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    在運動的視角下,聯(lián)通“圖形與幾何”的結(jié)構(gòu)

    2024-05-23 08:35:12張偉明梁婷婷
    教學月刊·小學數(shù)學 2024年4期
    關(guān)鍵詞:圖形與幾何表面積體積

    張偉明 梁婷婷

    【摘? ?要】通過圖形的運動,可以認識圖形特征,掌握測量方法。教師以人教版教材“立體圖形的體積和表面積”的教學為例,通過三次圖形運動,逐步引導學生認識圖形特征,掌握圖形測量方法,類化圖形結(jié)構(gòu),從而更好地聯(lián)通圖形與幾何的知識結(jié)構(gòu),促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

    【關(guān)鍵詞】圖形與幾何;圖形的運動;體積;表面積

    一、緣起

    《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》對“圖形與幾何”領(lǐng)域進行了調(diào)整,將《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中的“圖形的認識”“圖形的測量”“圖形的運動”“圖形的位置”四個主題,整合為“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”兩個主題。這一變化說明“認識”與“測量”、“位置”與“運動”在教學內(nèi)容上緊密關(guān)聯(lián)。比如,圖形特征的刻畫有助于測量方法的掌握,而測量方法的習得又有助于圖形特征的理解。兩者又可以通過圖形運動的視角實現(xiàn)關(guān)聯(lián),即在圖形的運動中認識圖形特征,掌握測量方法,實現(xiàn)圖形特征認識與圖形運動之間的一致性,使各主題緊密結(jié)合。

    那該領(lǐng)域的教學內(nèi)容應(yīng)如何展開深入思考與實施呢?對此,筆者參閱吳正憲老師、張秋爽老師關(guān)于“以運動視角刻畫圖形特征”和“以運動視角理解圖形測量”的觀點[1],結(jié)合人教版教材六年級下冊“整理和復習”單元中的“立體圖形的體積和表面積”這一內(nèi)容進行實踐。一方面,作為小學階段“圖形的認識與測量”領(lǐng)域的最后一課,“立體圖形的體積和表面積”的教學需要對立體圖形的體積和表面積進行系統(tǒng)梳理;另一方面,這一復習內(nèi)容對學生整合所學的有關(guān)圖形的零碎知識提出了更高要求(如圖形的特征、圖形之間的關(guān)聯(lián)、計算公式的由來等)。

    二、教學實踐

    (一)第一次圖形運動:以圖形特征為焦點,激活知識鏈

    對圖形特征的認知主要體現(xiàn)在對圖形的抽象上。為此,學生需經(jīng)歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程。以圖形的運動為視角,可通過圖形的動態(tài)演繹,使學生對圖形特征的理解變得更為深刻。比如,三維直柱體也可通過二維平面圖形垂直平移得到。由此,學生從運動變化中再次認識點、線、面等特征,以已有的知識點為基礎(chǔ),激活知識鏈。

    在本內(nèi)容的導入環(huán)節(jié),教師先以課件的動態(tài)方式演示“點動成線、線動成面、面動成體”的過程,直觀呈現(xiàn)圖形的形成過程:一個點沿一個方向平移,運動后的軌跡是一條線(如線段)。一條線段沿同一個方向平移,運動后的軌跡能形成長方形、正方形、平行四邊形;將這條線段繞著一個端點旋轉(zhuǎn)一定角度,運動形成的軌跡是圓(或扇形)。將平面圖形平移可形成長方體、正方體、圓柱,旋轉(zhuǎn)可形成圓柱或圓錐(如圖1)。這一圖形運動過程再現(xiàn)了一維、二維和三維間的轉(zhuǎn)化,為學生回顧圖形的特征奠定基礎(chǔ)。接著,教師提出核心問題:“看到V=Sh的計算公式,你想到了哪些圖形的體積?你想怎么說明?”通過問題驅(qū)動,幫助學生回憶并整理出長方體、正方體、圓柱等立體圖形都能用這一公式計算體積。具體來說,長方體的體積為abh,正方體的體積為a?,圓柱的體積為πr?h。其中,ab、a?、πr?為底面積,h(a)為圖形的高。在運動視角下,學生能快速回憶起各種立體圖形的特征,為形成知識結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)。

    (二)第二次圖形運動:貫通圖形測量,構(gòu)建知識網(wǎng)

    圖形的長度、面積、體積計算公式的推導建立在測量基礎(chǔ)上,比如:長方形的面積是以面積單位對“行”和“列”進行測量,從而歸納出長方形的面積公式;長方體的體積是以體積單位對“行”“列”和“層”進行測量,進而歸納出長方體的體積公式。教師應(yīng)從運動的視角出發(fā),幫助學生利用測量理解體積的計算公式,發(fā)展空間觀念。

    在本內(nèi)容的展開環(huán)節(jié),教師可以利用V=Sh的計算公式,求長方體、正方體、圓柱的體積,并引導學生思考:“你如何解釋這些立體圖形的體積都可以用V=Sh來計算?”以此引導學生回歸體積推導的基本圖形——長方體,并由此推理其他立體圖形的體積,豐富學生對測量內(nèi)涵的理解。

    【教學片段1】

    師:我們是如何推導長方體的體積公式的?

    生:用1立方厘米的小正方體進行擺放,一行擺a個,擺了b行,有這樣的h層,長方體的體積就用abh來計算。

    師:長方體的底面積a×b表示一層中每一行有a個小正方體,共有b行,即一層有幾個體積單位;h是指有這樣的h層。體積單位的個數(shù)可以用一層的個數(shù)×層數(shù),即Sh來計算。那么,正方體的體積如何計算呢?

    生:正方體的一層中,每一行a個小正方體,有a行,有這樣的a層,同樣可以用Sh來計算。

    師:那么圓柱呢?

    生:一層有πr?個小正方體,有h層。

    師:這樣能看出體積單位嗎?

    生:將圓柱平均分成16等分,拼成一個近似的長方體。這樣,一層中每一行有πr個小正方體,共有r行,有h層。因此,圓柱的體積也可以用V=Sh來計算。

    師:這個S和h究竟代表什么?

    生:S就是一層有幾個小正方體,h就是有幾層。

    師:有同學提到三棱柱也能用V=Sh計算體積。你知道三棱柱的形狀嗎?你想如何來說明?

    生:三棱柱的底部是“一層三角形”,它有幾層這樣的三角形,體積可以用V=Sh來表示。

    在運動視角下,引導學生理解S表示平面圖形的面積,h表示平面圖形平移的距離。當平面圖形的面積不變時,運動的距離越長,直柱體的體積越大;反之,運動的距離越短,直柱體的體積越小。由此推導立體圖形的體積=平面圖形的面積×運動的距離。這使得學生體會到各類直柱體體積計算方法的一致性,認識到這些直柱體的體積都能用V=Sh來計算。

    【教學片段2】

    師:一層的高最小是不是1厘米?如果將1厘米繼續(xù)縮減下去,你能想象此時的形狀嗎?

    生:高為1毫米的一層。

    師:這時用于度量的體積單位是什么?

    生:1立方毫米。

    師:高還能再小下去嗎?

    生:1微米、1納米……

    師:你能想象出這個圖形的形狀嗎?

    生:很薄很薄的一片。

    師:那么S表示什么?h又表示什么呢?

    生:S表示平面圖形的面積,h表示平面圖形平移的距離。

    師:是的,因此立體圖形的體積=平面圖形的面積×運動的距離。我們將這種可以通過平面圖形平移得到的立體圖形稱為直柱體。

    教師從立體圖形體積的計算過渡到表面積的整理。如沿圓柱的一條高剪開,可得到兩個圓形的底面和一個長方形的側(cè)面;對于長方體、正方體、三棱柱等圖形,沿一條高剪開,也可得到兩個底面和一個長方形的側(cè)面。這些立體圖形的側(cè)面都是長方形,其面積均由底面周長C平移h這一距離得到(如圖2),因此這些立體圖形的側(cè)面積也能用底面周長×運動距離來計算。教師通過板書(如圖3)整理相關(guān)知識,讓學生體會到在運動視角下,體積和表面積的計算方法更具有一般性和一致性。

    (三)第三次圖形運動:類化圖形結(jié)構(gòu),實現(xiàn)知識遷移

    圖形的運動不僅是具體的學習內(nèi)容,也是一種思維方式。通過圖形的運動,學生可以深化對圖形的認識與測量,這有利于他們用數(shù)學的眼光觀察圖形世界,體會圖形在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用,進而認識到數(shù)學的價值。

    在本內(nèi)容的練習環(huán)節(jié),教師出示了9個封閉的立體圖形(如圖4),要求學生根據(jù)提供的數(shù)據(jù)找一找9個圖形容積之間的關(guān)系。在之前的展開環(huán)節(jié),學生已經(jīng)探究出立體圖形體積與平面圖形及運動距離之間的關(guān)系。因此,學生能夠迅速發(fā)現(xiàn)②號、④號、⑤號、⑨號立體圖形的容積相等。這一過程促使學生理解在直柱體中,底面圖形可以從原來的正方形、長方形、圓、三角形擴展到平行四邊形、梯形、圓環(huán),甚至任意的平面圖形。

    【教學片段3】

    師:大家說的平行四邊形、梯形、圓環(huán)……都是平面圖形的形狀,那么平移的方向呢?

    生:可以上下、左右平移。

    生:還可以斜著平移。

    師:是的,就是這里的④號棱柱。那你是怎么理解它的高的?

    (根據(jù)學生的比畫,將三本數(shù)學書疊在一起進行演示,讓學生理解斜棱柱的高是面與面之間垂直線段的長度)

    師:你還能發(fā)現(xiàn)其他關(guān)系嗎?

    生:②號圖形的體積是⑦號圖形體積的2倍。⑦號圖形的底面是直角三角形,兩個完全一樣的直角三角形可以拼成一個長方形。

    (根據(jù)學生回答將兩個三棱柱拼成長方體)

    生:我知道了,平移距離相等,平面圖形的面積就成為決定體積的關(guān)鍵要素。因此,平面圖形面積推導中使用的倍拼法,同樣可以用于推導立體圖形的體積。

    生:我還發(fā)現(xiàn)①號圓柱體的體積是⑥號圓錐體體積的3倍。

    生:我覺得②號長方體與⑧號四棱錐的體積之間也存在3倍關(guān)系。

    師:你們會如何驗證這一猜想?

    生:制作等底等高的長方體容器和四棱錐容器,將四棱錐容器倒?jié)M水,再倒入長方體容器中,重復這個過程,看看是否需要3次。

    師:這是很好的想法!

    在本內(nèi)容的總結(jié)環(huán)節(jié),教師帶領(lǐng)學生梳理并回顧“正三角形—正方形—正五邊形—正六邊形—正十八邊形”的形成過程。隨著正多邊形邊數(shù)的增加,其形狀無限趨近于圓形,直至完全變?yōu)閳A形。教師提問:“這些正多邊形可以通過垂直平移得到相應(yīng)的直柱體,那么這些直柱體的體積應(yīng)如何計算呢?”借助在運動變化中特征保持一致的圖形,幫助學生得出“棱柱體積都可以用底面積×高計算”的結(jié)論。而圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的[13],據(jù)此可引導學生推導出棱錐體積也應(yīng)是與之等底等高棱柱體積的[13](如圖5)。由此,學生解決問題的思維從靜態(tài)地分析基本圖形的組成,提升至基于關(guān)系分析圖形特征和等積變化,實現(xiàn)了知識的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)化。

    總之,在運動視角下進行的“立體圖形體積和表面積”的教學實踐,在激發(fā)學生的討論、互動及思維發(fā)展方面取得了令人滿意的成果。通過三次圖形的運動過程,將“立體圖形體積和表面積”的復習融入知識鏈激活、知識網(wǎng)構(gòu)建以及知識遷移應(yīng)用的過程中,使學生對圖形特征有了直觀的認識,構(gòu)建了合理的測量方法,并拓展了對類化圖形結(jié)構(gòu)的理解,從而推動了學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

    參考文獻:

    [1]吳正憲,張秋爽.從運動的視角審視“圖形與幾何”領(lǐng)域兩個主題之間的關(guān)聯(lián)[J].小學教學(數(shù)學版),2023(5):4-5.

    [2]張偉明.點·鏈·網(wǎng),復習課的價值構(gòu)建:人教版“多邊形的面積復習”例談[J].教學月刊·小學版(數(shù)學),2019(12):32-34.

    (浙江省杭州市余杭區(qū)良渚古墩路小學)

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