Arnold和改進(jìn)Logistic混沌系統(tǒng)圖像加密

張旭東

摘要：針對(duì)圖像信息在傳輸過程容易被竊取、破壞和惡意篡改的問題，文章提出一種Arnold變換與改進(jìn)Logistic混沌映射相結(jié)合的圖像加密算法。該算法先將明文的像素坐標(biāo)位置進(jìn)行Arnold變換，再利用改進(jìn)Logistic混沌映射產(chǎn)生的混沌加密序列對(duì)變換后的圖像進(jìn)行擴(kuò)散與置亂獲得加密圖像1，修改加密參數(shù)后通過同樣的步驟再得到加密圖像2，隨后將兩幅圖像進(jìn)行異或處理得到最終加密圖像，通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出對(duì)角相鄰相關(guān)系數(shù)為0.005 6，進(jìn)行分析比對(duì)可以得出結(jié)合后的加密算法密鑰空間大，安全性高，具有較好的加密效果，改善了普通Arnold變換和Logistic混沌加密算法產(chǎn)生出的安全性問題。

關(guān)鍵詞：Arnold變換；改進(jìn)Logistic映射；圖像加密；混沌

中圖分類號(hào)：TP309? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2024）07-0004-04

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID） ：

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的提升和計(jì)算機(jī)在生活工作中的普及，數(shù)字圖像信息傳遞迎來了飛速發(fā)展的時(shí)期。相較于傳統(tǒng)文本信息，圖像信息具有信息含量高、信息密度大等獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，因此在各個(gè)領(lǐng)域和行業(yè)中都成為不可或缺的一部分。因此，對(duì)于數(shù)字圖像信息傳輸中的安全保護(hù)措施，我們需要更加便捷、快速且嚴(yán)密的方法。

對(duì)于數(shù)字圖像信息內(nèi)的海量數(shù)據(jù)容量、信息內(nèi)容的高度冗余以及圖像像素相鄰像素之間的不可避免的強(qiáng)相關(guān)性，顯然傳統(tǒng)文本加密算法已經(jīng)不適合對(duì)圖像信息進(jìn)行加密[1]?；煦缬成湟蚱洚a(chǎn)生的偽隨機(jī)序列具有良好的偽隨機(jī)性以及對(duì)初始輸入條件值的高敏感性，其作為圖像像素的擴(kuò)散和置亂手段有著超強(qiáng)的潛力。從1998年Fridrich 第一次提出基于二維混沌映射的圖像加密方法[2]后，學(xué)者們對(duì)于混沌映射的探究便從未停止。由于低維混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于實(shí)現(xiàn)，加密效果好，被普遍應(yīng)用于圖像加密中[3]。在提出改進(jìn)低維混沌系統(tǒng)對(duì)圖像進(jìn)行加密的方法后，研究者們開始不滿足于低維混沌的加密手段，轉(zhuǎn)而將目光投向了加密手段更為復(fù)雜、加密效果更好的高維混沌。高維混沌系統(tǒng)相較于低維混沌，在產(chǎn)生混沌序列的偽隨機(jī)性、密鑰空間以及初值敏感性方面表現(xiàn)更加優(yōu)秀。因此，高維混沌加密逐漸變得更加普及[4]。

Arnold變換的置亂算法可以通過改變圖像原來的像素位置達(dá)到不錯(cuò)的置亂效果，其算法具有操作簡(jiǎn)單，較易實(shí)現(xiàn)，置亂效果好等優(yōu)點(diǎn)，使其能夠被廣泛應(yīng)用。由于Arnold算法只能通過改變像素的位置進(jìn)行置換來達(dá)到加密的效果，所以加密后的圖像相鄰像素相關(guān)性依舊很高，故而在遭到惡意攻擊時(shí)攻擊者可能會(huì)通過直方圖進(jìn)行逆向推測(cè)從而得到原圖像信息。

針對(duì)Arnold變換和傳統(tǒng)logistics混沌加密存在的加密缺陷，本文提出基于Arnold變換的改進(jìn)Logistics混沌加密算法，通過增加控制參數(shù)提高了密鑰空間，改善了兩種算法存在的問題，提升了加密算法的安全性。

1 圖像加密算法

1.1 Arnold變換

Arnold映射的是典型混沌映射，其表達(dá)式定義為：

[x'y'=1abab+1xymodn] （1）

式（1）中：x，y∈{0，1，2，...，N-1}為明文圖像像素的初始坐標(biāo)位置，N為圖的大小，x和y為圖片經(jīng)過變換后的像素位置，mod為模運(yùn)算[5]。對(duì)于一幅初始明文圖像，在經(jīng)過Arnold多次變換置亂之后，原文圖像的像素位置坐標(biāo)發(fā)生改變，圖像的內(nèi)容也會(huì)隨根據(jù)像素的移動(dòng)而發(fā)生改變，從而達(dá)到圖像信息的加密效果。但Arnold變換具有一定的周期性，在原文圖像進(jìn)行一定次數(shù)的像素變換之后極有可能會(huì)變回原文圖像的樣子，所以在預(yù)先知道置亂次數(shù)的情況下極易破解，具有很大的安全隱患。

1.2 Logistic混沌映射

Logistic混沌映射是應(yīng)用極為廣泛的混沌映射，它的映射定義為：

[xi+1=μxi（1-xi）] ? ? （2）

式（2）中：Xi為原圖像像素信息，Xi+1為L(zhǎng)ogistic混沌映射后的像素信息，μ為實(shí)現(xiàn)混沌映射的控制參數(shù)，取值在0～4之間[6]。Logistic混沌在置亂加密的過程中對(duì)初始輸入值具有很強(qiáng)的敏感性，初始值一些細(xì)微的變動(dòng)都會(huì)給后續(xù)迭代產(chǎn)生的混沌序列帶來大幅度的改變[7]。所以對(duì)于μ取值不同，產(chǎn)生的混沌系列也不同，進(jìn)而混沌映射結(jié)果就會(huì)有不同特性。當(dāng)3.569 946<μ≤4時(shí)，Logistic映射輸出在（0，1）之間，在進(jìn)行足夠多次數(shù)的迭代擴(kuò)散后，這個(gè)區(qū)間段內(nèi)會(huì)充斥海量的散亂混沌點(diǎn)，產(chǎn)生的混沌序列會(huì)具有較高的安全性和偽隨機(jī)性，可以用于圖像加密。

2 圖像加密系統(tǒng)

2.1 改進(jìn)Logistics混沌映射

針對(duì)Logistic方程具有密鑰空間小、抗窮舉能力差、混沌序列分布不均等問題[8-9]，本文提出一種改進(jìn)的Logistics混沌加密。在原公式的基礎(chǔ)上，將多位控制參數(shù)加入公式參數(shù)中，改進(jìn)后的Logistic方程表達(dá)式為：

[xi=kyixi+1=[μxi（1-μλxi）]mod1]? ? ?（3）

當(dāng)X取0.1，μ取3.995，k∈（0，1）時(shí)，λ∈（0，0.2）時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌。

改進(jìn)后的混沌映射具有更好的混沌特性，擁有更大的參數(shù)范圍和更大的密鑰空間，并且各個(gè)參數(shù)所生成的混沌序列均勻地分布在（0，1）的狀態(tài)空間，具有良好的安全性和偽隨機(jī)性。

2.2 算法加密步驟

本文加密算法分為置亂和擴(kuò)散兩個(gè)部分，第1部分是利用Arnold變換對(duì)M×N大小的明文圖像進(jìn)行像素置亂生成初步的密文圖像，簡(jiǎn)單的置亂操作并不能很好地加密原文圖像，故第2部分是用改進(jìn)的Logistic混沌映射產(chǎn)生的混沌序列對(duì)置亂后的初步密文圖像進(jìn)行擴(kuò)散處理，完成加密。

為了提升圖像加密效果，在執(zhí)行完兩部分加密后，可以改變控制參數(shù)，將上述2部分加密方式再執(zhí)行一遍，然后將兩幅加密圖像進(jìn)行異或處理，最終得到加密圖像。

具體加密步驟如下：

步驟1：輸入原文圖像G，Arnold變換參數(shù)a，b，改進(jìn)Logistic混沌映射參數(shù)μ，密鑰k；

步驟2：利用公式（1）對(duì)G進(jìn)行置換得到圖像G；

步驟3：由密鑰k1用公式（3）生成混沌序列F={Fij|i，j=0，1，2，...，N-1}；

步驟4：由p生成灰度矩陣Y={Yij|Yij∈[0，255]}，i，j=0，1，2，...，N-1；

步驟5：將G與灰度矩陣Y進(jìn)行按位異或運(yùn)算，得到加密圖像G”；

步驟6：將密鑰k1改為密鑰k2，重復(fù)步驟3～5，生成加密圖像G1”；

步驟7：G”?G1”，生成最終加密圖像G2”。

解密過程與加密過程相似，已知密鑰，按照加密流程進(jìn)行相反的步驟操作即可得到解密圖像。

3 仿真結(jié)果及安全性分析

本次仿真環(huán)境是Intel（R） Core（TM） i5-6200U CPU @ 2.30GHz，內(nèi)存為4GB的計(jì)算機(jī)，64位Windows操作系統(tǒng)，MATLAB R2018b軟件，采用標(biāo)準(zhǔn)256×256的lena灰度圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，μ取3.995，x0取0.1，k1，k2分別取0.89，0.97，λ取0.15帶入改進(jìn)后的混沌加密系統(tǒng)，產(chǎn)生偽隨機(jī)序列，再用Arnold變化和混沌混合進(jìn)行加密。為了證明此算法的加密性能，下面通過直方圖、密鑰空間、信息熵、相鄰像素關(guān)系等加密性能指標(biāo)進(jìn)行性能分析。

3.1 仿真結(jié)果圖

3.2 直方圖分析

直方圖能夠直觀地展示圖像信息的像素點(diǎn)分布，當(dāng)加密后的圖像信息直方圖越平滑，就表示圖像的可讀性越低[10]。圖2（a）為明文圖像的像素直方圖，像素點(diǎn)縱坐標(biāo)高低分布明顯，通過直方圖極易推測(cè)出原文圖像的信息狀態(tài)，從而得到原文圖像。圖2（b）為密文圖像的像素直方圖，像素分布較為平滑，高低分布均勻，無法從明文統(tǒng)計(jì)特性分析得出圖像信息。

3.3 密鑰空間

密鑰空間通常用來作為衡量加密算法優(yōu)良的單位，也是評(píng)估算法抵抗窮舉攻擊的重要指標(biāo)。在加密過程中，本文需設(shè)定Arnold變換次數(shù)，參數(shù)a，b，μ，λ，初值x的值，密鑰空間為2256遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于2100，具有較大的密鑰空間和較強(qiáng)的抗窮舉攻擊的能力，為加密系統(tǒng)的安全性提供良好保障[11]。

3.4 信息熵

信息熵是用來評(píng)估信息源隨機(jī)性的一個(gè)定性標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算公式為：

[H=i=1LP（xi）log21P（xi）]? （4）

式中：P（xi）為符號(hào)xi的概率，L為符號(hào)的總數(shù)。針對(duì)具有256個(gè)灰度級(jí)的圖像，其理想隨機(jī)分布熵為8。信息熵值越大，分布越一致。本文的加密圖像信息熵計(jì)算值為7.995 7，接近于理想值8，表明圖像高度分布。

3.5 相關(guān)性分析

去除加密圖像像素值相鄰像素的相關(guān)性，通過對(duì)加密圖像像素值進(jìn)行有效擴(kuò)散，從而使密文圖像的相鄰像素相關(guān)性得到有效降低，這是衡量加密算法有效性的標(biāo)準(zhǔn)之一。相鄰像素相關(guān)性的范圍為0～1，從1到0，相關(guān)系數(shù)越低則相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性越小[12]。本文沿著3個(gè)方向分析圖像中相鄰像素相關(guān)性，計(jì)算公式為：

[rx，y=C（x，y）D（x）D（y）]? ? ?（5）

[C（x，y）=1NN-1N（xi-E（x））（yi-E（y））]? ? （6）

[D（x）=1NN-1N（xi-E（x））2]? ? （7）

[E（x）=1NN-1Nxi]? ? ?（8）

本文分別從明文圖像和密文圖像抽取1 000個(gè)相鄰（垂直、水平、對(duì)角）像素點(diǎn)判斷其相關(guān)性，實(shí)驗(yàn)從3個(gè)方向的相關(guān)系數(shù)記錄相鄰（垂直、水平、對(duì)角）像素點(diǎn)判斷其相關(guān)性，圖3（a） 是明文圖像相鄰像素在垂直方向相關(guān)性，圖3（b） 是密圖相鄰像素在垂直方向相關(guān)性，可見加密后圖像的相關(guān)性大大降低。

4 結(jié)束語

由于現(xiàn)今網(wǎng)絡(luò)圖像信息傳輸?shù)娜找嬖黾?，面?duì)傳輸過程可能存在的惡意攻擊，本文提出、基于Arnold和改進(jìn)logistics混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，針對(duì)Arnold變換和Logistics映射存在的缺陷，通過將兩種置亂和擴(kuò)散的加密算法相結(jié)合，再對(duì)Logistics混沌映射進(jìn)行改進(jìn)，通過增加多個(gè)控制參數(shù)，大大提升了密鑰空間和初值敏感性，增強(qiáng)了加密算法的安全性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本算法的加密圖像對(duì)角相鄰像素相關(guān)性為0.005 6，優(yōu)于對(duì)比算法，表明該算法具有較高安全性，具有廣泛的應(yīng)用前景。

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