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    驚訝與有趣:平方差公式的再創(chuàng)造

    2024-05-29 11:42:01鄧橡逸格
    初中生世界·七年級(jí) 2024年5期
    關(guān)鍵詞:平方差正整數(shù)化簡

    鄧橡逸格

    上學(xué)期,我們學(xué)了平方差公式。我嘗試對(duì)a2-b2=(a+b)(a-b)進(jìn)行分解,但是無論怎樣計(jì)算,都只停留在a2-b2=a2+ab-ab-b2。

    在前些天的一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師出了一道題,最終化簡后得到82-72。這個(gè)答案顯而易見,是15。這時(shí),我發(fā)現(xiàn)15恰好是7和8的和!我很驚訝,便接著算了下去:72-62=7+6,122-112=12+11……我似乎發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象:a2-(a-1)2=a+a-1=2a-1。

    于是,我決定把1擴(kuò)展到正整數(shù)范圍內(nèi)。我先做了幾次嘗試:

    82-62=28=2×8+2×6=2×(2×8-2),

    92-72=32=2×9+2×7=2×(2×9-2),

    82-52=39=3×8+3×5=3×(2×8-3)……

    我設(shè)a為正整數(shù),n為兩項(xiàng)之差,猜想a2-(a-n)2=n(2a-n)。將a擴(kuò)展到整數(shù)范圍呢?如果a=0呢?我試了幾次,仍成立。于是,我猜測(cè),a2-(a-n)2=n(2a-n)(a、

    n為有理數(shù))。

    那么,怎么證明呢?我這樣分解平方差公式:a2-b2=a2-[a+(b-a)]2=a2-a2-2a(b

    -a)-(b-a)2=2a(a-b)-(a-b)2=(a-b)[2a

    -(a-b)],即a2-(a-n)2=n(2a-n)?;蛘撸琣2-(a-n)2=a2-(a2-2an+n2)=a2-a2+2an-n2=2an-n2=n(2a-n),得證。

    這樣,我就用另外一種方式將a2-b2進(jìn)行了因式分解。這可以作為當(dāng)兩數(shù)差值較小時(shí),其平方差的快捷計(jì)算方式。

    瞧,又是一次有趣又充滿驚喜的探索!

    教師點(diǎn)評(píng)

    小作者通過觀察“82-72=8+7”這種特殊現(xiàn)象,提出了一種在“兩數(shù)差值較小時(shí)”實(shí)現(xiàn)快速且準(zhǔn)確計(jì)算的新方法。我們希望通過分享這一發(fā)現(xiàn)的提出及其解決的過程,為大家在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上開啟一扇新的窗戶。從這里,我們也一定能體會(huì)到發(fā)現(xiàn)問題所蘊(yùn)含的學(xué)習(xí)價(jià)值是深遠(yuǎn)且廣泛的,它遠(yuǎn)比單純解決問題更為重要。期待同學(xué)們?cè)谄纷x中有所啟發(fā)。

    (指導(dǎo)教師:符永平)

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