多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法

馮媛 劉新紅

摘?要：針對多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)問題，總結(jié)了代入法、鏈式法則和全微分求解三種方法，并通過具體的例子進行了說明.通過對三種方法進行比較，分析和總結(jié)了每種方法的優(yōu)點和缺點并給出了每種題型應(yīng)采用的方法建議。這不僅對教師的教學(xué)具有積極的指導(dǎo)意義，而且還有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進學(xué)生科學(xué)態(tài)度的養(yǎng)成和思維能力的提升.

關(guān)鍵詞：多元復(fù)合函數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)；鏈式法則；全微分

中圖分類號：O151.2??文獻標識碼：A

多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)［1］是多元函數(shù)微分學(xué)的一個重要知識點，抽象的多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)問題更是高等數(shù)學(xué)中的一個難點.多元復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)包含以下三種形式：（1）外層函數(shù)為多元，內(nèi)層函數(shù)為一元；（2）外層函數(shù)為一元，內(nèi)層函數(shù)為多元；（3）外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)均為多元.

下面針對不同情況總結(jié)多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法，并通過具體題目進行說明.

一、代入法求偏導(dǎo)數(shù)

所謂“代入法”就是將內(nèi)層函數(shù)表達式代入外層函數(shù)中得到一個新的函數(shù)，然后利用求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式對新的函數(shù)進行求導(dǎo).

例1：設(shè)z=uv+cost，u=et，v=sint，求dzdt.

分析：此例中的多元復(fù)合函數(shù)z屬于外層函數(shù)多元、內(nèi)層函數(shù)一元的類型.將內(nèi)層函數(shù)代入外層函數(shù)中即可將z化為一個以t為自變量的一元函數(shù)，然后利用一元函數(shù)的乘法和加法求導(dǎo)法則以及求導(dǎo)公式進行計算即可.

解：將u，v代入z可得z=etsint+cost，從而：

dzdt=（et）′sint+et（sint）′+（cost）′

=etsint+etcost-sint.

例2：設(shè)z=tanu，u=x2+y2，求zx和zy.

分析：此例中的多元復(fù)合函數(shù)z屬于外層函數(shù)是一元、內(nèi)層函數(shù)是多元的類型.將內(nèi)層函數(shù)代入外層函數(shù)中即可將z化為一個以x和y為自變量的二元函數(shù)，然后利用二元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式進行計算即可.

解：將u代入z可得z=tan（x2+y2），從而：

zx=sec2（x2+y2）·2x=2xsec2（x2+y2），

zy=sec2（x2+y2）·2y=2ysec2（x2+y2）.

例3：設(shè)w=ln（u+v），u=xy，v=yz，求wx，wy和wz.

分析：此例中的多元復(fù)合函數(shù)w是一個外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)均為多元的類型.將內(nèi)層函數(shù)代入外層函數(shù)中即可將w化為一個以x，y，z為自變量的三元函數(shù)，然后利用三元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式進行計算即可.

解：將u，v代入w可得w=ln（xy+yz），從而得到：

wx=1xy+yz·（y+0）=yxy+yz，

wy=1xy+yz·（x+z）=x+zxy+yz，

wz=1xy+yz·（0+y）=yxy+yz.

由以上三個例題可以看出，用代入法求偏導(dǎo)數(shù)的解題思路非常直接和明確，是學(xué)生最容易接受的一種方法.但是這種方法僅適用于內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)均比較簡單且形式具體的多元復(fù)合函數(shù)類型.對于抽象的多元復(fù)合函數(shù)和復(fù)合結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的多元復(fù)合函數(shù)，一般采用鏈式法則求其偏導(dǎo)數(shù).

二、鏈式法則求偏導(dǎo)數(shù)

抽象的多元復(fù)合函數(shù)一般指雖然給出了內(nèi)層函數(shù)對自變量的具體表達式，但沒有給出外層函數(shù)對中間變量的具體表達式.此類多元復(fù)合函數(shù)在求偏導(dǎo)數(shù)時需搞清楚函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)關(guān)系圖并利用鏈式法則進行計算.多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈式法則是一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的推廣與發(fā)展，但是由于多元復(fù)合函數(shù)復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使得其求偏導(dǎo)數(shù)的鏈式法則有很多種形式.為了便于記憶和應(yīng)用這個法則，可以借助樹圖［2］來理清多元復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)關(guān)系，并將鏈式法則公式簡記為“分線相加，連線相乘，單路全導(dǎo)，叉路偏導(dǎo)”.

例4：設(shè)z=f（xy，xy，x2-y2），其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求zx和zy.

分析：此例中的z是一個抽象的多元復(fù)合函數(shù)，其外層函數(shù)是一個三元函數(shù)，但是沒有具體的表達式，內(nèi)層函數(shù)是有具體表達式的二元函數(shù).

解：設(shè)u=xy，v=xy，w=x2-y2，則多元復(fù)合函數(shù)z各變量之間的關(guān)系可以用圖1表示.

由鏈式法則可得：

zx=zu·ux+zv·vx+zw·wx

=f1′·y+f2′·1y+f3′·2x

=yf1′+f2′y+2xf3′，

zy=zu·uy+zv·vy+zw·wy

=f1′·x+f2′·-xy2+f3′·（-2y）

=xf1′-xf2′y2-2yf3′.

例5：設(shè)z=f（x2y2，3x，4y），其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求zx和zy.

分析：此例中的z是一個抽象的多元復(fù)合函數(shù)，其外層函數(shù)是一個沒有具體表達式的三元函數(shù)，但是內(nèi)層函數(shù)是有具體表達式的二元函數(shù)和一元函數(shù).書寫時要注意一元函數(shù)的求導(dǎo)符號和多元函數(shù)偏導(dǎo)符號的區(qū)別.

解：設(shè)u=x2y2，v=3x，w=4y，則多元復(fù)合函數(shù)z各變量之間的關(guān)系可以用圖2表示.

由鏈式法則可得：

zx=zu·ux+zv·dvdx=f1′·2xy2+f2′·3=2xy2f1′+3f2′，

zy=zu·uy+zw·dwdy=f1′·2x2y+f3′·4=2x2yf1′+4f3′.

在求抽象的多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)時，一定要注意到f1′，f2′，f3′是與抽象的多元復(fù)合函數(shù)f結(jié)構(gòu)相同的多元復(fù)合函數(shù)，即原自變量仍是自變量，原中間變量仍是中間變量.

例6：設(shè)z=f（exy，x+y），其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2zx2和2zy2.

分析：此例中的z是一個抽象的多元復(fù)合函數(shù)，其外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)均為二元函數(shù)，需要注意的是exy求偏導(dǎo)數(shù)時是復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo).

解：設(shè)u=exy，v=x+y，則多元復(fù)合函數(shù)z各變量之間的關(guān)系可以用圖3表示.

由鏈式法則可得：

zx=zu·ux+zv·vx=f1′·exy·y+f2′·1=yexyf1′+f2′，

zy=zu·uy+zv·vy=f1′·exy·x+f2′·1=xexyf1′+f2′.

從而二階導(dǎo)數(shù)為：

2zx2=xzx=yexyf1′+f2′x=（yexyf1′）x+f2′x=（yexy）x·f1′+yexy·f1′x+f2′x，

2zy2=yzy=（xexyf1′+f2′）y=（xexyf1′）y+f2′y=（xexy）y·f1′+xexy·f1′y+f2′y.

注意到f1′，f2′是與f結(jié)構(gòu)相同的多元復(fù)合函數(shù)，故：

f1′x=f1′uux+f1′vvx=f11″·exy·y+f12″·1=yexyf11″+f12″，

f2′x=f1′uux+f1′vvx=f21″·exy·y+f22″·1=yexyf21″+f22″，

f1′y=f1′uuy+f1′vvy=f11″·exy·x+f12″·1=xexyf11″+f12″，

f2′y=f2′uuy+f2′vvy=f21″·exy·x+f22″·1=xexyf21″+f22″.

由于f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以f12″=f21″，從而化簡可得：

2zx2=（yexy）x·f1′+yexy·（yexyf11″+f12″）+（yexyf21″+f22″）=y2exyf1′+y2e2xyf11″+2yexyf12″+f22″，

2zy2=（xexy）y·f1′+xexy·（xexyf11″+f12″）+（xexyf21″+f22″）=x2exyf1′+x2e2xyf11″+2xexyf12″+f22″.

鏈式法則除了在計算抽象的多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)上具有優(yōu)勢外，在計算較為復(fù)雜的具體形式的多元復(fù)合函數(shù)時同樣具有優(yōu)勢.

例7：設(shè)z=（x2+y2）xy，求zx和zy.

分析：此例中的z是一個具體形式的多元復(fù)合函數(shù)，但其形式是冪指函數(shù)的類型，直接計算偏導(dǎo)數(shù)較為困難，故可以利用鏈式法則進行計算.

解：設(shè)u=x2+y2，v=xy，則z=uv，從而多元復(fù)合函數(shù)z各變量之間的關(guān)系可以用圖4表示.

由鏈式法則可得：

zx=zu·ux+zv·vx=v·uv-1·2x+uvlnu·y=（x2+y2）xy2x2yx2+y2+yln（x2+y2），

zy=zu·uy+zv·vy=v·uv-1·2y+uvlnu·x=（x2+y2）xy2xy2x2+y2+xln（x2+y2）.

綜上所述，當多元復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜或者復(fù)合結(jié)構(gòu)中含有抽象函數(shù)時，利用鏈式法則求其偏導(dǎo)數(shù)較前面的代入法具有明顯的優(yōu)越性。值得注意的是，在利用鏈式法則求偏導(dǎo)數(shù)時一定要首先分析其復(fù)合結(jié)構(gòu)并作出其結(jié)構(gòu)圖，再利用公式進行計算，否則可能會導(dǎo)致解題困難或計算錯誤.

三、全微分求偏導(dǎo)數(shù)

除了代入法和鏈式法則，微分疊加原理［1，3］也為多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的問題提供了一種有效的處理方法.微分疊加原理是指多元函數(shù)的全微分等于它的偏微分之和.例如，二元函數(shù)z=f（x，y）和三元函數(shù)u=f（x，y，z）的全微分為：dz=zxdx+zydy，du=uxdx+uydy+uzdz.

由此可以看出，只要求出多元函數(shù)的全微分，就可以得到它的偏導(dǎo)數(shù).需要指出的是利用微分疊加原理計算偏導(dǎo)數(shù)這一方法需要一個必不可少的工具——全微分形式不變性［1］.

為了便于對比，下面利用全微分計算前面的例3和例4.

例3：設(shè)w=ln（u+v），u=xy，v=yz，求wx，wy和wz.

解：利用全微分形式不變性可得：

dw=dln（u+v）=1u+vd（u+v）=du+dvu+v=d（xy）+d（yz）xy+yz=ydx+xdy+zdy+ydzxy+yz=yxy+yzdx+x+zxy+yzdy+yxy+yzdz.

從而由微分疊加原理知：

wx=yxy+yz，wy=x+zxy+yz，wz=yxy+yz.

例4：設(shè)z=f（xy，xy，x2-y2），其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求zx和zy.

解：利用全微分形式不變性可得：

dz=df（xy，xy，x2-y2）

=f1′d（xy）+f2′d（xy）+f3′d（x2-y2）

=f1′（ydx+xdy）+f2′ydx-xdyy2+f3′（2xdx-2ydy）

=（yf1′+f2′y+2xf3′）dx+（xf1′-xf2′y2-2yf3′）dy.

從而由微分疊加原理知：

zx=yf1′+f2′y+2xf3′，zy=xf1′-xf2′y2-2yf3′.

由以上兩個例題可以看出，利用全微分求偏導(dǎo)數(shù)可以同時求出多元復(fù)合函數(shù)的全部偏導(dǎo)數(shù)，這是其他兩種方法所不具備的優(yōu)勢.

結(jié)語

通過前面具體的例子可以看出，求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的代入法、鏈式法則和全微分三種方法各有千秋.對于復(fù)合結(jié)構(gòu)簡單且形式具體的多元復(fù)合函數(shù)，代入法求偏導(dǎo)數(shù)最為簡潔，而抽象的多元復(fù)合函數(shù)最有效的求偏導(dǎo)數(shù)手段是鏈式法則.如果多元復(fù)合函數(shù)的自變量個數(shù)較多且復(fù)合結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，那么利用全微分求其偏導(dǎo)數(shù)就會有明顯的優(yōu)勢.此外，還可以利用對稱性簡化多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的計算步驟，如前面的例2、例6和例7中給出的函數(shù)都具有對稱性.在求此類函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，只需求出函數(shù)關(guān)于某個變量的偏導(dǎo)數(shù)，而后便可利用函數(shù)形式的對稱性直接寫出函數(shù)關(guān)于其他變量的偏導(dǎo)數(shù).

綜上所述，在多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)這一教學(xué)過程中，教師應(yīng)精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，在保障學(xué)生掌握具有廣泛遷移價值的理論知識和解題方法的同時，進一步引導(dǎo)學(xué)生進行深層次的思考，從而才能使得數(shù)學(xué)的“教”更具親和力，數(shù)學(xué)的“學(xué)”更有溫度.

參考文獻：

［1］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）第七版［M］.北京：高等教育出版社，2014：7884.

［2］高大鵬，馮世強，馮小高，等.求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的樹型法則［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2014，17（04）：9495.

［3］王紅軍，楊有龍.微分疊加原理在多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2015，31（06）：8082.

作者簡介：馮媛（1976—?），女，漢族，湖南澧縣人，碩士研究生，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)方法。