有理數(shù)與實際問題運用

楊勇

摘 要：有理數(shù)是初中數(shù)學的一個基礎(chǔ)內(nèi)容，它是將數(shù)學用于解決實際問題的重要工具，也是進一步研究數(shù)學（如代數(shù)式、方程、函數(shù)等）和其他學科的重要基礎(chǔ)。通過有理數(shù)在實際生活問題中的具體運用的探討，將數(shù)學融入生活，使生活數(shù)學化，從而提高學生學習數(shù)學的興趣。

關(guān)鍵詞：有理數(shù)；實際問題；應(yīng)用

數(shù)學的學習往往偏重于理論，課堂的教學往往又由于個人經(jīng)驗和生活積累的缺乏，教師經(jīng)常不能很好地將數(shù)學與生活聯(lián)系起來，使得數(shù)學課堂枯燥乏味。一堂課的情境引入因此就顯得格外重要，如果能做到從生活中的實際問題或是從身邊的事物出發(fā)來引入新知，長此以往將會使學生慢慢地發(fā)現(xiàn)數(shù)學的趣味性和實用性，對數(shù)學產(chǎn)生親切感，這就做到了把數(shù)學融入生活，將生活數(shù)學化，從而提高學生學習數(shù)學的興趣和積極性。

一、有理數(shù)的定義

1.正數(shù)和負數(shù)

要理解正數(shù)和負數(shù)，數(shù)軸是非常形象和常用的工具。0為原點，規(guī)定0的右邊為正數(shù)，左邊為負數(shù)?？梢栽跀?shù)軸上找到相對應(yīng)卻相反意義的數(shù)字。比如天氣預(yù)報：某地最高氣溫5℃，最低氣溫

-3℃（讀：零下3攝氏度）。5與-3分別是正數(shù)與負數(shù)。

在日常生活中，還有許多具有相反意義的量，都可以用正數(shù)和負數(shù)來表示。例：

（1）汽車向東行駛3.5千米或向西行駛2.5千米。

如果規(guī)定向東為正，那么向西就為負。向東行駛記作+3.5千米，向西行駛記作-2.5千米。

（2）在自己的賬簿中，收入3000元，購買一件襯衣支出180元。

根據(jù)經(jīng)驗收入為正，支出為負，那這一次的記賬：收入+3000，支出-180。

概括：在以上討論出現(xiàn)的數(shù)中，像-3，-2.5，-180這樣的數(shù)是負數(shù)，像5，3.5，300這樣的數(shù)是正數(shù)。正數(shù)前面有時也可放上一個“+”（讀“正”）號，如7可以寫成+7。尤其需要注意的是：0既不是正數(shù)，又不是負數(shù)。

2.有理數(shù)

到目前為止，我們所學過的數(shù)就可以分為以下幾類：

正整數(shù)；零，即0；負整數(shù)；正分數(shù)；負分數(shù)。

正整數(shù)、零和負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)，正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

3.有理數(shù)的運算

（1）有理數(shù)加法法則：

①同號兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的正負號，并把絕對值相加；

②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的正負號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

（3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零；

（4）一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。

例1.計算：

（1）（-5）+（-8）；（2）（-9）+（+12）

解：（1）（-5）+（-8）=-（5+8）=-13

（2）（-9）+（+12）=+（12-9）=3

（2）有理數(shù)減法法則：

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

例2.計算：

（1）（-32）-（+5）；（2）7.3-（-6.8）

解：（1）（-32）-（+5）=（-32）+（-5）=-37

（2）7.3-（-6.8）=7.3+6.8=14.1

（3）有理數(shù)乘法法則：

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；

任何數(shù)與零相乘，都得零。

例3.計算：

（1）（-5）×（-6）；（2）（-）×

解：（1）（-5）×（-6）=30

（2）（- ）× =-

（4）有理數(shù)除法法則：

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；

零除以任何一個不等于零的數(shù)，都得零。

例4.計算：

（1）（-18）÷6；（2）（-）÷（- ）；

解：（1）（-18）÷6=-3

（2）（- ）÷（- ）=

二、有理數(shù)的應(yīng)用

例5.學校旁邊的一個超市，舉行圖書促銷會，8名店員每人以銷售200本為本基準，超過記為正，不足記為負。8名店員的銷售結(jié)果如下：

（1）8名店員銷售的總量是多少？是否超過了基準量？

（2）銷售每本書的利潤是1.5元，那么這次一共獲利多少元？

解：（1）（200+15）+（200+21）+（200-6）+（200-9）+（200-11）+（200-4）+（200+20）+（200-7）=1619

一共銷售了1619本，超過基準量。

（2）1619×1.5=2428.5

這次一共獲利2428.5元。

例6.王師傅是賣鞋的，一雙鞋進價20元，售價30元。國慶節(jié)打八折，顧客來買鞋給了一張50元的錢，王師傅沒零錢，于是找鄰居換了50元零錢。事后鄰居發(fā)現(xiàn)錢是假的，王師傅又賠了鄰居50元。請問王師傅一共虧了多少？

解析：這道題目在有一段時間內(nèi)相傳很廣，且很繞腦子，其實這道題目用我們的有理數(shù)知識來解決，是很簡單的。

解：記收入為“+”，支出為“-”，假錢記為0。

從鄰居處用假錢換零得50，記為+50

顧客找零支出（50-30×0.8）=26，記為-26

則可得算式（-20）+0+（+50）+（-26）+（-50）=-46

所以王師傅一共虧了46元。

編輯 白文娟