神奇的數(shù)字“黑洞”

華騰飛

大家都知道，在浩瀚無邊、茫茫無際的 宇宙之中，存在著一種極為神秘的天體，人 們稱之為“黑洞”.由于“黑洞”這種物體的密 度非常大，引力特別強，任何物體一旦經(jīng)過 它的附近，都會無一例外地被它“吸引”進 去，再也不能逃逸出來，就連光線也難逃被 “吸引”進去的厄運，“黑洞”的名稱便由此而 來.無獨有偶，在看似平淡無奇的數(shù)學王國中 也存在著這種神秘的“黑洞”.這些“黑洞”也 有很大的魔力，能將很多數(shù)字“吸”進去，使 它們再也找不到出路.

20世紀上葉，希緒弗斯“黑洞”（即123 數(shù)字“黑洞”）首先被提出來.后來，隨著人們 對這個問題研究與探討的深入，又發(fā)現(xiàn)了數(shù) 學中更多有趣的“黑洞”.對于數(shù)學中的“黑 洞”，無論是什么樣的數(shù)值，在規(guī)定的運算法 則下，最終都將會得到一個確定不變的值， 此后再也跳不出去了.

下面就談談幾種常見的數(shù)字“黑洞”，感 受數(shù)學知識的神奇與美妙吧！

三位數(shù)的“黑洞”

請你任意寫出一個三位數(shù)（三個數(shù)位上 的數(shù)字不完全相同），分別將這個三位數(shù)上的三個數(shù)字按從大到小和從小到大的順序 進行排列，重新組成兩個不同的三位數(shù).然后 對得到的這兩個三位數(shù)求差，得到一個新的 三位數(shù)（注意，如果得到是兩位數(shù)，則百位上 數(shù)字視為0）.我們將新得到的這個三位數(shù)再 進行上述操作，會得到另一個三位數(shù).這樣不 停地重復做下去，你就會有一個神奇的發(fā)現(xiàn).

下面我們一起來看一看，究竟能發(fā)現(xiàn)什么秘密！

例如，任選一個三位數(shù)323.將它每個數(shù) 位上的數(shù)字按從大到小的順序排列，得到一 個新的三位數(shù)為332；再將三個數(shù)字按從小 到大的順序排列，這樣又得到一個三位數(shù)233.得到的這兩個三位數(shù)之差為332-233= 099（注意，0也應作為一個數(shù)字按序排列）. 按照上述方法重復操作，則有：990-099=891，981-189=792，972-279=693，963-369=594，954-459=495，954-459=495……

這種不斷地重復同一操作的過程，在計 算機應用技術上被稱為“迭代”.非常有趣的 是，對于任何一個各位上數(shù)字不完全相同的 三位數(shù)，經(jīng)過上述的有限次迭代之后，最終 都會陷入495這個“黑洞”之中而不能自拔. 你還在懷疑嗎？那就請你再隨機取幾個三位 數(shù)試試吧！

四位數(shù)的“黑洞”

相信大家興趣盎然地試了幾個三位數(shù)之 后，肯定會提出這樣的疑問：對于任意一個數(shù) 字不完全相同的四位數(shù)，是不是也會出現(xiàn)相 似的情況呢？對于這個問題，回答是肯定的

希緒弗斯“黑洞”的發(fā)現(xiàn)，激發(fā)了數(shù)學家 們對該領域的濃厚興趣和探究激情.1955年， 卡普耶爾發(fā)現(xiàn)了著名的6174這個四位數(shù) “黑洞”，即把一個四位數(shù)的四個數(shù)字分別按 照從大到小和從小到大的順序排列，得到兩 個四位數(shù).將這兩個四位數(shù)相減，得到一個 新的四位數(shù).然后以這個新的四位數(shù)為基礎 重復上述操作，這樣不斷地重復上述步驟，最 后都會跌入6174這個“黑洞”之中.

下面我們選一個四位數(shù)驗證一下.如對于9365，有：9653-3569=6084，8640-0468=8 172，8 721-1 278=7 443，7 443-3 447=3 996，9 963-3 699=6 264，6 642-2 466=4 176，7 641-1 467=6 174，7 641-1 467=6 174….

大家不妨再任選幾個滿足要求的四位 數(shù)試一試.你會發(fā)現(xiàn)，它們都將無一例外 地跌入6174這個“黑洞”之中.

多位數(shù)的“黑洞”

數(shù)學中的123原本就跟英語中的ABC 一樣平淡無奇.但是如果按照以下規(guī)則進行 運算，你就會發(fā)現(xiàn)其實它并不簡單.任意取一 個數(shù)字串，長度不限.依次寫出該數(shù)字串中的 偶數(shù)個數(shù)、奇數(shù)個數(shù)以及總的數(shù)字個數(shù)，再 將這三組數(shù)從左到右寫成一個新數(shù).重復以 上步驟，看看最后會得出什么結果.

任意寫一個多位數(shù)，比如2 365 047 815 493.

數(shù)一數(shù)這個數(shù)中各數(shù)位上的數(shù)字有幾個偶 數(shù)、幾個奇數(shù)及該數(shù)是幾位數(shù).把這三個數(shù)字 依次寫出來則又組成了一個新數(shù)，如上述數(shù) 中有6個偶數(shù)、7個奇數(shù)，是個13位數(shù)，因 此按上述要求組成的數(shù)為6713.繼續(xù)寫下去有：6713→134→123→….最終會跌入123 這個“黑洞”之中，再也出不來了.

是否每一個數(shù)最后都會跌入123這個 “黑洞”之中呢？下面我們再看一例.對于數(shù) 35926，數(shù)出這個數(shù)中各數(shù)位上的數(shù)字的偶 數(shù)個數(shù)、奇數(shù)個數(shù)及總的數(shù)字個數(shù)，可得到 235.對235重復上述程序，就得到123.再重復進行，仍得123.再如，對于數(shù)88883337777444992222，它有11個偶數(shù)、9個奇數(shù)， 是一個20位數(shù)，則按上述要求組成的數(shù)為 11920.對11920這個數(shù)重復上述操作，有11 920→235→123

為什么會出現(xiàn)上述的現(xiàn)象呢？這其中又 有什么奧秘？下面我們一起來分析一下

按上述規(guī)定的方法組成的新數(shù)，最終必 然會形成一個新的三位數(shù)，而這個數(shù)的3個 數(shù)字的奇偶性必是下述的8種情形之一： 偶、偶、偶；偶、偶、奇；奇、偶、奇；偶、奇、偶； 偶、奇、奇；奇、奇、奇；奇、奇、偶；奇、偶、偶.與 上述情形相應的可組成：303，213，123，213，123，033，123，213.其中有3種情形已形成了 123，其余的5種情形再經(jīng)過一次變化也可 組成123.

平方數(shù)中的“黑洞”

對于某些自然數(shù)n，求出n的各個數(shù)位 上的數(shù)字的平方和n1，再求出n的各個數(shù)位上的數(shù)字的平方和n2……如此繼續(xù)下去，最 后會陷入1這個“黑洞”之中，難以自拔.

例如，對于1995，每個數(shù)位上數(shù)字的平 方和為12+92+92+52=188；再對188各數(shù)位上

的數(shù)字求平方和，為12+82+82=129；然后有12+22+92=86，82+62=100，12=1.經(jīng)過五次求各位數(shù) 字的平方和的運算之后，就跌入了1這個“黑 洞”之中.

再如，對于87564，有：87564→190→82→68→100→1.經(jīng)過五次求各位數(shù)字的平 方和的運算之后，也跌入1這個“黑洞”之中， 再也出不來了.

如果你不信的話，請再自選數(shù)字試試看.

立方數(shù)中的“黑洞”

不久之后，又有學者提出了神奇的153 數(shù)字“黑洞”，并給其取了個美妙的名字——水仙花數(shù)“黑洞”.任意找一個3的倍數(shù)（不為0），先把這個數(shù)的每一個數(shù)位上的數(shù)字都取 立方，再相加，得到一個新數(shù).然后把這個新 數(shù)的每一個數(shù)位上的數(shù)字再取立方、求 和……就這樣反復運算下去，就會跌入153這個“黑洞”之中，難以自拔.

例如，63是3的倍數(shù)，按上面的運算規(guī)定計算如下：63+33=216+27=243→23+43+33=8+64+27=99→93+93=729+729=1 458→13+43+53+83=1+64+125+512=702→73+03+23=351→33+53+13=153→13+53+33=153

再如，對于數(shù)3，按照上述運算要求有：

3→33=27→23+73=8+343=351→33+53+13=27+125+1=153-→13+53+33=1+125+27=153……

大家還可以取3的其他倍數(shù)試一試.

任意自然數(shù)的“黑洞”

對于任意一個自然數(shù)，先將其各數(shù)位上 的數(shù)字求和，再將其和乘3，然后加上1.多次 重復這種運算操作，運算結果最終會跌入13 這個“黑洞”之中，再也出不來.

例如，對于5：5→16→22→13→13……

請大家再試一試其他自然數(shù).

從以上幾種“黑洞”中，你是不是體會到 了數(shù)學的神奇與美妙？如果你有興趣，可對 此類問題進行深入的研究與探索，可能會有 更多、更有趣的發(fā)現(xiàn)！