基于損傷力學的疲勞全壽命數值預估方法

石欣桐, 楊宇, 肖迎春, 黃博, 馮威

(1.中國飛機強度研究所,強度與結構完整性全國重點實驗室, 西安 710065; 2.西北工業(yè)大學航空學院, 西安 710072)

疲勞在航空工程領域中是十分普遍的物理現象。例如,大型噴氣客機“彗星”號(Comet)由于飛機窗戶角的高應力集中區(qū)發(fā)生疲勞裂紋而造成解體事故;飛機渦輪葉片的疲勞斷裂,引起波音747型客機在高空中發(fā)生引擎故障;以及飛機在起飛著陸時起落架因受到重復沖擊,而導致輪轂等關鍵結構疲勞斷裂[1-2]。由此可見,疲勞失效問題嚴重影響航空結構的使用安全性。以上結構破壞的基本特征都是在循環(huán)載荷作用下,材料或結構某點產生局部、永久性的損傷遞增,經足夠的應力或應變循環(huán)后,損傷累積使得微裂紋、微孔洞或剪切帶等萌生,并逐步擴展至結構發(fā)生疲勞破壞[3-4]。因此,為確保結構的安全使用,對其疲勞壽命進行準確預測具有重要的工程意義。

疲勞失效的過程一般可以分為裂紋萌生與裂紋擴展兩個階段。目前對裂紋萌生及擴展普遍采用不同的分析方法。對于裂紋擴展階段,主要采用斷裂力學方法,借助多種裂紋擴展速率理論公式來預估擴展壽命[5];而對于裂紋萌生壽命預估,傳統(tǒng)的是依靠疲勞試驗或采用試驗與理論相結合的方法,這些方法需要建立在大量試驗的基礎上,研究成本較高,且不能反映結構在疲勞過程中的劣化行為。為了解決傳統(tǒng)疲勞分析方法存在的問題,越來越多的學者采用損傷力學方法來對結構件疲勞破壞過程開展研究。損傷力學通過引入損傷變量,反映疲勞載荷作用下材料損傷的非線性累積過程,通過構建應力場與損傷場耦合的損傷演化方程,將載荷循環(huán)數與損傷累積聯系起來,從而可實現結構疲勞壽命預估。目前,損傷力學已較為廣泛地應用于金屬、復材、橡膠等多種材料疲勞裂紋萌生壽命預估[6-9],以及在金屬材料重復沖擊壽命預測領域得到應用[10],在降低試驗成本的同時具有較高的預測精度。

實際上,從損傷力學的觀點出發(fā),裂紋的萌生和擴展本質上都是疲勞循環(huán)載荷作用下結構內部損傷的不斷演化。近年來,一些學者將損傷力學與有限元法結合起來,研究建立裂紋萌生與擴展統(tǒng)一的疲勞分析方法。借助有限元仿真,可以較為準確地模擬結構件模型中危險單元體的“開裂”過程,從而實現對裂紋萌生的有效預測;同時,兩者結合能夠更好地發(fā)揮損傷演化模型的可迭代性,解決裂紋萌生到擴展的過渡問題,從而建立疲勞全過程分析方法。鄭旭東等[11]基于損傷力學與有限元法,對兩種金屬含缺口板件的疲勞全壽命進行了預估,且預測值與試驗疲勞-壽命(S-N)曲線吻合較好,說明該方法具有較強的工程適用性;唐雪松等[12]考慮構件應力集中區(qū)域塑性變形對疲勞壽命的影響,建立了基于彈塑性損傷力學模型的疲勞數值分析方法,對含溝槽試件疲勞裂紋萌生壽命與裂紋擴展情況進行了分析,但未給出疲勞全壽命預測結果;董赟等[13]采用相同的方法分析了交變載荷作用下含溝槽件的疲勞損傷破壞過程,給出了單一應力水平下結構件裂紋萌生與全壽命預測結果;孫志禮等[14]對鋁合金標準件裂紋萌生過程進行了數值模擬,并對不同應力水平下試件疲勞裂紋擴展壽命進行了預估。

疲勞破壞是一個復雜的過程,應力、溫度、濕度等環(huán)境因素,以及材料、結構自身的特性都會影響結構件的疲勞壽命。其中,平均應力是影響疲勞壽命的一項重要因素。Upadhyaya等[15]研究表明,若結構承受疲勞載荷,平均壓應力有利于提高疲勞壽命,而平均拉應力將使疲勞壽命大幅減少。Shi等[16]比較了多種平均應力修正方法,提出了一種改進的采用Walker[17]修正的疲勞損傷演化理論模型,經驗證該模型對金屬板件疲勞壽命具有更高的預測精度。現基于采用Walker平均應力修正的疲勞損傷演化模型,結合有限元法建立疲勞全壽命數值預估方法,并通過不同應力水平下鋁合金開孔板疲勞試驗,對該方法的可行性進行了驗證。

1 考慮平均應力修正的疲勞損傷演化模型

根據損傷力學理論,在疲勞循環(huán)載荷作用下,材料內部將形成不連續(xù)的微觀缺陷(如孔洞、裂紋等)并不斷擴展及匯合,造成材料宏觀力學性能的退化直至破壞。通過引入損傷變量D,來描述微缺陷對材料性能的影響。針對單軸加載情況,Xiao等[18]在Lemaitre[19]研究的基礎上,提出了一個對結構件性能劣化過程進行描述的疲勞損傷演化模型。該模型假設材料無塑性應變且熱耗散與機械耗散之間無耦合作用,由第二熱力學定律可得

YD≥0

(1)

式中:Y為損傷應變能釋放率。

式(1)表明損傷過程是一個能量耗散過程,借助微觀力學理論,得到損傷演化方程[19],即

(2)

式中:η和C為微結構的材料參數;d、e、l、n為幾何參數;E為彈性模量。

由損傷本構關系得到的損傷應變能釋放率Y表達式為

(3)

(4)

式中:σ為應力;σH為靜水應力;σeq為等效應力;υ為泊松比。忽略一個時間微增量內損傷變量的變化,對式(3)求導可得

(5)

將式(5)及式(3)代入式(2)可得

(6)

式(6)中:B、q為材料參數。針對比例加載情況有

(7)

(8)

式中:const表示恒值,則式(6)可以簡化為

(9)

在一個載荷循環(huán)周期內對式(9)積分即可以得到比例加載情況下的疲勞損傷演化律為

(10)

(11)

式(11)中:σm為平均應力;σ-1為對稱加載疲勞極限;σu為拉伸極限強度。

進一步推導即可得到疲勞損傷演化方程為

(12)

式(12)中:M0為損傷材料參數。

根據式(12),可以將一般的考慮平均應力影響的損傷演化方程描述為

(13)

Walker模型[17]通過引入獨立的材料參數γ以評估材料在疲勞載荷下的行為特征。采用Walker修正的等效應力幅值為

(14)

進一步推導得到的采用Walker修正的疲勞損傷演化模型為

(15)

式(15)中:M1、n、γ為材料的損傷參數。

依據損傷力學理論,取材料初始(N=0)損傷D=0,當破壞發(fā)生時損傷累積至1,即D=1。在恒幅疲勞載荷加載條件下,對式(15)在此區(qū)間內積分可得

(16)

式(16)即為基于疲勞損傷演化模型得到的應力與疲勞壽命Nf對應關系,可以用于預估單軸條件下結構件的疲勞壽命。

2 疲勞全壽命數值預估方法

對于疲勞載荷作用下的結構件,不斷累積的疲勞損傷會導致其材料剛度下降,而局部剛度的下降會引起的結構內部應力的重新分配。因此,疲勞損傷模型中的應力是在不斷地變化的。采用有限元數值解法可以較準確地模擬上述材料行為,從而對結構件疲勞壽命預估問題進行求解。

本文建立的疲勞全壽命數值預估方法計算流程如圖1所示。具體分析過程如下。

圖1 疲勞全壽命數值預估方法計算流程Fig.1 Flowchart of the numerical calculation for estimating the whole fatigue life

(1)建立無損傷即D0=0時的結構有限元模型,求解得到的結構應力場。

(2)將各單元有效應力帶入損傷演化方程,計算第i個載荷步內加載一次后的各單元損傷增量ΔDi,得到結構損傷場,表達式為

(17)

(3)考慮單次加載所引起的單元損傷增量很小,可認為載荷循環(huán)ΔNi次內所有加載造成的損傷增量幾乎不變,則累加可得到載荷循環(huán)ΔNi后結構的損傷場,表達式為

Di=ΔNiΔDi

(18)

(4)遍歷所有單元,確定此時損傷值最大的單元,即危險單元,同時記錄危險單元編號和對應載荷循環(huán)數ΔNi。

(5)將D0=Di作為下一個載荷步的初值,計算第i+1個載荷步內加載一次后的各單元損傷增量ΔDi+1,線性累加得到載荷循環(huán)ΔNi+1次后各單元損傷增量,并與上一步損傷場相加得到新的損傷場,表達式為

Di+1=Di+ΔNi+1ΔDi+1

(19)

(6)重復步驟(4)、(5)的計算過程,不斷迭代直至危險單元損傷值累計至1。此時,所有載荷循環(huán)數之和N=∑ΔNi即為該結構疲勞裂紋萌生壽命。

(7)利用ANSYS中單元“生死”功能,“殺死”萌生階段已經破壞的單元,使其不再參與后續(xù)運算,其他單元則保留裂紋萌生時的最終損傷度。此后,再次重復步驟(2)～步驟(6),得到多個危險單元依次破壞時所需的載荷循環(huán)數及其單元編號,直至構件斷裂,從而得到疲勞全壽命。以上分析過程通過ANSYS軟件結合APDL編程語言實現。

在上述求解過程中,假設在載荷循環(huán)次數ΔN內,結構的損傷場不發(fā)生變化,ΔN即為計算步長。步長的選取要考慮兩方面的因素,一方面步長不應過大,以保證在單個載荷歷程內損傷場變化可以忽略;另一方面,雖然步長取1時最符合真實情況,但每步損傷演化都需求解當前應力場,計算過程將極為耗時,同樣不可取?？紤]到損傷累積是一個非線性過程,本文依據損傷增長率來劃分計算步長,使每一步所造成的損傷增量在10-3～10-2范圍內,從而確保數值解法的準確性。損傷增長率區(qū)間及對應步長的選取如表1所示。損傷增長率的計算公式為

表1 計算步長的選取Table 1 Determination of the calculation step

(20)

3 含孔板疲勞試驗

試驗件為中心開孔薄板,材料為LY12CZ鋁合金,試件厚度為4 mm,總長250 mm,加持端長度為50 mm,中心孔洞直徑為10 mm。試樣結構及尺寸如圖2所示,材料基本性能如表2所示[20]。

表2 LY12CZ鋁合金性能參數Table 2 Material parameters of LY12CZ aluminium alloy

圖2 開孔板試樣Fig.2 Specimen of the plate with hole

試驗設備為液壓伺服機INSTRON8801,采用應力控制,應力比R=0.06,波形為正弦波。對開孔板試樣進行4個應力水平下疲勞試驗,每個應力水平取3個試樣。如圖3所示,為了便于觀察裂紋尺寸,在試驗件孔邊粘貼刻度紙,同時在試驗件上涂抹滲透劑使裂紋擴展過程更為清晰可見。在試驗過程中,實時記錄裂紋尺寸及對應載荷循環(huán)數,直至試樣破壞。試驗得到各應力水平下試樣疲勞壽命如表3所示。

表3 開孔板疲勞試驗壽命Table 3 Experimental fatigue lives of the plates with holes

圖3 開孔板疲勞試驗Fig.3 Fatigue test of the plate with hole

4 方法驗證

4.1 模型建立

對開孔板試樣進行疲勞壽命預估,試樣有限元模型如圖4所示。試樣一端固支,另一端沿X方向施加恒幅疲勞載荷。孔邊應力集中區(qū)域采用網格加密處理,且在預估裂紋擴展路徑,即Y方向上固定單元尺寸,各單元均為0.5 mm。在計算過程中,假設此路徑上“殺死”單元數為n,則模擬裂紋擴展尺寸為0.5nmm。模型中材料性能參數如表2所示。

圖4 開孔板試樣有限元模型Fig.4 Finite element model for plate with hole

由式(16)可知,當采用該損傷演化模型預估疲勞壽命時,首先應確定模型中各個損傷參數。該疲勞壽命N的等效形式為

(21)

對式(21)兩側取對數可得

(22)

依據式(2),選取LY12CZ鋁合金標準件的疲勞試驗數據[21],借助MATLAB中Regress函數對其進行線性回歸分析,擬合得到各損傷參數如表4所示。

表4 LY12CZ鋁合金疲勞損傷參數Table 4 Damage parameters of LY12ZC aluminium alloy

4.2 疲勞裂紋萌生與擴展分析

對不同應力水平下試樣的疲勞裂紋萌生及擴展情況進行仿真分析。分析結果表明,所有試樣萌生均發(fā)生于孔邊位置,且損傷累積規(guī)律類似。如圖5所示,以σmax=110 MPa時為例,孔邊應力集中區(qū)域損傷最為嚴重,當計算得到第一個危險單元(紅色單元)損傷累積至1時裂紋萌生;提取該單元損傷值隨載荷循環(huán)數的變化曲線,可以觀察到,前期的損傷累積基本呈線性,增長速率較小;當損傷超過0.2后,增長速率明顯加快,損傷累積至0.4;而在損傷累積后期,僅經歷約2 000次載荷循環(huán),最大損傷值從0.4迅速增長至臨界損傷值1.0。這說明在前期損傷演化較為緩慢,中后期損傷演化速度增快,導致損傷加速累積至裂紋萌生。

圖5 開孔板試樣損傷曲線Fig.5 Damage curve of plate with hole

此后繼續(xù)對試樣裂紋擴展過程進行模擬,結果及與試驗的對比如圖6所示,借助有限元仿真可以清晰地顯示出裂紋萌生過程,準確預測裂紋萌生位置;仿真得到的裂紋擴展路徑與試驗一致,均沿著初始裂紋萌生的方向,逐步向應力集中區(qū)域擴展。

圖6 開孔板裂紋擴展仿真與試驗結果Fig.6 Simulated crack propagation and the test results of plate with hole

將不同應力水平下裂紋擴展壽命曲線仿真與試驗結果進行對比,如圖7所示。可以看出,預估的裂紋擴展趨勢均與試驗結果吻合良好。同時借助有限元分析方法,可以對裂紋萌生及擴展初期的發(fā)展規(guī)律進行有效預測。在裂紋擴展初期,疲勞壽命預估值與試驗值存在一定的誤差,原因主要有:首先,仿真時損傷模型參數為文獻[18]中試驗數據擬合得到,雖然是同一種材料,但本試驗所用材料性能與手冊有一定的差別;其次,考慮疲勞試驗數據具有一定的分散性,這在一定程度上影響了結果的可靠性。

圖7 不同應力水平下開孔板裂紋擴展曲線Fig.7 Crack propagation curves of plates with holes under different stress levels

為了分析應力水平對疲勞裂紋擴展情況的影響,提取不同應力水平下裂紋擴展仿真結果如圖8所示。

圖8 不同應力水平下開孔板裂紋擴展仿真結果Fig.8 Simulated crack propagation of plates with holes under different stress levels

可以觀察到,不同應力水平下裂紋擴展趨勢基本相同,在初期裂紋迅速擴展,后期擴展趨于平緩;當應力水平逐步提高時,裂紋萌生所需載荷循環(huán)數,即裂紋萌生壽命隨之減少;同樣的,對于同一裂紋尺寸,裂紋擴展壽命也隨應力水平的提高而降低。

4.3 疲勞壽命預估

最后,圖9中對比了不同應力水平下疲勞壽命預估值與試驗結果?？梢钥闯?對于同一裂紋尺寸,計算得到的疲勞壽命與試驗壽命吻合較好,不同應力水平下的預測結果均在兩倍誤差帶內。同樣的,對不同應力水平下疲勞全壽命預估值也均分布在兩倍誤差帶內。以上結果表明,本文建立的疲勞全壽命數值預估方法能夠滿足工程實際要求,可以用于鋁合金含孔板疲勞壽命分析。

圖9 不同應力水平下開孔板疲勞壽命預估值與試驗結果Fig.9 The tested fatigue lives and the calculated lives for plates with holes under different stress levels

5 結論

本文將損傷力學理論和有限元法結合,開展了疲勞全壽命預估方法研究,得到如下主要結論。

(1)考慮平均應力對疲勞壽命的影響,基于Walker平均應力修正的疲勞損傷演化模型,以ANSYS為計算平臺,利用APDL編程語言建立了結構件在恒幅載荷譜下的疲勞全壽命數值預估方法。

(2)對開孔板試樣疲勞裂紋萌生及擴展過程進行了仿真分析,直觀地模擬出裂紋擴展路徑且與試驗相符;同時,仿真得到的裂紋擴展壽命曲線與試驗結果吻合良好,且借助有限元能夠對裂紋萌生及擴展初期規(guī)律進行有效預測。

(3)對于不同應力水平下開孔板疲勞全壽命,本文建立的疲勞壽命數值解法預估值與試驗結果相比均具有較高的預測精度,可以為工程結構的初步設計及結構健康監(jiān)測提供參考。