圖形直觀和代數(shù)表達(dá)

張娟萍

【摘要】借助圖形準(zhǔn)確把握問題特征，用代數(shù)表達(dá)揭示數(shù)量關(guān)系.本文從“有理數(shù)”復(fù)習(xí)出發(fā)，以數(shù)和形的兩個(gè)方面貫穿“有理數(shù)、平方根、整式乘法，坐標(biāo)系、多維空間、向量”等中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程，由一維到二維到多維，整合點(diǎn)線面體的思想，由數(shù)與字母、圖形與代數(shù)聯(lián)通，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對學(xué)生而言是已有知識(shí)不斷擴(kuò)張、按一個(gè)邏輯方式生長出來的.數(shù)學(xué)知識(shí)探究過程就是學(xué)生思維的拓展和創(chuàng)造的過程.

【關(guān)鍵詞】圖形直觀；代數(shù)表達(dá)；有理數(shù)

1 引言

從浙教版七年級(jí)上“有理數(shù)”復(fù)習(xí)出發(fā)，以數(shù)和形兩個(gè)方面貫通知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展脈絡(luò)，貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程，由有理數(shù)的概念、有理數(shù)的運(yùn)算、實(shí)數(shù)和代數(shù)式，進(jìn)一步作思維和方法的拓展到直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系以及向量等.

2 數(shù)的表達(dá)與圖形表現(xiàn)

問題1 有理數(shù)表達(dá)方式區(qū)別于小學(xué)常用的自然數(shù)表達(dá)，有什么特征？

生 與小學(xué)的數(shù)比較，表達(dá)一個(gè)有理數(shù)有兩部分——符號(hào)和數(shù)值.

問題2 那么還有什么辦法表示數(shù)呢？不同的表示方法怎么統(tǒng)一呢？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示數(shù).數(shù)的表示中符號(hào)對應(yīng)數(shù)軸上原點(diǎn)左右的方向，數(shù)的表示中數(shù)值部分對應(yīng)數(shù)軸上點(diǎn)的位置距離數(shù)軸原點(diǎn)的長度，這樣就建立了有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系.

我們把數(shù)的概念和計(jì)算聯(lián)系到圖形的表示為：符號(hào)對應(yīng)方向，數(shù)值對應(yīng)線段長度.

3 有理數(shù)相關(guān)概念的圖形表現(xiàn)

問題3 有理數(shù)這一章提到了很多相關(guān)概念，能否用這兩種方法統(tǒng)一表示呢？

學(xué)生先獨(dú)立思考，再群組互動(dòng)：有理數(shù)學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容包括有理數(shù)定義、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)比較大小、有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算，進(jìn)一步到乘方、開方運(yùn)算. 學(xué)生互動(dòng)交流，并將所有的結(jié)論分類和細(xì)化，達(dá)成共識(shí).

4 有理數(shù)運(yùn)算的圖形表現(xiàn)

4.1 有理數(shù)加法的圖形表現(xiàn)

學(xué)生用數(shù)軸表示兩個(gè)有理數(shù)相加時(shí)，以一個(gè)加數(shù)在數(shù)軸上的點(diǎn)為起點(diǎn)，加另一個(gè)加數(shù)，如果是負(fù)的，就向左方向移動(dòng)該加數(shù)數(shù)值所對應(yīng)的單位長度，到數(shù)軸上所在點(diǎn)的位置，得到結(jié)果；如果另一個(gè)加數(shù)是正的，就向右方向移動(dòng)對應(yīng)的單位長度，同樣得到結(jié)果.所以，加減運(yùn)算（減法轉(zhuǎn)化為加法）其實(shí)就是數(shù)軸上的線性運(yùn)算.

學(xué)生們研究得到加法運(yùn)算的圖形表現(xiàn)，相當(dāng)于由一個(gè)點(diǎn)（被加數(shù)）所在位置出發(fā)，向左或右（加數(shù)的正或負(fù)）移動(dòng)一段距離（加數(shù)的數(shù)值），得到的和就是所在點(diǎn)的位置.

4.2 有理數(shù)乘法的圖形表現(xiàn)

有理數(shù)乘法運(yùn)算，怎么樣用圖形的方式來體現(xiàn)呢？

生 兩數(shù)相乘時(shí)想到的圖形就是長方形面積.

那么長方形如何在數(shù)軸上體現(xiàn)出來呢？

學(xué)生交流 乘法得到圖形的面積相當(dāng)于加法得到數(shù)軸上的長度，乘法得到的符號(hào)該如何體現(xiàn)呢？類比數(shù)軸的方向表示符號(hào)的辦法，在這個(gè)直角坐標(biāo)系中也得規(guī)定圖形所在區(qū)域的符號(hào)，這就是直角坐標(biāo)系的象限符號(hào)，如表1.

例如 -3×（-2）在直角坐標(biāo)系中表示：在橫軸上取-3；在縱軸上取-2，得到第三象限中面積為6的長方形，第三象限取正，所以-3×（-2）的結(jié)果表示為+6，如表2.

4.3 有理數(shù)平方、開方的圖象表現(xiàn)

師 平方運(yùn)算怎么在坐標(biāo)系中用圖形體現(xiàn)呢？如，22，（-2）2；用直角坐標(biāo)系以圖形表現(xiàn)？

生 平方運(yùn)算，兩個(gè)數(shù)一樣，即符號(hào)和數(shù)值一樣的，圖形在一、三象限內(nèi)的正方形.

反過來，說明開方運(yùn)算，正方形其邊長是相同的兩個(gè)值，對應(yīng)的數(shù)分別在橫軸與縱軸的正負(fù)半軸上，說明了一個(gè)正數(shù)開方后有正負(fù)兩個(gè)平方根.

4.4 有理數(shù)乘方的圖形表現(xiàn)

師 有了前面的啟示（乘法轉(zhuǎn)化成圖形面積表示），大家能否用圖形表示立方呢？如，你能用圖形表示（2.7）3嗎？

生 用立方體，如何放到數(shù)軸上呢？

生 可以用三條數(shù)軸.用空間模型展示（三維坐標(biāo)）.

為了研究空間圖形與數(shù)的關(guān)系，需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn).過定點(diǎn)O，作三條互相垂直的數(shù)軸，都以O(shè)為原點(diǎn)且具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線，三條坐標(biāo)軸組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).

由學(xué)生在三維坐標(biāo)中表示-3×（-2）×2，并歸納一般方法.

4.5 有理數(shù)數(shù)形結(jié)合的思維拓展

師 有些同學(xué)肯定還會(huì)想4次冪、5次冪、更多次冪怎么辦？

生 可以建立多維空間坐標(biāo)系.

生 三個(gè)有理數(shù)相乘，想到立方體的體積，要建立三維坐標(biāo)系.同樣的思維，多個(gè)有理數(shù)相乘，可以抽象到多維的坐標(biāo)系表示.

師 在解決問題的過程中，可以大膽拓展和創(chuàng)設(shè)，由點(diǎn)想到線想到面想到體，然后創(chuàng)設(shè)數(shù)軸—直角坐標(biāo)系—空間直角坐標(biāo)系—多維直角坐標(biāo)系，可以說思路打開，創(chuàng)造力無限.你們還有什么新奇的想法？

生 圓弧形數(shù)軸，圓形時(shí)鐘的圓周有均勻刻度可以規(guī)定正方向、單位長度、原點(diǎn)，可以類比數(shù)軸.

5 整式乘法的圖形表現(xiàn)

5.1 圖形幾何意義

下面選擇浙教版七年級(jí)下第六章多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算的典型例子——兩數(shù)差的完全平方公式（b-a）2=b2-2ab＋a2，用圖形來解釋等式的意義.

生 等式右邊表示邊長為（b-a）的正方形面積，等式左邊表示總的面積為：邊長為b的正方形面積＋邊長為a的正方形面積-2個(gè)長為a寬為b的長方形面積的總和.根據(jù)圖形整體等于局部之和，所以等式成立.

5.2 整式乘法的圖象表現(xiàn)

數(shù)的乘法可以在直角坐標(biāo)系中的圖形面積及象限符號(hào)表現(xiàn)，同樣的方式可以在直角坐標(biāo)系內(nèi)表示式（字母表示數(shù)）的乘法，如上例兩數(shù)差的完全平方公式.

生 如圖1中，（b-a）2在直角坐標(biāo)系所表示圖形為：邊長為（b-a）的正方形，一邊（b-a）放在橫軸上，b是正的，取原點(diǎn)右側(cè)b的長度單位，-a是負(fù)的，取原點(diǎn)左側(cè)a的長度單位；另一邊（b-a）放在縱軸上，b是正的，取原點(diǎn)上側(cè)b的長度單位，-a是負(fù)的，取原點(diǎn)下側(cè)a的長度單位.b2-2ab＋a2在直角坐標(biāo)系所表示圖形為：邊長為b的正方形面積是b2的數(shù)值，由于在第一象限；邊長為a，b長方形的面積是ab的數(shù)值，由于這兩個(gè)長方形分別在二、四象限，所以符號(hào)取負(fù)，因此得到-2ab，邊長為a的正方形面積是a2的數(shù)值，由于在第三象限，所以符號(hào)取正.兩者說的是同一個(gè)圖，所以它們的值完全相同.

5.3 整式表達(dá)和圖象直觀的向量解釋

在初中數(shù)學(xué)教材中，學(xué)習(xí)整式乘法的時(shí)候要求表示它的幾何意義，就是用整體面積等于局部面積之和來驗(yàn)證乘法公式成立，代數(shù)表達(dá)僅體現(xiàn)在數(shù)值的角度.而在直角坐標(biāo)系內(nèi)表示整式乘法，是體現(xiàn)代數(shù)表達(dá)的時(shí)候數(shù)值與符號(hào)全體參與的過程.

如何找到二者恰當(dāng)?shù)慕忉屇兀肯旅鎻南蛄縖5]的角度作一些分析.向量是既有大小又有方向的量，它與數(shù)值和符號(hào)相對應(yīng)，數(shù)與式的加法運(yùn)算相當(dāng)于平行向量（也叫做共線向量，是指方向相同或相反的非零向量）的和差，加法運(yùn)算，相當(dāng)于線性運(yùn)算.數(shù)與式的乘法運(yùn)算相當(dāng)于平行向量乘數(shù)運(yùn)算，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的乘數(shù)，記作λa.當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時(shí)，λa=0，這樣就實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何的融合.

6 結(jié)語

本課的明線是數(shù)形結(jié)合，把代數(shù)表達(dá)與圖形的直觀表現(xiàn)，聯(lián)系起來，由有理數(shù)復(fù)習(xí)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生串起所有學(xué)過的知識(shí)，由一維的數(shù)軸拓展到二維直角坐標(biāo)系、三維空間直角坐標(biāo)系.用幾何圖形來解構(gòu)有理數(shù)、整式乘法，沿途所產(chǎn)生的所有知識(shí)（包括平方根、坐標(biāo)系、乘法公式、多維空間）對學(xué)生而言不是完全新的東西，而是已有的東西的不斷擴(kuò)張，它整合了點(diǎn)線面體的思維、整合了數(shù)與字母的自然轉(zhuǎn)換，沖破了教材編排的順序和結(jié)構(gòu)，讓知識(shí)按同一個(gè)思想連貫起來.找到一個(gè)合適的邏輯，初一的有理數(shù)和乘法公式、初二和高中的直角坐標(biāo)系，甚至大學(xué)的多維空間，都是由已有知識(shí)擴(kuò)展起來.本課暗線是學(xué)生思維的拓展和創(chuàng)造，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.5.

[2]義務(wù)教育教科書.數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊[M].杭州：浙江教育出版社，2012.

[3]義務(wù)教育教科書.數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊[M].杭州：浙江教育出版社，2012.

[4]義務(wù)教育教科書.數(shù)學(xué) 七年級(jí)下冊[M].杭州：浙江教育出版社，2012.

[5]普通高中教科書.高中數(shù)學(xué)（必修2）[M].北京：人民教育出版社，2017.