感性認識的基礎(chǔ)上，逐步讓學生在大腦中形成比較清晰的表象，為學生自由展開想象奠定堅實的基礎(chǔ)。比如“長方體的認識”一課，教師提供給學生幾組長短不一、數(shù)量不一的小棒，讓學生制作一個長方體框架，學生要結(jié)合長方體的特征進行思考：首先選擇哪幾組小棒，其次按照什么順序拼搭，最后思考如果長方體的長（寬或高）變化，會引起哪些面的變化和導致整個長方體發(fā)生什么樣的變化。這樣的操作既能夠幫助學生更好地理解圖形特征，又培養(yǎng)了學生空間觀念。

（２）比較中深化

比如“角的認識”一課，為了突破“角的大小與邊的長短無關(guān)、與兩邊叉開的大小有關(guān)”這一教學難點，教師可以安排四個層次的比較：第一個層次是教師將一個角的兩邊變長、變短，比較角的大小變化；第二個層次是將一個活動角的兩邊張開、并攏進行比較；第三個層次是同時出示兩個大小相同、邊的長短不同的角，用重疊法進行比較；第四個層次是出示兩個同樣是３時、但是指針長短不一樣的鐘面讓學生通過簡單的推理分析角。

（３）想象中提升

想象是學生獲取信息和提煉信息不可或缺的有效途徑和必不可少的一種能力，圖形的認識更是離不開想象。

參考文獻：

［１］ 李曉東. 小學生心理學［Ｍ］. 北京：人民教育出版社，２００３.

［２］ 任敏龍. 提取關(guān)鍵特征 展開空間推理——“長方體和正方體的認識”教學與評析［Ｊ］. 小學數(shù)學教師，２０１７（０１）：２４－２８.